數(shù)學(xué)建模-預(yù)測模型與案例

最近幾年，在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽常常出現(xiàn)作為一門科學(xué)的學(xué)，是在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)達(dá)的才產(chǎn)都是一種。中國古代著名著作“易經(jīng)”就是一種專門研究的書，現(xiàn)在研究易經(jīng)的人也不少。古代的主要靠科學(xué)根據(jù)。技術(shù)的發(fā)展源于社會的需求和實(shí)踐。20世紀(jì)初期風(fēng)行一時(shí)布生圖表就是早期的市場資料，哈佛大學(xué)的每月指數(shù)圖表為商品市場、市場和預(yù)測提供了依據(jù)。然而這些都未能揭示1929－1930年經(jīng)濟(jì)危期的突然暴發(fā)，使工商界深感失望。爾后，們和，科學(xué)也因此開始萌生。20世紀(jì)30年代凱恩斯提出干預(yù)和市場機(jī)制相結(jié)合的經(jīng)濟(jì)模型，1937年諾依2050年代末才廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)和軍事部門。由于科學(xué)的方法，以及技術(shù)的努力，結(jié)果的可靠性到19世紀(jì)初對巴黎未來幾百年的發(fā)展進(jìn)行了。從1950年的實(shí)際情況分析，他的中有36％得到證實(shí)，28％接近實(shí)36％是錯(cuò)誤哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家冠道塞在法國大時(shí)期曾采用外推法進(jìn)行了一系列社會，其中75％得到證實(shí)。沙杰爾萊特1901年在《二十世紀(jì)的發(fā)明》年和1915年的25項(xiàng)中，到1941年只有3項(xiàng)未被證實(shí)，3項(xiàng)是錯(cuò)誤的。我國明朝開國功臣劉基就將來是和社會進(jìn)步服務(wù)。因而是決策的重要的前期工作。決策策是過程的兩個(gè)方面，為決策提供依據(jù)，而的目的—的前期準(zhǔn)備工空想，任何事物的發(fā)展都有一定的規(guī)律，認(rèn)真研究對象并充分對象所處的環(huán)境，以系統(tǒng)分析的方法對過去（（象分，可分為數(shù)據(jù)和外部數(shù)據(jù)；就收集段分，可分接適用于情況。因此，常常需要對已的數(shù)據(jù)進(jìn)行 數(shù)據(jù)的分析和處理（以下所舉案例均以經(jīng)濟(jì)模型為主）處理的原則xxxt1xtt或xt2xt1xtxyyykylxlymkxy kylxlymxkykxk是與之xlxk 銷售條件與環(huán)境的變化常常會引起一個(gè)企業(yè)產(chǎn)品市場銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所體現(xiàn)出的銷售發(fā)展規(guī)律不再適用之于目前80年代中期后，受壓縮基建規(guī)模80年代中期以前一ytytti其中tytutti年修正后的數(shù)據(jù)ti年實(shí)際數(shù)據(jù)t年的市場占有ti年的市場占有如果原始數(shù)據(jù)總體具有一定規(guī)律性，但因受隨機(jī)因有些模型，例如鮑克斯—詹金斯模型1只能處理平穩(wěn)數(shù)x' t x x x t t t x'x ttt－1xtx''x' x x t t tx' t t '' 2x t t t t 經(jīng)經(jīng) 的數(shù)據(jù)主要包括國際環(huán)境及變化趨勢需要的數(shù)據(jù)主要有：（9）產(chǎn)品出口量；二的選擇和組的組在現(xiàn)實(shí)生活中，有時(shí)不得不在不確定的條件出決策，沒有嚴(yán)格的理論依據(jù)，定量方法無法采用。在這種情況下，借借 的經(jīng)驗(yàn)判斷則有可能作出定量方法難以得到的科 能力，以及其他一些因素。實(shí)踐表明，在如此復(fù)雜要工作。應(yīng)邀的要具有廣泛的知識，對所涉及先征得同意就將表發(fā)給擬邀請的。因?yàn)橛械膶?（一）什么叫特爾斐法擬選的是指在該領(lǐng)域從事10年以上工作的專（二）怎樣選擇從外部選擇比較，一般要經(jīng)過幾輪。首先要收表發(fā)給他們，征求意見，同時(shí)要求他們再1－2名有關(guān)。小組從的中，再選擇一批有2（三）選擇什么樣的考價(jià)值還不如一個(gè)專事某項(xiàng)工作的一般認(rèn)真填寫的調(diào)（四）組人小組人數(shù)視向題規(guī)模而定。人數(shù)太少，限制學(xué)也比較復(fù)雜。的精度與人數(shù)的函數(shù)關(guān)系是，當(dāng)人數(shù)較少進(jìn)一步增加人數(shù)對精度影響不大。小組人數(shù)一般以15100名以上。在確定人數(shù)時(shí)，值得注意的是，有的人數(shù) 誤差的

精度還高于定量方法。這是因?yàn)槊恳粋€(gè)都是一個(gè)數(shù)據(jù)社會未的數(shù)據(jù)。小組就可利用提供的數(shù)據(jù)創(chuàng)造三的數(shù)學(xué)準(zhǔn)四實(shí)用方（一）定性方最常用的只有10多種。方法的分類沒有的標(biāo)準(zhǔn)和定性方法：主要有特爾斐法、目 法定量方法：主要有時(shí)間序列模型，因果關(guān)系 蘭德公司于1964年發(fā)明并首先用于技術(shù)。會議法雖然可以通過會議使之間廣泛交流意上缺點(diǎn)，它是將所要的問題以信函的方式寄給，如此反復(fù)多次最后出結(jié)果。（一）特點(diǎn)及適用 方法法移動平均法時(shí)間序列模型法鮑克斯-詹金斯模型季節(jié)性ARIMA趨勢外推方法回歸分析因果關(guān)系模型方法分類表路。由于它能夠?qū)ξ磥戆l(fā)展中可能出現(xiàn)的前景作出概率描（二）程應(yīng)用特爾斐法進(jìn)行，主要包括四個(gè)階段：（1）建輪間反饋；（4）編寫報(bào)告。由于結(jié)果的準(zhǔn)確程度在 確確目標(biāo)具體

反饋第一輪結(jié)果，進(jìn)行

反饋第二輪結(jié)果，進(jìn)行企業(yè)環(huán)境的調(diào)查（現(xiàn)狀和圍今后10年新興領(lǐng)域、新產(chǎn)品和新技趨勢今后10年新興領(lǐng)域、新產(chǎn)品和新技：10年

對企業(yè)的沖擊程度（重要性、緊迫

實(shí)現(xiàn)時(shí)間的回答分布：中位數(shù)，上下四分實(shí)現(xiàn)的概率及相對重要性的根據(jù)第二輪的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，制訂第三輪表研究持異端意 的意及 由

實(shí)現(xiàn)時(shí)間的回答分布：中位數(shù)，上下四分修正，編寫企業(yè)的未來修正，編寫企業(yè)的未來 特爾斐法程（三）模在特法行一般用中位數(shù)代表專家集意，上四點(diǎn)表 意的散度中數(shù)受項(xiàng)目少的響，果將結(jié)在水軸上時(shí)間先順排，位全量為等的年份為中位數(shù)。變量的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，第（n+1）/2項(xiàng)為中位數(shù)。項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，位居兩項(xiàng)的平均數(shù)為中位數(shù)。Xn1n為奇數(shù)X中 XnXn1/2n為偶數(shù) 其中:n是的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)(該數(shù)列是按從小到大順 Xm為奇數(shù)上XmXm22/2m為偶數(shù)X3m3m為奇數(shù) 21）／２（m為偶數(shù)2下2m為奇數(shù) /2m為偶數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，m=n/2例1某單位釆用特爾斐法我國“九五”期間的轎該結(jié)果123456789 n=20為偶數(shù),AnAn 56 11 中m2

AmAm A 53 6 A3mA3m 60 16 組合距AmaxAmin6550上下四分點(diǎn)間距AA上6053 MjMj1mjj 對j方案的評 VSjMj例2 用特爾斐法聘請五位對4種科研方案進(jìn)行優(yōu)科研方案優(yōu) 方ABCD分等分等分等分等4231434321451234表 1

15060507090A5jA

1100901008070 13070209050 12010402010 2S2 M25 CiA 5 15064260642506427064290642200 SASA SAS21100882908821008828088270882 4 SBS213052270522205229052250522 4 SCS212020220102204022020220102 4 SDVASA/MA14.14/640.22VBSB/MB13.04/880.15VCSC/MC28.64/52VDSD/

12.25/20D、C方案。 法，是霍尼維爾公司首先開發(fā)并投入使用目標(biāo)?；裟峋S爾公司最早成功地利用這種方法建立了一20001980年翻兩番的宏偉目標(biāo)，為重要的。由于目標(biāo)法是研究實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的步驟、措施，因而目標(biāo)也可稱為目標(biāo)決策，可以說是建立決策實(shí)施保（二）定量時(shí)間序列模一.據(jù)對象時(shí)間序列的變化特征，研究事物自身的發(fā)展規(guī)期二 程開明確問 備選方 模選擇新選擇新 否是 否否是 三 方法及數(shù)學(xué)模（一）移動平均值模型始數(shù)據(jù)，依次類推，直至把數(shù)據(jù)處理完畢。以n=5為例：MM5MM6

Y1Y2Y3Y45Y2Y3Y4Y55 M1、M1表示第五、第六個(gè)周期的一次移動平均值， MMt

YtYt1…YtNNtM1表示第t期的一次移動平均t測值，即Ytt可見，移動平均法實(shí)際上是對于某t期數(shù)據(jù)，取前N測值，即YttM1M1YtYtN t1 均值N=33期移動平均，則第三期數(shù)據(jù)的移5766.33，是由（5600＋5796＋5930）/3得到的。如用于，它可以作為第4期的值。一次移動平均值為原始數(shù)據(jù)，再進(jìn)行一次移動平均，仍以N=5為例：其公式為MM9

M1M1M1M1M 59式中：M2表示第9期的二次移動平均值，其一般公式為9 M1M Mt1 tN一次移動平均值M二次移動平均值M一次移動平均值M二次移動平均值M456789）Ytata

M b M1M N 時(shí)，則 2M1M227739.77440.2 (M1M2)7739.77440.2 3 ?

8039.2 8039.2299.512aS2SaN22S——原始數(shù)據(jù)點(diǎn)方差也就是N越大，對原始數(shù)據(jù)修勻能力越強(qiáng)。下表(4)數(shù)據(jù)可月份11——22——33——44—55—66778899—（某日用品電器銷售額的移動平均）表法確定。根據(jù)過程的實(shí)際發(fā)展趨勢，N值大體有如下四種選水平式值與N脈沖式趨勢僅在某一段時(shí)間突然增加或減少，隨后又保不變，N取得越大，MS2越小，因此N應(yīng)取得較大些。aa階梯式趨勢僅在開始一段時(shí)間保持不變，然后增加或減aa到一個(gè)新的水平后又保持不變，N取得越小M的誤差S2越小，因此N應(yīng)取得較小。斜坡式趨勢周期的遞增或遞減，M總是比實(shí)際趨向因此N應(yīng)取得越小越好。N宜取大些，如果希望加大對外界變化的反映力度，則N宜取小些。N的取值范圍一般為3～20。1980～1990年我國工業(yè)勞動人數(shù)（萬人（首先，選擇移動平均周期N。本例中數(shù)據(jù)趨勢較明顯，呈直線MM3MM4

MM

743677388045/3MM5MM6

M27142.77438.37739.7/3Y11a11a118039.2，b11299.5YYYY

8039.2299.518039.2299.528039.2299.538039.2299.54由此得1991～1994年勞動人數(shù)分別為8338.7，8638.2，8937.7，和9236.2萬人。（二） aY1a11ttt其中S1—— 期數(shù)據(jù)的指數(shù)平滑值，α—平滑常數(shù)ttYt對上式遞推展開則得S1aY1a 1aS1 t t2aYa1 1a2S t tS1aYa1 1a2 a1aL ……a1at1 1atSt tt tt a1ak 1att k上式表明，數(shù)據(jù)列Yt,Yt1,Yt2的權(quán)數(shù)分別是α，α(1－Yt1S1aY1a 0用指數(shù)平滑法進(jìn)行時(shí)，將會遇到兩個(gè)影響結(jié)果的因素，一是初始值S1的選取，這是計(jì)算其它平滑值的基0二是平滑常數(shù)α的選α對平滑效果影響很大。αtS2St

2

S2Yt其中S2StttS2Y——原始數(shù)據(jù)方差；tα——平滑常數(shù)。0＜α＜1,故S2SS2YSt t與時(shí)間數(shù)列Y有相EStEYtat，但方平滑值的方差與時(shí)間數(shù)列Yt的方差差別不大。α越小，指數(shù)tα 值的影響，α宜選擇小些，亦即參與平滑的數(shù) 始值影響，α，α，α宜選擇小些， ，則α宜取較大值，使少量數(shù)據(jù)參與平滑以加大對近期數(shù)據(jù)反映的力度。因?yàn)棣寥鐚Τ跏贾档恼_性有疑問時(shí)，應(yīng)取較大的α值，0.05～0.20宜取較大值（一般取0.3～0.5，使新近數(shù)據(jù)對于現(xiàn)時(shí)的指數(shù)如遇變化甚小的時(shí)間數(shù)列，則α宜取稍小些（0.1～04據(jù)經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，α取值范圍較大，α=0.1～0.9123456789表123456789表St13325并認(rèn)為初始值是正確的，則取St0.6Yt10.6St10.6Yt對α=0.5，α=0.3分別進(jìn)行了指數(shù)平滑，一次指數(shù)平滑值8第二、第五列。以α=0.5為例，取初始值S05500，S1aY1aS10.5560010.55500S S1aY1aS10.5579610.55550S S1aY1aS10.5593010.55659.5S S1 1aS10.5804510.57444.7S S2aS11aSS t tS3aS21a t二次、三次指數(shù)平滑的例子見表（8，其中以 S2aS11aS20.5555010.55500 S2aS11aS20.55659.510.55525 S2aS11aS20.57744.910.57164.8 S3aS21aS30.5552510.55500 S3aS21aS30.55592.310.55512.5 S3aS21aS30.57454.910.56903.6 StStStStStSt1234567893指數(shù)平滑結(jié)果表Yabct2…+gt 其 Yt——t+τ期的τ—超前時(shí)常數(shù)模型（零次多項(xiàng)式Y(jié)t一次多項(xiàng)式（線性模型YtatYtab1c 2公式，參看多項(xiàng)式模型參數(shù)估算公式（這里省略掉。以表8中的數(shù)據(jù)為例，α=0.5 3S13S2S337744.937454.97179.3

65aS1254aS243aS3 21a2 11 21

650.57744.92540.5 3c111a2S112S11S11 1

7744.927454.9Yt

8063.9350121.742若第13期的值，則Y138063.93502121.74222123456789123456789某產(chǎn)品銷售額表首先取α=0.3，初始值

S1aY1aS10.3562.6710.3570S S1aY1aS10.3586.9310.3567.8S S1 1aS10.3934.6010.3794.1S SS SS S3aS21aS30.3569.310.3570S S3aS21aS30.375910.3672.6S 計(jì)算結(jié)果列于表修勻后，與原始數(shù)據(jù)編離較大。為此，將α0.5，再進(jìn)Y12 b1c 2 其中 3S13S2S3

65aS1254aS243aS3 21a2 12 3c121a2

2S12S12Y13933.253.9

933.253.92.3

亦即第13和14個(gè)月的新產(chǎn)品銷售額值分別StStStStStSt1234567894指數(shù)平因果關(guān)系模型因果關(guān)系模型是定量模型的主要方法之一，主要用于研究不化因果關(guān)系模型主要包括：趨勢外推、回歸分析、數(shù)量經(jīng)濟(jì)模型、投入產(chǎn)出模型、灰色系統(tǒng)模型、系統(tǒng)動力學(xué)模型等。一.系模型在中應(yīng)用最廣，它因時(shí)間序列模型不同，不僅可以從事短期，而且還可以從事中、長期，也可以宏觀、中觀、微觀問二.程序（略三.方法及模（一）趨勢外推趨勢外推法是一種常用的利用事物過去發(fā)展的規(guī)律，推導(dǎo)未來趨的法這方簡適用應(yīng)面廣在法類，的將。歸果模。勢的和過（1）事物是在同一條件或相近條件下發(fā)展的，即決定過去事物發(fā)展的原因，也是決（2）事物發(fā)展的過程是漸進(jìn)的，而不是跳躍的。趨勢外推模型種類很多，實(shí)用中最常用的是一些比較簡單的函數(shù)模型，如多項(xiàng)式模型、指數(shù)曲線、生長曲線和包絡(luò)曲線等。多項(xiàng)式模型式模型。一次多項(xiàng)式模型（線性模型：Yta0二次多項(xiàng)式模型（二次拋物線模型：Y atat三次多項(xiàng)式模型（三次拋物線模型Yaatat2a n次多項(xiàng)式模型（n次拋物線模型Yaatat2……a

項(xiàng)式進(jìn)行。例5 某廠自動車床1981~1991年的產(chǎn)量如表（1）所示表首先將數(shù)據(jù)擬二次拋物線：Yaatat 將原始數(shù)據(jù)變t與Yt的對應(yīng)關(guān)系如表（2。這里將年份改用時(shí)這里數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為11個(gè)，即n=11，擬合多項(xiàng)式次數(shù)為2。根據(jù)多元回歸參數(shù)估算方法可得：a0 因Yt81.8264275.002t0.4066tt0123456789表用此模型1992年的產(chǎn)量，即t=11即1992年的自動車床產(chǎn)量的數(shù)為3156指數(shù)模Yt其中YYt其中Yt=0時(shí)Y的值0t 然對數(shù)得lnlnYtlnY0令lnYtY,lnY0A,k 則變?yōu)榫€性方生長(s)曲線繪在坐標(biāo)圖上形同s，所以生長曲線又稱s曲線。生長曲線與指數(shù)曲示

/Yt而生長曲線的相對增量是的一個(gè) 的函dYtkYlYdYt/

klY 生長曲線有很多種模型，皮爾模型、龔珀茲模型、替代模型是生長曲線模型其中L－變量的極值

Y 1ab－常t龔珀茲模型 YtLebe其拐點(diǎn)為 YtL/替代模型

1

exp2att0其中Yt－待替代的百分a－每年替代的百分?jǐn)?shù)的一半(即替始以后的替代初始度 t0－當(dāng)Yt50%時(shí)的時(shí)t趨勢外推模型還有包絡(luò)曲線，這里就不作介紹了(二 回歸分與趨勢外推法不同，這種方法主要用研究不同變量之間的相關(guān)用，即可用于短期，也可用于長期。其公式為YtabXt 這里Yt是 值，a、b是回歸系數(shù)，Xt是自變量例6已知1977~1986年的鋼材消耗量與國民收入的關(guān)系大致直線趨勢表設(shè)國民收入為自變量，鋼材消耗量為因變量，則回歸方Y(jié)taa、b的計(jì)算公式可得a、b的X Y 157058.8