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2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題14概率統(tǒng)計(jì)真題特點(diǎn)分析:【2020中科大】已知為的排列,若且,則為順序?qū)?,設(shè)為的順序?qū)Φ膫€(gè)數(shù),則_______________.2.【2021中科大】拋擲一個(gè)均勻的骰子次,記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為,則________.答案:二、知識(shí)要點(diǎn)拓展一.隨機(jī)事件的概率1.隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,隨機(jī)事件一般用大寫英文字母等來表示;2.確定事件(1)必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生的事件;(2)不可能事件:在一定條件下不可能發(fā)生的事件;必然事件和不可能事件合起來稱為確定事件。3.事件A的概率:在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù),在它附近擺動(dòng),這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,作P(A).由定義可知0≤P(A)≤1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率:一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件,通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個(gè)基本事件組成。如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P(A)=。?說明:使用公式P(A)=計(jì)算時(shí),確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計(jì)算方法靈活多變,沒有固定的模式,可充分利用排列組合知識(shí)中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,必須做到不重復(fù)不遺漏。二.互斥事件的概率1.相關(guān)概念(1)互斥事件:不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件;(2)對(duì)立事件:其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件。2.對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解:(1)互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系;(2)所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的;(3)兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來確定的。從集合角度來看,A、B兩個(gè)事件互斥,則表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集。對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件,集合A的對(duì)立事件記作,從集合的角度來看,事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集,即A∪=U,A∩=.對(duì)立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件。2.事件A、B的和記作A+B,表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時(shí),事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的,因此當(dāng)A和B互斥時(shí),事件A+B的概率滿足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥),且有P(A+)=P(A)+P()=1。當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比較困難時(shí),有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件的概率則要容易些,為此有P(A)=1-P()。對(duì)于n個(gè)互斥事件A1,A2,…,An,其加法公式為P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。?說明:分類討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想。三.獨(dú)立事件的概率1.相關(guān)概念(1)相互獨(dú)立事件:事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫相互獨(dú)立事件。(2)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn):如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cpk(1-p)n-k。2.關(guān)于相互獨(dú)立事件也要抓住以下特征加以理解:(1)相互獨(dú)立也是研究?jī)蓚€(gè)事件的關(guān)系;(2)所研究的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的;(3)兩個(gè)事件相互獨(dú)立是從“一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的。?注意互斥事件與相互獨(dú)立事件是有區(qū)別的:3.事件A與B的積記作A·B,A·B表示A與B同時(shí)發(fā)生。當(dāng)A和B是相互獨(dú)立事件時(shí),事件A·B滿足乘法公式P(A·B)=P(A)·P(B),還要弄清·,的區(qū)別。·表示事件與同時(shí)發(fā)生,因此它們的對(duì)立事件A與B同時(shí)不發(fā)生,也等價(jià)于A與B至少有一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件即,因此有·≠,但·=。離散型隨機(jī)變量的分布列:一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為,取每一個(gè)值()的概率,則稱下表為隨機(jī)變量的概率分布,簡(jiǎn)稱為的分布列。........................數(shù)學(xué)期望:一般地,若離散型隨機(jī)變量的概率分布為........................則稱為的數(shù)學(xué)期望(平均數(shù),均值),簡(jiǎn)稱為期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。若(二項(xiàng)分布),則。二項(xiàng)分布:(1)定義:如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率是:(其中)于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下:我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作,其中為參數(shù),并記.(2)二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.①二項(xiàng)分布,實(shí)際是對(duì)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù),且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,如果不滿足此兩條件,隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.②當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來說又比較小,而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果,此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),利用二項(xiàng)分布求其分布列.4.幾何分布:“”表示在第次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí),事件第一次發(fā)生,如果把次試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生記為,事不發(fā)生記為,那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式:于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123…………我們稱服從幾何分布,并記,其中5.幾何概型(1)定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度、面積或體積成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.(2)在幾何概型中,事件的概率的計(jì)算公式為:.(3)古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限個(gè),幾何概型要求基本事件有無限多個(gè).(4)幾何概型的兩個(gè)特征:①試驗(yàn)結(jié)果有無限多;②每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的.事件可以理解為區(qū)域的某一子區(qū)域,事件的概率只與區(qū)域的度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比,而與的位置和形狀無關(guān).(5)解決幾何概型的求概率問題關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率.三、典例精講例1.(復(fù)旦)某種細(xì)胞如果不能分裂則死亡,并且一個(gè)細(xì)胞死亡和分裂為兩個(gè)細(xì)胞的概率都為?,F(xiàn)有兩個(gè)這樣的細(xì)胞,則兩次分裂后還有細(xì)胞存活的概率是()。(B)(C)(D)?分析與解答:先考慮一個(gè)母細(xì)胞,兩次分裂后還有細(xì)胞存活的概率。這個(gè)概率應(yīng)是。故兩個(gè)這樣的細(xì)胞,兩次分裂后還有細(xì)胞存活的概率為,選A。例2.(復(fù)旦)隨機(jī)任取一個(gè)正整數(shù),則它的3次方的個(gè)位和十位上的數(shù)字都是1的概率是()。(B)(C)(D)?答案:D?分析與解答:首先,一個(gè)正整數(shù)的三次方的個(gè)位數(shù)是1的正整數(shù)個(gè)位數(shù)字也必須是1.其次可試得1-100中只有71符合要求。而且末兩位是71的均符合要求。故選D。例3.體育彩票的抽獎(jiǎng)是從寫在36個(gè)球上的36個(gè)號(hào)碼隨機(jī)搖出7個(gè).有人統(tǒng)計(jì)了過去中特等獎(jiǎng)的號(hào)碼,聲稱某一號(hào)碼在歷次特等獎(jiǎng)中出現(xiàn)的次數(shù)最多,它是一個(gè)幸運(yùn)號(hào)碼,人們應(yīng)該買這一號(hào)碼,也有人說,若一個(gè)號(hào)碼在歷次特等獎(jiǎng)中出現(xiàn)的次數(shù)最少,由于每個(gè)號(hào)碼出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等,應(yīng)該買這一號(hào)碼,你認(rèn)為他們的說法對(duì)嗎??分析與解答:體育彩票應(yīng)本36個(gè)號(hào)碼的36個(gè)球大小、重量等應(yīng)該是一致的,嚴(yán)格說,為了保證公平,每次用的36個(gè)球,應(yīng)該只允許用一次,除非能保證用過一次后,球沒有磨損、變形,和沒有用過的球一樣.因此,當(dāng)你把這36個(gè)球看成每次抽獎(jiǎng)中只用了一次時(shí),不難看出,以前抽獎(jiǎng)的結(jié)果對(duì)今后抽獎(jiǎng)的結(jié)果沒有任何影響,上述兩種說法都是錯(cuò)的.例4.(復(fù)旦)在半徑為1的圓周上隨機(jī)選取3點(diǎn),它們構(gòu)成一個(gè)銳角三角形的概率是()(B)(C)(D)?答案:C?分析與解答:如圖一,若為銳角三角形,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度均小于。不妨設(shè),則為銳角三角形的充要條件是由于,即為一個(gè)三角形MNP平面(如圖二),且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是是三條中位線圍成的小三角形。故由幾何概率模型知,所求構(gòu)成銳角三角形的概率為。故選C。zzAACBCByyx圖一:圖二:x例5.(清華)系統(tǒng)內(nèi)有個(gè)元件,每個(gè)元件正常工作的概率為,,若有超過一半的元件正常工作,則系統(tǒng)正常工作,求系統(tǒng)正常工作的概率,并討論的單調(diào)性。?分析與解答:個(gè)元件中,恰有個(gè)正常工作,求系統(tǒng)正常工作的概率;恰有個(gè)元件正常工作的概率為恰有個(gè)元件正常工作的概率為。故。當(dāng)有個(gè)元件時(shí),考慮前個(gè)元件,為使系統(tǒng)正常工作,前個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作。①前個(gè)元件中恰有個(gè)正常工作,它的概率為。此時(shí)后兩個(gè)元件必須同時(shí)正常工作。所以這種情況下系統(tǒng)正常工作的概率為;②前個(gè)元件中恰有個(gè)正常工作,它的概率為,此時(shí)后兩個(gè)至少有一個(gè)正常工作即可。所以這種情況下系統(tǒng)正常工作的概率為。③前個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作,它的概率為。此時(shí)系統(tǒng)一定正常工作。故。(這里用到)。故,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。例6.(清華)投擲一枚硬幣(正反等可能),設(shè)投擲次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為,求;寫出的遞推公式,并指出單調(diào)性;是否存在?有何統(tǒng)計(jì)意義。?分析與解答:(1)顯然,;又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有:正正正正或正正正反或反正正正,故。共分三種情況:①如果第次出現(xiàn)反面,那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是;②如果第次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面,那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是;③如果第次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面,那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這時(shí)候不出現(xiàn)三次連續(xù)正面的概率是。綜上,,。由上知,,④所以⑤,④-⑤,有所以時(shí),單調(diào)遞減,又易見。由(2)知時(shí),單調(diào)遞減,且顯然有下界0,所以的極限存在,對(duì)兩邊同時(shí)取極限可得。其統(tǒng)計(jì)意義:當(dāng)投擲的次數(shù)足夠多時(shí),不出現(xiàn)連續(xù)三次正面向上的次數(shù)非常少,兩者鼻子和趨近于零。注:本題第三問用到了下面定理:?jiǎn)握{(diào)遞增(或遞減)且有上界(或下界)的數(shù)列必有極限。例7.(復(fù)旦)一袋中有個(gè)白球和個(gè)黑球。從中任取一球,如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該黑球不再放回,另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中。在重復(fù)次這樣的操作后,記袋中白球的個(gè)數(shù)為。求的數(shù)學(xué)期望;設(shè),求;證明:的數(shù)學(xué)期望。?分析與解答:(1)時(shí),袋中白球的個(gè)數(shù)可能是個(gè)(即取出的是白球),概率為;也可能為個(gè)(即取出的是黑球),概率為,故。首先;時(shí),第次取出來有個(gè)白球的可能性有兩種:第次袋中有個(gè)白球,顯然每次取球后,球的總數(shù)保持不變,即個(gè),(故此時(shí)黑球有個(gè)。)第次取出來的也是白球,這種情況發(fā)生的概率為。第次袋中有個(gè)白球,第次取出來的是黑球,由于每次球的總數(shù)為個(gè),故此時(shí)黑球的個(gè)數(shù)是。這種情況發(fā)生的概率為。故。第次白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類:①若第次取出來的是白球,由于每次白球和黑球的總個(gè)數(shù)是,這種情況發(fā)生的概率是,此時(shí)白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為;②若第次取出來的是黑球,這種情況發(fā)生的概率是,此時(shí)白球的個(gè)數(shù)變?yōu)?。故。?.(北大)已知基因型為AA、Aa、aa的比例為,且。求子一代AA、Aa、aa的比例;子二代與子一代比例是否相同??分析與解答:(1)父親的基因有AA、Aa、aa三種情況,母親的基因也有AA、Aa、aa三種情況,故搭配起來有9種情況,我們把它列表如下:父母AA,AAAA,AaAA,aaAa,AAAa,AaAa,aaaa,AAaa,Aaaa,aaAAu2uv0uvv20000Aa0uvuwuv2v2vwwuwv0aa0000v2vw0wvw2我們把每行數(shù)據(jù)相加可得這就是子一代三種基因型的比例。設(shè),上式即,且。由于,將分別看成,則由(1)的結(jié)論可知,子二代的AA、Aa、aa的比例為故子二代與子一代比例相同。注:這是一道源自生物學(xué)的概率問題,凸現(xiàn)了自主招生考試中注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和其他科目的整合,考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。真題訓(xùn)練1.(復(fù)旦)一批襯衣中有一等品和二等品,其中二等品率為0.1.將這批襯衣逐漸檢測(cè)后放回,在連續(xù)三次檢測(cè)中,至少有一件是二等品的概率為()。(A)0.271(B)0.243(C)0.1(D)0.0812.(復(fù)旦)設(shè)甲、乙兩個(gè)袋子中裝有若干個(gè)均勻的白球和紅球,且甲、乙兩個(gè)袋子中的球數(shù)為1:3.已知從甲袋中摸到紅球的概率為,而將甲、乙兩個(gè)袋子中的球裝在一起后,從中摸到紅球的概率為。則從乙袋中摸到紅球的概率為()(B)(C)(D)3.(復(fù)旦)復(fù)旦大學(xué)外語系某年級(jí)舉行一次英語口語演講比賽,共有十人參賽,其中一班有三位,二班有兩位,其他班有五位。若采用抽簽的方式確定他們的演講順序,則一班的三位同學(xué)恰好演講序號(hào)相連。問二班的兩位同學(xué)的演講序號(hào)不相連的概率是()(B)(C)(D)4.(武大)一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后,組距與頻數(shù)如下:組距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]頻數(shù)234542則樣本在上的頻率為()。(B)(C)(D)5.(武大)某工廠新招了8名工人,其中有2名車工和3名鉗工,現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個(gè)車間,那么車工和鉗工均不能分到同一車間的概率是()(B)(C)(D)6.(華南理工)甲、乙兩人下圍棋,下三盤棋,甲:平均能贏兩盤,某日,甲、乙進(jìn)行五打三制勝賽,那么甲勝出的概率為。7.(同濟(jì))從1-100這100個(gè)自然數(shù)中取2個(gè)數(shù),它們的和小于等于50的概率是。8.(上海交大)6名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應(yīng)考,考生打完試卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷離開座位,則其中一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。9.(同濟(jì))從0,1,2,。。。9這10個(gè)數(shù)碼中隨機(jī)抽出5個(gè),排列成一行,則恰好構(gòu)成可以被25整除的五位數(shù)的概率是(用分?jǐn)?shù)給出答案)。10.(南大)設(shè)是隨機(jī)事件,且。則。11.(浙大)甲乙兩人輪流擲硬幣,第一局甲先擲,誰先擲出正面誰就勝,上一局的負(fù)者下一局先擲。問:(1)任意一局甲勝的概率;(2)第局甲勝的概率。12.(武大)從一個(gè)裝有三個(gè)紅球、兩個(gè)白球的口袋中任取兩球放入一個(gè)箱子中。求箱子中兩球都是紅球的概率;記“從箱子中任意取出一球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有兩次取到紅球的概率。13.(復(fù)旦),求:(1)有交點(diǎn)的概率;(2)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。真題訓(xùn)練答案1.【答案】A【分析與解答】:考慮三次檢驗(yàn)中,沒有一件是二等品的概率是,故所求概率為。2.【答案】A【分析與解答】:設(shè)甲袋共有個(gè)球,則乙袋中有個(gè)球,且甲袋中紅球有個(gè),而甲、乙兩袋共有紅球個(gè),故乙袋中有紅球個(gè),從而所求概率為。3.【答案】A【分析與解答】:先排一班和其它班,將一班3人看成整體共有種排法,又3人內(nèi)部有種可能,再將二班兩位同學(xué)插在7個(gè)空隙中,有種可能,從而所求概率為。4.【答案】D【分析與解答】:所求頻率為5.【答案】C【分析與解答】:不妨設(shè)甲車間有2名鉗工,則甲車間有1名車工、2名鉗工,還有1名其他工人,這時(shí)共有種方法;同理,若乙車間有2名鉗工,也有種方法。故所求概率為6.【答案】【分析與解答】:分三種情況討論:打滿五盤甲勝出有6種情況。記“√”表示甲勝,“×”表示乙勝,即有√√××√;√×√×√;√××√√;×√√×√;×√×√√;××√√√。概率為:;打四盤甲勝出有3種情況,即√×√√;√√×√;×√√√。概率為;打三盤甲勝出只有1種情況,即√√√,概率為。所以甲勝出的概率為:。7.【答案】【分析與解答】:設(shè)取2個(gè)數(shù)為,且設(shè),由。若,共48種;若,共46種;…若,共2種。故所求概率為。8.【答案】【分析與解答】:要不打擾考生則必須每次在兩旁的人離開,即每次有2種選擇,故共有種可能,故所求概率為。9.【答案】【分析與解答】:末兩位只能是25、50或75.對(duì)于末兩位為25或75,若含有0,則有個(gè),若不含0,則有個(gè),從而共有個(gè)符合要求的五位數(shù)。對(duì)于末兩位為50,共有個(gè)符合要求。從而所求概率是。10.【答案】【分析與解答】:,而。11.【分析與解答】:(1)。設(shè)第局甲勝的概率為,則,其中,,故。12.【分析與解答】:(1)。(2)取出兩球必須是一紅一白,。13.【分析與解答】:(1)設(shè)圓心到直線的距離為,若有交點(diǎn),則。時(shí),;時(shí),;時(shí),;時(shí),;時(shí),。共種情況;所以。交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí),直線與圓相離,有6種情況;交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí),直線與圓相切,,只有;交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí),由(1)知直線與圓相交,有18種情況。所以。五、強(qiáng)化訓(xùn)練A組1、(交大)6名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應(yīng)考,考生答完試卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷離開座位,則其中一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。【詳解】本題從反面考慮,如不打擾其余同學(xué),則只有兩邊的同學(xué)先交卷,即。2、(交大)甲乙兩廠生產(chǎn)同一種商品,甲廠生產(chǎn)的此商品占市場(chǎng)上的,乙廠生產(chǎn)的占;甲廠商品的合格率為95%,乙廠商品的合格率為90%,若某人購買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品,則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為?!驹斀狻俊?、(科大)已知正方體各個(gè)面的中心,甲乙分別相互獨(dú)立地從這6個(gè)點(diǎn)中取出3個(gè),則構(gòu)成兩個(gè)三角形全等的概率是。【詳解】這6個(gè)點(diǎn)組成的等邊三角形有8個(gè),等腰直角三角形有12個(gè),故構(gòu)成兩個(gè)三角形全等的概率是。4、(武大)某工廠新招了8名工人,其中有2名車工和3名鉗工,現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個(gè)車間,那么車工和鉗工均不能分配到同一個(gè)車間的概率為()(A) (B) (C) (D)【詳解】車工一邊一個(gè),而鉗工則有一邊是2個(gè),故,故選C。5、(復(fù)旦)設(shè)甲、乙兩個(gè)袋子中裝有若干個(gè)均勻的白球和紅球,且甲、乙兩個(gè)袋子中的球數(shù)為1:3。已知從甲袋中摸到紅球的概率為,而將甲、乙兩個(gè)袋子中的球裝在一起后,從中摸到紅球的概率為。則從乙袋中摸到紅球的概率為()(A) (B) (C) (D)【詳解】設(shè)甲袋中有個(gè)球,則乙中個(gè)球,甲中紅球個(gè),而總紅球個(gè)數(shù)為,則乙中紅球個(gè)數(shù)為,則乙袋中摸到紅球的概率的概率為,故選A。6、(復(fù)旦)隨機(jī)任取一個(gè)正整數(shù),則它的3次方的個(gè)位和十位上的數(shù)字都是1的概率是()(A) (B) (C) (D)【詳解】只有個(gè)位為1的數(shù)的3次方的個(gè)位才是1,而當(dāng)個(gè)位為1時(shí),只有十位為7時(shí),3次方的十位是1,故所有的正整數(shù)中,只有最后兩位是71時(shí)才滿足題意,即概率為,故選D。7、(復(fù)旦)在半徑為1的圓周上隨機(jī)選取3點(diǎn),它們構(gòu)成一個(gè)銳角三角形的概率是()(A) (B) (C) (D)【詳解】為使出現(xiàn)銳角三角形,三邊對(duì)應(yīng)的圓周角都小于90度,即,建立以為三軸的空間
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