結(jié)構(gòu)力學第五版-10矩陣位移法課件

第十章矩陣位移法§10-1

概述§10-2單元剛度矩陣§10-3單元剛度矩陣的坐標轉(zhuǎn)換§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣§10-5支承條件的引入§10-6非結(jié)點荷載的處理§10-7矩陣位移法的計算步驟及示例§10-8幾點補充說明第十章矩陣位移法§10-1概述§10-2單元剛1手算：小型、簡單問題，講究技巧。一、手算與電算比較：電算：大型、復(fù)雜問題，要求方法具有系統(tǒng)性、通用性。結(jié)構(gòu)力學中的電算方法—結(jié)構(gòu)矩陣分析方法(桿件有限元法)結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學理論為基礎(chǔ)、以矩陣作為數(shù)學表述形式、以電子計算機作為計算手段大規(guī)模的計算方法。

超靜定結(jié)構(gòu)分析：力法，位移法，力矩分配法?！?0-1概述手算：小型、簡單問題，講究技巧。一、手算與電算比較：電算：大2二、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法特點與分類：(1)公式推導(dǎo)書寫簡明,導(dǎo)出公式緊湊,形式規(guī)格化。

矩陣力法(或稱柔度法)——以力作為基本未知量。

矩陣位移法(或稱剛度法）——采用結(jié)點位移作為基本未知量。借助矩陣進行分析，并用計算機解決各種桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等計算的方法。

(2)各種情況可統(tǒng)一處理，通用性強。

(3)計算過程規(guī)范化，適合計算機進行自動化解算。

理論基礎(chǔ)：位移法；分析工具：矩陣；計算手段：計算機

對于桿系結(jié)構(gòu)，矩陣位移法因易于編制通用的計算程序?！?0-1概述二、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法特點與分類：(1)公式推3三、矩陣位移法的思路：1）離散，進行單元分析，建立單元桿端力和桿端位移的關(guān)系。2）集合，進行整體分析，建立結(jié)點力與結(jié)點位移的關(guān)系。任務(wù)意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元剛度矩陣用矩陣形式表示桿件的轉(zhuǎn)角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結(jié)點力與結(jié)點位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程§10-1概述三、矩陣位移法的思路：1）離散，進行單元分析，建立單元桿端4

構(gòu)造結(jié)點:桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、支承點和截面突變點。

非構(gòu)造結(jié)點:一根等截面直桿內(nèi)的單元與單元之間的結(jié)點。1.結(jié)點和單元單元與單元之間通過結(jié)點聯(lián)結(jié)，結(jié)點一經(jīng)確定，則單元也就全部確定了。

單元——最基本的分析部件，最簡單的單元是等截面直桿。梁單元——受軸力、還受剪力和彎矩作用則稱為梁單元（梁、剛架）。

軸力單元——只受軸力作用的單元（桁架）。四、基本概念

§10-1概述構(gòu)造結(jié)點:桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、支承點和截面突變點。152.坐標系

結(jié)構(gòu)整體坐標系xoy用于描述結(jié)構(gòu)整體的量——結(jié)點的坐標、結(jié)點的位移、作用在結(jié)構(gòu)上的外力等。

單元局部坐標系固定在單元上，軸與桿軸重合,自軸逆時針旋轉(zhuǎn)900時的方向為軸正向。用于描述單元的桿端力和桿端位移等。

§10-1概述2.坐標系結(jié)構(gòu)整體坐標系xoy用于描述結(jié)構(gòu)整體的量6離散化將結(jié)構(gòu)離散成單元的分割點稱作結(jié)點.634512135642結(jié)點的選擇:轉(zhuǎn)折點、匯交點、支承點、剛度變化、荷載作用點等整體編碼：單元編碼、結(jié)點編碼、結(jié)點位移編碼。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐標系:整體(結(jié)構(gòu))坐標系;XY局部(單元)坐標系.曲桿結(jié)構(gòu):以直代曲.變截面桿結(jié)構(gòu):以等截面桿代變截面桿§10-1概述離散化將結(jié)構(gòu)離散成單元的分割點稱作結(jié)點.63451213567不忽略單元的軸向變形時，平面結(jié)構(gòu)中每個剛結(jié)點都有3個獨立的位移（2個獨立線位移、1個角位移），每一個鉸結(jié)點則有2個獨立線位移。平面剛架單元的桿力列向量為(10-1)平面剛架單元的桿端位移列向量為(10-2）

注意：桿端力與桿端位移必定是一一對應(yīng)的，即有幾個桿端位移分量就有幾個桿端力分量。

3.桿端位移和桿端力§10-1概述不忽略單元的軸向變形時，平面結(jié)構(gòu)中每個剛結(jié)點都有3個獨8平面桁架鉸結(jié)點只有兩個獨立的線位移，與此對應(yīng)，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對應(yīng)，但實際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有(10-3)

桿端位移向量(10-4)

其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對應(yīng)的關(guān)系。

桿端力向量§10-1概述平面桁架鉸結(jié)點只有兩個獨立的線位移，與此對應(yīng)，桁架單9作用于結(jié)點上的所有的力的合力,沿坐標軸方向分解為三個分量,構(gòu)成該結(jié)點的結(jié)點力向量。4.結(jié)點力和結(jié)點位移與結(jié)點力向量對應(yīng)的是結(jié)點位移向量，是矩陣位移法的基本未知量。注意：結(jié)點力和結(jié)點位移都是相對于整體坐標系的。

§10-1概述作用于結(jié)點上的所有的力的合力,沿坐標軸方向分解為三10桿端位移和桿端力的正負號：作用在結(jié)點上的外力和結(jié)點位移的正負號：

5.

正負號規(guī)定（強調(diào)）凡是與單元坐標軸方向一致的位移和力均為正值，反之為負值。力矩和轉(zhuǎn)角以逆時針方向為正，反之為負。與整體坐標系方向一致的結(jié)點力和結(jié)點位移為正，反之為負。以逆時針轉(zhuǎn)的結(jié)點力矩和結(jié)點轉(zhuǎn)角為正值,反之為負值?！?0-1概述桿端位移和桿端力的正負號：作用在結(jié)點上的外力和結(jié)點位移的正11重點：矩陣位移法基本思想化整為零

------結(jié)構(gòu)離散化將結(jié)構(gòu)拆成桿件，桿件稱作單元。單元的連接點稱作結(jié)點。-----單元分析

對單元和結(jié)點編碼.634512135642e單元桿端力集零為整------整體分析單元桿端力結(jié)點外力單元桿端位移結(jié)點外力單元桿端位移(桿端位移=結(jié)點位移)結(jié)點外力結(jié)點位移基本未知量:結(jié)點位移§10-1概述重點：矩陣位移法基本思想化整為零-----121.建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系截面直桿單元e,其桿端位移列向量與桿端力列向量分別為

§10-2單元剛度矩陣1.建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系截面直桿單元13當桿端軸向位移為、時，，由胡克定律得桿件軸向變形的剛度方程為

（a）在線性小位移范圍內(nèi)，忽略軸向受力狀態(tài)與彎曲向受力狀態(tài)之間的影響?！?0-2單元剛度矩陣當桿端軸向位移為、時，14桿端橫向位移△ij正負號規(guī)定:使桿的j端繞i

端作順時針轉(zhuǎn)時為正值。由兩端固定等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程有（b）

§10-2單元剛度矩陣桿端橫向位移△ij正負號規(guī)定:使桿的j端繞i端作順15將上述（a）和（b）兩式合在一起，寫成矩陣形式，有

=——單元在局部坐標系中的單元剛度方程。它可記為

（10-6a）§10-2單元剛度矩陣將上述（a）和（b）兩式合在一起，寫成矩陣形式，有=——16其中

（10-7）稱為局部坐標系中的單元剛度矩陣（簡稱單剛）。的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù),列數(shù)等于桿端位移向量的分量數(shù)，的每一個元素稱為單元剛度系數(shù)，其表示了一個力?！?0-2單元剛度矩陣其中稱為局部坐標系中的單元剛度矩陣（簡稱單剛）。17任一元素表示當j號位移為一單位時引起桿端沿i號位移方向的反力。§10-2單元剛度矩陣任一元素表示當j號位移為一單位時引18單剛陣中某一列的六個元素表示當某個稈端位移分量等于1時所引起的六個桿端力分量。第1列的六個元素就是當(即端點i沿正方向發(fā)生單位位移)時，單元的六個桿端力分量?！?0-2單元剛度矩陣單剛陣中某一列的六個元素表示當某個稈端位19從單剛元素的物理意義出發(fā)得到單剛陣圖示量均是正的單元桿端位移示意§10-2單元剛度矩陣從單剛元素的物理意義出發(fā)得到單剛陣圖示量均是正的單元桿端位移20單元桿端力示意圖示量均是正的§10-2單元剛度矩陣單元桿端力示意圖示量均是正的§10-2單元剛度矩陣21單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣22單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣23單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣24單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣單一位移時的單元桿端力§10-2單元剛度矩陣25

2.單元剛度矩陣的特性（反力互等定理）（1）是對稱矩陣。§10-2單元剛度矩陣

2.單元剛度矩陣的特性（反力互等定理）（1）26表達的桿端力和桿端位移的關(guān)系，對應(yīng)于一個完全的自由單元，沒有任何支承約束，可以有任意的剛體位移。(2)是奇異矩陣。即，其逆矩陣不存在.可以由桿端位移確定桿端力。反之，若已知桿端力，卻不能由式反求桿端位移。物理概念為：局部坐標系中的單元剛度矩陣，只與單元的幾何形狀、尺寸和物理常數(shù)有關(guān)，與單元在結(jié)構(gòu)中的位置無關(guān)。(3)位置無關(guān)性矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強的通用性?！?0-2單元剛度矩陣表達的27單元剛度矩陣為:

3.其他單元的單元剛度矩陣

（10-9）(1)平面桁架單元§10-2單元剛度矩陣單元剛度矩陣為:3.其他單元的單元剛度矩陣28若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取作單元，桿端位移條件為：，，，。單元剛度方程為(10-11)單元剛度矩陣為（10-12）（10-13）(2)連續(xù)梁單元桿端位移向量與單元桿端力向量為:§10-2單元剛度矩陣若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取作單元，桿端位移條件為：單元29

注意：矩陣中只列出彎矩沒列出剪力。這并不是說連續(xù)梁單元中沒有剪力,只不過是只把桿端轉(zhuǎn)角作為基本未知量來考慮而己。求出桿端彎矩,便可求出剪力?！?0-2單元剛度矩陣注意：矩陣中只列出彎矩沒列出剪力。這并不是說連續(xù)梁單元30整體分析時必須建立一個統(tǒng)一的坐標系，稱為整體坐標系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整體坐標系方向上來。整體坐標系中，單元桿端位移向量記為{δe},單元桿端力向量記為{Fe}問題的提出§10-3單元剛度矩陣的坐標變換整體分析時必須建立一個統(tǒng)一的坐標系，稱為整體坐標系，31局部坐標系下的桿端力整體坐標系下的桿端力1.單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣局部坐標系

與整體坐標系為xoy的夾角α以x軸逆時針轉(zhuǎn)到與局部坐標系為正。

§10-3單元剛度矩陣的坐標變換局部坐標系下的桿端力整體坐標系下的桿端力1.單元坐標轉(zhuǎn)換矩32j端點桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系端點i處的桿端力分量，有下列轉(zhuǎn)換關(guān)系：（10-10a）（10-10b）整體坐標系下的桿端力與局部坐標系下的桿端力之間的關(guān)系§10-3單元剛度矩陣的坐標變換j端點桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系33簡記為將（10-10a）和（10-10b）聯(lián)合起來寫成矩陣形式§10-3單元剛度矩陣的坐標變換簡記為34[T]稱為單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣,[T]是一正交矩陣。[I]為與[T]同階的單位矩陣?；颉?0-3單元剛度矩陣的坐標變換[T]稱為單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣,[T]是一正交矩陣。[I]為與35同理由可得坐標轉(zhuǎn)換矩陣為：對平面桁架單元

，?！?0-3單元剛度矩陣的坐標變換同理36整體坐標系中的單元剛度方程寫為局部坐標系中的單元剛度方程寫為由，

，得等式兩邊左乘，得2.整體坐標系中的單元剛度矩陣從而可得兩種坐標系中單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系式:§10-3單元剛度矩陣的坐標變換整體坐標系中的單元剛度方程寫為局部坐標系中的單元剛度37對于平面剛架單元，整體坐標系中的單元剛度矩陣為式中：§10-3單元剛度矩陣的坐標變換對于平面剛架單元，整體坐標系中的單元剛度矩陣為式中：§1038平面桁架單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣為:

整體坐標系中的單元剛度矩陣具有與類似的性質(zhì)(對稱性和奇異性)?！?0-3單元剛度矩陣的坐標變換平面桁架單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣為:39表示單元j端產(chǎn)生單位位移時引起

i

端的桿端力。對于平面剛架單元

整體分析中，對每一個結(jié)點分別建立平衡方程，為了討論方便，將單元剛度方程按兩端的結(jié)點

i

、j

進行分塊，寫為對于平面剛架單元，它們都是3×3階方陣。對于平面桁架單元，它們都是2×2階方陣?！?0-3單元剛度矩陣的坐標變換表示單元j端產(chǎn)生單位位移時引起i端的40例:整體單剛的計算21已知:求:各單元整體單剛解:§10-3單元剛度矩陣的坐標變換例:整體單剛的計算21已知:求:各單元整體單剛解:§10-341§10-3單元剛度矩陣的坐標變換§10-3單元剛度矩陣的坐標變換42本節(jié)開始對結(jié)構(gòu)進行整體分析(后處理法)分析任務(wù):建立結(jié)點力與結(jié)點位移的關(guān)系-結(jié)構(gòu)的剛度方程例:第一步:編號，建坐標符號：與整體坐標正向為正。結(jié)點力列向量結(jié)點位移列向量其中：§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣本節(jié)開始對結(jié)構(gòu)進行整體分析(后處理法)分析任務(wù):建立結(jié)點力與43、

—

支座反力、

—

結(jié)點外力{F}=[K]{Δ}——表示整個結(jié)構(gòu)在整體坐標系中的結(jié)點位移與結(jié)點力之間的變換關(guān)系。--明確任務(wù)有n個結(jié)點的平面剛架，Δ是3n階向量。有n個結(jié)點的平面桁架,Δ是2n階向量。

{F}——結(jié)構(gòu)的結(jié)點力向量。它是由作用在每個結(jié)點上的外力(包括已知的荷載和未知的支座反力)構(gòu)成的。注意：{F}與{Δ}的階數(shù)相同,而且是一一對應(yīng)的。{Δ}——結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移向量。矩陣位移法的基本未知量。

[K]——結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等于結(jié)構(gòu)結(jié)點的位移數(shù)。

§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣、—支座反力、—結(jié)點外力{F}=[K]{Δ}—44第二步：單元分析§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣第二步：單元分析§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣45第三步，利用變形條件和平衡條件建立與的關(guān)系。分別對結(jié)點1，2，3，4進行分析§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣第三步，利用變形條件和平衡條件建立與的關(guān)系。分46由變形條件：

由平衡條件：如結(jié)點2：即：

即：

§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣由變形條件：由平衡條件：如結(jié)點2：即：即：§10-447同理，對結(jié)點1、3、4的平衡條件為：

寫成矩陣形式：§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣同理，對結(jié)點1、3、4的平衡條件為：寫成矩陣形48上式稱為結(jié)構(gòu)的原始剛度方程，簡寫為：稱為結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣，簡稱總剛?？倓偠染仃囂匦裕海?）[K]是對稱方陣；

kij=kji（反力互等定理），貯存總剛度矩陣時，只需貯存它的一半就行了。（2）[K]是稀疏矩陣；非零元素只分布在主對角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。表示結(jié)點位移{}和結(jié)點力{F}之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的實際荷載，并不是原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程?！?0-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣上式稱為結(jié)構(gòu)的原始剛度方程，簡寫為：稱為結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣，49當尚未引進支座條件的情況下，結(jié)構(gòu)剛度方程是無法求解的（未引進支座條件時，結(jié)構(gòu)存在剛體位移）。（3）K是一個奇異矩陣。特稱沒有引進支座條件的總剛度矩陣稱為原始總剛度矩陣。建立總剛度矩陣有兩種方法:

1）理論推導(dǎo),即剛度法。2）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩陣，稱為直接剛度法§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣當尚未引進支座條件的情況下，結(jié)構(gòu)剛度方程是無法求解的（未50由總剛中元素的物理意義形成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12

則有:

若令:其他Ki1為0，這種方法太麻煩。§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣由總剛中元素的物理意義形成：2(4,5,6)1(1,2,3)51桁架的指示矩陣為：

任何一個桿端都與一個結(jié)點對應(yīng)。圖示桁架，其單元桿端與結(jié)點號可用一個矩陣來表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，列數(shù)為2。每一行的兩個數(shù)分別表示該單元i、j

端對應(yīng)的結(jié)點號。這個矩陣稱為指示矩陣。指示矩陣實際上也給出了各單元坐標系。ij直接剛度法形成總剛度矩陣直接剛度法——直接由各單元剛度矩陣裝配形成總剛度矩陣。是目前編制計算機程序最常用的方法。1.首先應(yīng)將結(jié)構(gòu)的結(jié)點和單元編號。編號可以任意編，并不影響計算結(jié)果?！?0-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣桁架的指示矩陣為：任何一個桿端都與一個結(jié)點對應(yīng)。圖示桁522.首先列出整體坐標表示的單元剛度矩陣。3.將單元剛度矩陣劃分為4個子塊：4.按“子塊搬家，對號入座”的原則將單元剛度矩陣中的子塊，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置則根據(jù)指示矩陣G

的規(guī)定來確定。一般的規(guī)律是：第e單元i端對應(yīng)結(jié)點號為g,

j

端對應(yīng)結(jié)點號為h?！鞍峒摇睍r將該單元單元剛度矩陣中的子塊Kij搬到總剛度矩陣中的子塊位置Kgh，即搬到總剛度矩陣中第g子塊行，第h子塊列中去?！?0-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣2.首先列出整體坐標表示的單元剛度矩陣。53→K11

→K13→K31→K33例如,圖示桁架第⑤號單元的4個子塊，根據(jù)指示矩陣G

的指示，分別搬到：§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣→K11→K13→K31→K33例如,圖示桁架第⑤542）用上述

“子塊搬家，對號入座”裝配總剛度矩陣的方法也適用于其他任何桿件結(jié)構(gòu)。各單元都按此原則“搬家”后，桁架的總剛度矩陣為：

1234

注意：1）總剛的一個子塊位置中搬入幾個子塊時，這幾個子塊應(yīng)疊加?！?0-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣2）用上述“子塊搬家，對號入座”裝配總剛度矩55總剛度矩陣的構(gòu)造

圖示桁架有4個結(jié)點，有8個位移分量。Δ=｛u1v1

u2v2

u3v3

u4v4｝T總剛度矩陣則為8階方陣：子塊行元素行子塊列

1234

元素列

12345678

將其分成4個子塊。平面桁架，每一結(jié)點具有兩個位移分量，每一子塊中就有兩行兩列共4個元素。

1.K32的物理意義是什么？思考：2.k35的物理意義是什么？§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣總剛度矩陣的構(gòu)造圖示桁架56

1.子塊K32表示結(jié)點2產(chǎn)生單位位移時引起的結(jié)點3的結(jié)點力。

2.k35表示第5號位移（結(jié)點3沿X方向的位移）為一單位時引起沿第3號位移（結(jié)點2沿y方向的位移）方向的力。這個力應(yīng)該理解為相當于按位移法的基本結(jié)構(gòu)所規(guī)定的結(jié)點2的豎向附加約束的約束反力。4.總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？

3.對于空間桁架和平面剛架，每個子塊中含多少個元素？思考：

答：§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣1.子塊K32表示結(jié)點2產(chǎn)生單位位移時引起的結(jié)點3571）首先對其結(jié)點和單元進行編號如圖示。每個子塊都是由3×3階的9個元素構(gòu)成的。3）列出剛架的指示矩陣

ij2）列出各單元的用整體坐標表示的單元剛度矩陣為：平面剛架§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣1）首先對其結(jié)點和單元進行編號如圖示。每個子塊都是由3×3階58對號入座裝配總剛度矩陣為：

12345§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣對號入座裝配總剛度矩陣為：159主子塊：主對角線上的子塊，副子塊：非主對角線上的子塊，，相關(guān)單元：連接結(jié)點，單元。相關(guān)結(jié)點：與結(jié)點相鄰的結(jié)點。

相關(guān)單元：與結(jié)點相連的單元?？倓偟奶攸c：1）（為結(jié)點的相關(guān)單元）

2）若，非相關(guān)，則

，若為相關(guān)，則（為結(jié)點,的相關(guān)單元）

總剛的形成：對號入座，同號相加。單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律總結(jié)：§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣主子塊：主對角線上的子塊，副子塊：非主對角線上的子塊，，60解：有關(guān)參數(shù)單剛見教材（略）例：試求圖示剛架的原始剛度矩陣。已知各桿§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣解：有關(guān)參數(shù)單剛見教材（略）例：試求圖示剛架的原始剛度61§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣62作業(yè):求圖示結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中元素1342（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）EI、EA為常數(shù)，各桿長度相同。§10-4結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣作業(yè):求圖示結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中元素1342（1,2,3）（463圖示剛架原始剛度方程未知未知未知未知已知已知已知已知§10-5支承條件的引入圖示剛架原始剛度方程未知未知未知未知已知已知已知已知§10-64未知未知未知未知已知已知已知已知由于結(jié)點1、4為固定端，故支承約束條件為代入結(jié)構(gòu)原始剛度方程，有和§10-5支承條件的引入未知未知未知未知已知已知已知已知由于結(jié)點1、4為固定端，故支65其中為引入支承條件后的結(jié)構(gòu)剛度方程，可寫為：式中：只包括已知結(jié)點荷載，只包括未知結(jié)點位移，此時的矩陣即為從結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中刪去與已知為零的結(jié)點位移對應(yīng)的行和列而得到，稱為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣或縮減的總剛。此時，由于引入支承條件，消除了結(jié)構(gòu)的任意剛體位移，故結(jié)構(gòu)剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結(jié)點位移的唯一解。（若此時結(jié)構(gòu)剛度矩陣仍奇異，說明原結(jié)構(gòu)為幾何可變或瞬變體系）。§10-5支承條件的引入其中為引入支承條件后的結(jié)構(gòu)剛度方程，可寫為：式中：只包66求出未知結(jié)點位移后，可由單元剛度方程計算各單元的內(nèi)力。整體坐標系下，單元桿端力為：可求得局部坐標系下單元桿端力或：局部坐標系下單元桿端結(jié)點位移同樣可求得局部坐標系下單元桿端力§10-5支承條件的引入求出未知結(jié)點位移后，可由單元剛度方程計算各單元的內(nèi)力67求出未知結(jié)點位移后，由式可計算支座反力。但是，當全部桿件的內(nèi)力都求出后，一般可由結(jié)點平衡條件求支座反力更方便。§10-5支承條件的引入求出未知結(jié)點位移后，由式可計算支座反力。但是，當全部6824圖示剛架的原始剛度矩陣舍棄與約束所對應(yīng)的行和列，得到引進了支座條件后的總剛度矩陣：這就是后處理法，即先集成總剛度矩陣，然后再引進約束條。還有先處理法，即先引進支座條件，然后集成總剛度矩陣。(暫略)

§10-5支承條件的引入24圖示剛架的原始剛69

1234引進約束條件后的剛度方程：通過求解線性代數(shù)方程組的方法求出未知的結(jié)點位移向量。圖示平面桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程為：§10-5支承條件的引入

70123431241234②③①(a)(b)(c)對于平面剛架單元，若單元上作用著非結(jié)點荷載，則單元的桿端力將由兩部分構(gòu)成。一部分是由結(jié)點位移所引起的，另一部分是非結(jié)點荷載作用而直接引起的桿端力,即固端內(nèi)力?！?0-6非結(jié)點荷載的處理123431241234②③①(a)(b)(c)713124(b)同位移法，剛結(jié)點處施加附加鏈桿和附加剛臂阻止所有結(jié)點的線位移和角位移，此時各單元有固端力，附加鏈桿和附加剛臂上有附加反力和附加反力矩。由結(jié)點平衡條件可知，附加聯(lián)系上的附加反力等于匯交于該結(jié)點的各固端力的代數(shù)和。某單元e受非結(jié)點荷載作用，單元局部坐標系中的固端力為：固端大小可由固端內(nèi)力表查得，P252表10-3。§10-6非結(jié)點荷載的處理3124(b)同位移法，剛結(jié)點處施加附加鏈桿721234（c）取消附加聯(lián)系，相當于在結(jié)點上施加了與上述附加反力和附加反力矩反號的荷載，此荷載成為原結(jié)構(gòu)上非結(jié)點荷載的等效結(jié)點荷載。注意：這里“等效”指圖（a）和圖（c）的結(jié)點位移相等整體坐標系中的固端力為：將各分量反號并對號入座送到荷載列陣中去，即為等效結(jié)點荷載?！?0-6非結(jié)點荷載的處理1234（c）取消附加聯(lián)系，相當于在結(jié)點上施加了與上述附加反73任一結(jié)點i上的等效結(jié)點荷載FEi為：如果除了非結(jié)點荷載的等效結(jié)點荷載FEi外，結(jié)點i上還作用有直接結(jié)點荷載FDi，則i點總的結(jié)點荷載為：結(jié)點i的綜合結(jié)點荷載整個結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點荷載§10-6非結(jié)點荷載的處理任一結(jié)點i上的等效結(jié)點荷載FEi為：如果除了74各單元最后的桿端力是固端力和綜合結(jié)點荷載作用下產(chǎn)生的桿端力之和，即和或§10-6非結(jié)點荷載的處理各單元最后的桿端力是固端力和綜合結(jié)點荷載作用75表:

單元固端約束力（局部坐標系）

荷載簡圖

始

端1末

端21

2

122abFP-§10-6非結(jié)點荷載的處理表:單元固端約束力（局部坐標系）

1276表:

單元固端約束力（局部坐標系）

§10-6非結(jié)點荷載的處理3

4

表:單元固端約束力（局部坐標系）§10-6非77表:

單元固端約束力（局部坐標系）

§10-6非結(jié)點荷載的處理5

6

表:單元固端約束力（局部坐標系）§10-6非78表:

單元固端約束力（局部坐標系）

§10-6非結(jié)點荷載的處理7表:單元固端約束力（局部坐標系）§10-6非79計算步驟：（1）對結(jié)點和單元進行編號，選定整體坐標系和局部坐標系；（2）計算各桿的單元剛度矩陣；（3）形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣；（4）計算固端力、等效結(jié)點荷載和綜合結(jié)點荷載；（5）引入支承條件，修改結(jié)構(gòu)原始剛度方程，得到縮減總剛；（6）結(jié)算結(jié)構(gòu)剛度方程，求出結(jié)點位移；（7）計算各單元桿端力。§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例計算步驟：（1）對結(jié)點和單元進行編號，選定整體坐標系和局部80[K]求單元常數(shù)[T]{F}原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼解方程{F}=[K]{}

求出結(jié)點位移{}開始單元剛度矩陣ke單元固端力e結(jié)束[K]{}={F}{FP}+=程序設(shè)計框圖求桿端力eeee§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例[K]求單元常數(shù)[T]{F}原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼解方程{81123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10-1求圖示剛架的內(nèi)力。已知各桿材料及截面相同。（1）將單元、結(jié)點編號，確定坐標系，如圖所示。（2）求出各單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣，見書P247。（3）將各單剛子塊對號入座，形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣，見書P248。（4）計算非結(jié)點荷載作用下的各單元固端力、等效結(jié)點荷載及綜合結(jié)點荷載。對局部坐標和整體坐標不一致的單元，要對剛度、荷載進行坐標轉(zhuǎn)換。§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③82各單元在其局部坐標系下的固端力為：§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例各單元在其局部坐標系下的固端力為：§10-7矩陣位移法的計83經(jīng)過坐標轉(zhuǎn)換，得到各單元在整體坐標系下的固端力為：§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例經(jīng)過坐標轉(zhuǎn)換，得到各單元在整體坐標系下的固端力為：§10-784結(jié)點2、3上的等效結(jié)點荷載為：結(jié)點2、3上的綜合結(jié)點荷載為：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例結(jié)點2、3上的等效結(jié)點荷載為：結(jié)點2、3上的綜合結(jié)點荷載為：85結(jié)構(gòu)的結(jié)點外力列向量為這里，F(xiàn)1和F4應(yīng)為綜合結(jié)點荷載和支座反力的代數(shù)和，其中支座反力仍為未知量；引入支承條件時，F(xiàn)1和F4將被劃掉，因此不必計算其等效結(jié)點荷載和綜合結(jié)點荷載。結(jié)構(gòu)原始剛度方程見書P256§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例結(jié)構(gòu)的結(jié)點外力列向量為這里，F(xiàn)1和F4應(yīng)為綜合結(jié)點荷載和支座86（5）引入支承條件，修改原始剛度方程。結(jié)點1、4為固定端，位移已知：代入原始剛度方程，得到修改后的結(jié)構(gòu)剛度方程為§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例（5）引入支承條件，修改原始剛度方程。結(jié)點1、4為固定端，位87（6）解方程，求得未知結(jié)點位移為：（7）計算各單元桿端力，見書P258。§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例（6）解方程，求得未知結(jié)點位移為：（7）計算各單元桿端力，見8810-2平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知F1=15kN,F2=20kN,試求桁架各桿軸力。解:(1)對結(jié)點和單元編號cosαsinαα即Cy即Cx單元單元坐標x軸方向（即指示矩陣）單元長度(m)1→2①30°101.732②3→20°0.8660.52.00各單元參數(shù)表§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例10-2平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知F1=89(2)列出各單元剛度矩陣整體坐標表示的單元剛度矩陣§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(2)列出各單元剛度矩陣整體坐標表示的單元剛度矩陣§10-90即

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例即§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例91(3)集合總剛度矩陣原始總剛度矩陣為：

123取出總剛度矩陣中與自由結(jié)點2相對應(yīng)的元素（第2子塊行、第2子塊列中的元素）,舍棄約束結(jié)點所對應(yīng)的元素，得考慮約束條件后的總剛度矩陣變成：§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(3)集合總剛度矩陣原始總剛度矩陣為：192(4)建立剛度方程并求解

F=KΔ

解得結(jié)點位移列向量為(5)求桿端力

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(4)建立剛度方程并求解F=KΔ93單元①的單元結(jié)點位移向量為單元①的桿端力為§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元①的單元結(jié)點位移向量為單元①的桿端力為§10-7矩陣位94單元②的單元結(jié)點位移向量為結(jié)果的正確性很容易從結(jié)點2的平衡條件判斷出來。單元②的桿端力為§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元②的單元結(jié)點位移向量為結(jié)果的正確性很容易從結(jié)點295解:(1)對應(yīng)結(jié)點及各單元編號。例10-3平面剛架如圖所示，各桿截面相同。A=0.24m2,

E=1×107kN/m2,I=0.0072m4，試求各桿端力，并畫出內(nèi)力圖?！?0-7矩陣位移法的計算步驟和示例解:(1)對應(yīng)結(jié)點及各單元編號。例10-3平面剛96Cx單元單元坐標x軸αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(2)列出單元參數(shù)表

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例Cx單單元坐標x軸αCy1→3①45°14×1050.1297整體坐標表示的單元剛度矩陣公式

(3)列出單元剛度矩陣§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例整體坐標表示的單元剛度矩陣公式(3)列出單元剛度矩陣§98單元①，③為：

單元②為：

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元①，③為：單元②為：§10-7矩陣位移法的計算步驟99(4)集合總剛

123

4

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(4)集合總剛12100(5)引入支座條件取出自由結(jié)點3所對應(yīng)的子塊,構(gòu)成考慮約束條件后的總剛度矩陣123

4

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(5)引入支座條件取出自由結(jié)點3所對應(yīng)的子塊,構(gòu)101(6)計算荷載向量先求出單元3的非結(jié)點荷載引起的固端內(nèi)力，然后將固端內(nèi)力反向加到結(jié)點上去。

荷載向量為§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(6)計算荷載向量先求出單元3的非結(jié)點荷載引起的固102(7)建立結(jié)構(gòu)剛度方程并求解結(jié)構(gòu)剛度方程為F=KΔ

即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以結(jié)點位移向量為：§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(7)建立結(jié)構(gòu)剛度方程并求解結(jié)構(gòu)剛度方程為F=KΔ即由103(8)計算桿端力Δ(e)可根據(jù)單元兩端結(jié)點號直接由結(jié)點位移向量Δ中取出

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(8)計算桿端力Δ(e)可根據(jù)單元兩端結(jié)點1041)計算單元坐標變換矩陣T(e)§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例1)計算單元坐標變換矩陣T(e)§10-7矩陣位移法的計1052)計算各單元的單元坐標表示的單元剛度矩陣§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例2)計算各單元的單元坐標表示的單元剛度矩陣§10-7矩陣位1063)計算各單元桿端力向量單元①§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例3)計算各單元桿端力向量單元①§10-7矩陣位移法的計算107單元②§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元②§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例108單元③作用非結(jié)點荷載,固端內(nèi)力向量為

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元③作用非結(jié)點荷載,固端內(nèi)力向量為§10-7矩陣位109(9)畫出結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(9)畫出結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖§10-7矩陣位移法的計算步驟和110解:(1)整理原始數(shù)據(jù)并編號。各跨的線剛度相等,i=EI／12。進行結(jié)點編號、位移編號、單元編號。

例10-4用矩陣位移法計算圖所示的連續(xù)梁的內(nèi)力。EI=常數(shù)。(2)建立結(jié)點位移向量Δ

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例解:(1)整理原始數(shù)據(jù)并編號。各跨的111(3)建立各單元的定位向量各單元的單元定位向量分別由該單元兩端的位移編號組成:(4)計算單元剛度矩陣。連續(xù)梁的單元局部坐標系與結(jié)構(gòu)整體坐標系平行，0

1

12

23有§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(3)建立各單元的定位向量各單元的單元定位向量分別112(5)集成整體剛度矩陣K(注意定位與累加)

011223；；；§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(5)集成整體剛度矩陣K(注意定位與累加)011113(6)形成荷載向量F計算單元固端內(nèi)力；將固端內(nèi)力反向加到結(jié)點上去；同一結(jié)點上同向的力疊加而成。荷載向量為:§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(6)形成荷載向量F計算單元固端內(nèi)力；將固端內(nèi)力反114(7)建立結(jié)構(gòu)整體剛度方程，并求解結(jié)點位移向Δ解得結(jié)點位移向量Δ為整體剛度方程K⊿=F§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(7)建立結(jié)構(gòu)整體剛度方程，并求解結(jié)點位移向115(8)計算各桿的桿端內(nèi)力

由

算得各桿的桿端內(nèi)力（彎矩）為§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(8)計算各桿的桿端內(nèi)力由116由各桿的桿端內(nèi)力（彎矩），則可繪出彎矩圖。其結(jié)果與用力矩分配法計算的結(jié)果相同?！?0-7矩陣位移法的計算步驟和示例由各桿的桿端內(nèi)力（彎矩），則可繪出彎矩圖。其結(jié)果與用117

例10-5平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知F1=20kN,F2=30kN,F3=40kN，試用先處理法求各桿軸力。

解(1)對結(jié)點和單元編號。

(2)列表表示各單元參數(shù)

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例例10-5平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。118→→→→→→單元參數(shù)表§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例→→→→→→單元參數(shù)表§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例119(3)列出各單元的定位向量

(4)列出各單元剛度矩陣(整體坐標)并配以定位向量。

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(3)列出各單元的定位向量(4)列出各120

0

0010123

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例000101212123000000§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例2300000122

0023§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例0023§10-1230100§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例0100§10-124(5)集成總剛度矩陣按照單元剛度矩陣各行列對應(yīng)的定位向量中的數(shù)值將該元素搬入總剛陣中。得：

123

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(5)集成總剛度矩陣按照單元剛度矩陣各行列對應(yīng)的定125(6)建立剛度方程并求解剛度方程為：即解出§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例(6)建立剛度方程并求解剛度方程為：即解出§10-7矩陣126

結(jié)點位移向量為(7)計算單元桿端力（拉）由公式F(e)=K(e)

T(e)

Δ(e)，得§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例結(jié)點位移向量為(7)計算單元桿端力（拉）由公式F(e)=127單元②（拉）§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元②（拉）§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例128單元⑤

(壓)

§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例單元⑤(壓)§10-7矩129其他單元計算過程從略，結(jié)果為

④單元⑥單元

(拉)

單元③單元(壓）§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例其他單元計算過程從略，結(jié)果為④單元⑥單元(拉)單元③單130

對于平面剛架單元，若單元上作用著非結(jié)點荷載，則單元的桿端力將由兩部分構(gòu)成。一部分是由結(jié)點位移所引起的，另一部分是非結(jié)點荷載作用而直接引起的桿端力,即固端內(nèi)力。

單元的桿端力將是兩部分之和,即這就是計算桿端力的完整的公式。固端內(nèi)力向量可由固端內(nèi)力表查得。§10-7矩陣位移法的計算步驟和示例對于平面剛架單元，若單元上作用著非結(jié)點荷載131

1、結(jié)點位移分量的編號，單元定位向量(2)對位移編號時，按結(jié)點的順序進行，一個結(jié)點內(nèi)的編號又按x方向、y方向的線位移和轉(zhuǎn)角順序進行。(1)對每一個結(jié)點編號，還要對每一個位移也編號。凡是約束對應(yīng)的位移編為零號。結(jié)點位移編號數(shù)組中的最后一個數(shù)就表示了該結(jié)構(gòu)未知數(shù)的數(shù)目。

編號:§10-8幾點補充說明1、結(jié)點位移分量的編號，單元定位向量(2132

建立各單元的定位向量單元的定位向量λ(e)

：把某一單元兩端結(jié)點所對應(yīng)的位移號按照由始端到末端的次序所列成的列向量稱為該單元的定位向量。圖示剛架各單元的定位向量為：§10-8幾點補充說明建立各單元的定位向量單元的定位向量λ(e133形成總剛度矩陣

思考:定位向量中“零”所對應(yīng)的單元剛度矩陣中的元素搬入總剛度矩陣中何位置？按定位向量所指示的位置把單元剛度矩陣中的各元素搬入總剛度矩陣§10-8幾點補充說明形成總剛度矩陣思考:定位向量中“零”所對應(yīng)134

2、總剛的帶寬與存儲方式結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣具有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。同時，那些非零元素通常集中在主對角線附近的斜帶形區(qū)域內(nèi)，成為帶狀矩陣在帶狀矩陣中，每行(列)從主對角線元素起至該行(列)最外一個非零元素止所包含的元素個數(shù)，成為該行(列)的帶寬。某行(列)帶寬=該行(列)結(jié)點位移分量號-最小相關(guān)結(jié)點位移分量號+1所有各行(列)帶寬中的最大值稱為矩陣的最大帶寬最大帶寬=相關(guān)結(jié)點位移分量號的最大差值+1等帶寬存貯滿陣存貯§10-8幾點補充說明2、總剛的帶寬與存儲方式結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣具135634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（13,14,15）（10,11,12）（16,17,18）§10-8幾點補充說明634512135642（1,2,3）（4,5,6）（7,8136

等半帶寬與結(jié)點編碼有關(guān)19層12343940總剛占用存貯單元:122021401922總剛占用存貯單元:39最大帶寬=(相關(guān)結(jié)點編號的最大差值+1)×

3即:最大帶寬＝［max(j-i)+1］×3§10-8幾點補充說明等半帶寬與結(jié)點編碼有關(guān)19層12343940總剛占用存貯單1373、關(guān)于支承條件的引入(1)置大數(shù)法（N為一個充分大的數(shù)）做法:取大數(shù)N,總剛中元素乘以N;并用替換§10-8幾點補充說明3、關(guān)于支承條件的引入(1)置大數(shù)法（N為一個充分大的數(shù)138

(2)化零置一法（精確方法）做法:(1)用[中的第i列]代替(2)將總剛中第i行第i列的非主對角元素置0;(3)將總剛中主對角元素置為1,總荷中元素置成c經(jīng)邊界條件處理后的總剛稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣§10-8幾點補充說明(2)化零置一法（精確方法）做法:(1)用[139★關(guān)于斜邊界的處理

如圖示意的斜支座情況，有多種處理方案。1)通過單元的坐標轉(zhuǎn)換來處理xyr2)通過增加一個單元來處理3)對整體剛度矩陣進行處理(參見有關(guān)教材)圖示有斜支座單元，r結(jié)點處以傾角-來進行坐標轉(zhuǎn)換，也即在r結(jié)點處整體坐標為圖示xy。圖示有斜支座單元，r結(jié)點處沿y方向增加一個剛結(jié)的單元，此單元有“無窮大”的抗拉剛度、但沒有抗彎剛度。單元長度可任意。§10-8幾點補充說明★關(guān)于斜邊界的處理如圖示意的斜支座情況，有多種140

4、鉸結(jié)點的處理(1)傳統(tǒng)位移法:不把鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角作為未知量(2)引用具有鉸結(jié)端的單元剛度矩陣(3)將各鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角均作為基本未知量求解(4)主從關(guān)系§10-8幾點補充說明4、鉸結(jié)點的處理(1)傳統(tǒng)位移法:不把鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角作141

5、先處理支承條件及忽略軸向變形影響

先處理法：將約束已經(jīng)消除的結(jié)點位移排除在剛度方程之外。集成總剛度矩陣時根本不需考慮約束結(jié)點的存在。目的是減少未知數(shù)的數(shù)目，縮小總剛度矩陣的體積，減少計算工作量。§10-8幾點補充說明5、先處理支承條件及忽略軸向變形影響先處理法：將約142集成總剛陣時必須使用整體坐標表示的單元剛度矩陣。

用先處理法集成總剛陣時必須先建立各單元的定位向量λ根據(jù)定位向量的指引將單剛陣中的元素逐個搬入總剛度矩陣中。

用后處理法集成總剛陣時必須先集成原始總剛度矩陣。集成原始總剛陣時應(yīng)根據(jù)結(jié)點編號情況指示矩陣G以子塊搬家的方式將單剛陣中的子塊逐個搬入總剛度矩陣中?！?0-8幾點補充說明集成總剛陣時必須使用整體坐標表示的單元剛度矩陣。143如不考慮軸向變形的單元由6×6剛度矩陣劃去1、4行和列后可得§10-8幾點補充說明如不考慮軸向變形的單元由6×6剛度矩陣劃去1、4行和列后可得144平面剛架程序的擴大功能:1.平面桁架2.桁梁組合體系3.斜向支座4.彈性支座5.彈性地基6.帶鉸結(jié)點的剛架§10-8幾點補充說明平面剛架程序的擴大功能:1.平面桁架2.桁梁組合體系3145總結(jié)矩陣位移法與位移法在理論上并無區(qū)別，只是在表達方式上有所不同。(1)矩陣位移法的理論基礎(chǔ)與一般位移法完全相同，只是表達方式不同。用矩陣形式表示具有更強的概括性。

(2)總剛度矩陣是由各單元剛度矩陣裝配成的，只要找出了裝配的規(guī)律，總剛度矩陣不必計算而可直接由單元剛度矩陣裝配而成。(3)矩陣位移法與一般位移法解題步驟的對應(yīng)關(guān)系可以由下表表示：總結(jié)矩陣位移法與位移法在理論上并無區(qū)別，只是在146總結(jié)總結(jié)147一、基本概念結(jié)構(gòu)矩陣分析是采用矩陣方法分析結(jié)構(gòu)力學問題的一種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應(yīng)，在結(jié)構(gòu)矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。矩陣位移法易于實現(xiàn)計算過程程序化而被廣泛應(yīng)用。矩陣位移法是結(jié)構(gòu)力學中的位移法加上矩陣方法。矩陣位移法的基本未知量也是結(jié)點位移——獨立的線位移和轉(zhuǎn)角。但由于有時考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳統(tǒng)位移法的基本未知量多一些?？偨Y(jié)一、基本概念結(jié)構(gòu)矩陣分析是采用矩陣方法分析結(jié)構(gòu)力學問148矩陣位移法的基本思路是:(1)先把結(jié)構(gòu)離散成單元，進行單元分析,建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系；

(2)在單元分析的基礎(chǔ)上，考慮結(jié)構(gòu)的幾何條件和平衡條件，將這些離散單元組合成原來的結(jié)構(gòu)，進行整體分析，建立結(jié)構(gòu)的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系，即結(jié)構(gòu)的總剛度方程，進而求解結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移和單元桿端力。

在從單元分析到整體分析的計算過程中，全部采用矩陣運算?？偨Y(jié)矩陣位移法的基本思路是:總結(jié)149集成總剛度矩陣最常用的方法是直接剛度法，即由單元剛度矩陣直接集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，又可分為后處理法和先處理法。1.后處理法

(1)集成。對所有單元不做邊界條件處理，均采用自由式的單元剛度矩陣，按單元的結(jié)點編號將單元剛度矩陣分為四個子塊（階數(shù)相同），逐塊地將結(jié)點所對應(yīng)的子塊在結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中對號入座，形成結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣。由于結(jié)點位移分量中包括了非自由結(jié)點的已知位移，原始剛度矩陣為奇異的，需進行邊界條件處理，才能求解自由結(jié)點位移。由于原始剛度矩陣的階數(shù)較高，所以后處理法的主要缺點是占用較多的計算機內(nèi)存。二、總剛度矩陣的集成及約束處理總結(jié)集成總剛度矩陣最常用的方法是直接剛度法，即由單元剛度矩陣150對于每個結(jié)點位移分量數(shù)相同的結(jié)構(gòu)，原始剛度矩陣的階數(shù)為結(jié)構(gòu)的總結(jié)點數(shù)乘以結(jié)點位移分量的數(shù)目，例如，每個結(jié)點位移分量數(shù)為3的平面剛架，結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣的階數(shù)為3n×3n

?？偨Y(jié)對于每個結(jié)點位移分量數(shù)相同的結(jié)構(gòu)，原始剛度矩陣的階數(shù)為151對于剛性支座，用劃行劃列法處理剛性支座，即直接劃去原始剛度方程中與零位移對應(yīng)的行和列。這樣做有時要改變原方程的排列順序,會給編程帶來麻煩。為了不改變原方程的排列順序，同時又要引入邊界條件,采用“主一副零”法。（2）邊界條件處理

設(shè)結(jié)點位移向量中第r個位移等于零,即r=0

，則在結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣k中的第r行第r列中主對角元素krr改為1其余元素改為零。同時將結(jié)點結(jié)點荷載列向量P中的第r個分量也改為零。即總結(jié)對于剛性支座，用劃行劃列法處理剛性支座，即直接劃去原152對于支座位移等于給定值時，采用“乘大數(shù)法”。設(shè)結(jié)點位移向量中第r個位移等于d0，在矩陣K與向量P中，主對角元素krr

改為Gkrr，將Pr改為d0Gkrr，其中G為一大數(shù)通常取108～1010

。，總結(jié)對于支座位移等于給定值時，采用“乘大數(shù)法”。設(shè)結(jié)點位153

單元定位向量：按單元連接結(jié)點編號順序由結(jié)點未知位移編號組成的向量。2.先處理法

(1)集成。將單元剛度矩陣先按邊界條件進行處理,然后按照單元連接結(jié)點的總位移編號將單元剛度矩陣的元素在結(jié)構(gòu)的剛度矩陣中對號入座，形成總剛后即可進行求解。上述過程可通過引入定位向量來實現(xiàn)。在單元定位向量中考慮邊界條件，凡給定的結(jié)點位移分量，其位移總碼均編為零，與總碼編為零相應(yīng)的行、列元素在集成總剛時被屏棄在外?？偨Y(jié)單元定位向量：按單元連接結(jié)點編號順序由結(jié)點未知位移編號組154

（2）邊界條件處理。對于剛性支座，其位移總碼均編為零。對于支座位移等于給定值時，通常也將其位移總碼均編為零，將支座結(jié)點位移的影響轉(zhuǎn)換成單元非結(jié)點荷載,即，將支座結(jié)點位移轉(zhuǎn)換成與該支座結(jié)點位移連接的各單元在單元坐標系中的桿端位移，求出由此給定的桿端位移產(chǎn)生的單元固端力，然后轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點荷載。通常用主對角元素疊加法處理彈性支座。如果結(jié)構(gòu)的第j個自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系數(shù)疊加到原始剛度矩陣主對角線的第j個元素上即可得到經(jīng)約束處理后的總剛度方程。3.彈性支座的處理

總結(jié)（2）邊界條件處理。對于剛性支座，其位移總碼均編為零。對于155總剛度方程為整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載與結(jié)點位移之間的關(guān)系式，是結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。無論何種結(jié)構(gòu)，其總剛度方程都具有統(tǒng)一的形式:4.總剛度方程和總剛度矩陣的性質(zhì)與特點K=P式中K為總剛度矩陣，為結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移列向量，P為結(jié)點力列向量?？倓偠染仃嘖反應(yīng)了整個結(jié)構(gòu)的剛度，是描述結(jié)點力與結(jié)點位移之間關(guān)系的系數(shù)矩陣。其矩陣的性質(zhì)與特點：總結(jié)總剛度方程為整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載與結(jié)點位移之間的關(guān)系式156

(1)元素kij的物理意義為：當△j=1而其他位移分量為零時產(chǎn)生在△i方向的桿端力。

（2）主子塊Kii是由結(jié)點i的相關(guān)單元中與結(jié)點i相應(yīng)的主子塊疊加而得。（3）當i、j為相關(guān)結(jié)點時，副子塊Kij就等于連接ij的桿單元中相應(yīng)的子塊；若i、j不相關(guān)，則Kij為零子塊。（4）總剛度矩陣為對稱矩陣。

（5）總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。愈是大型結(jié)構(gòu)，帶狀分布規(guī)律就愈明顯。

（6）總剛度矩陣主對角元素都大于零。通常是主對角元素占優(yōu)勢的矩陣，因此，線形方程組的解有較好的穩(wěn)定性?？偨Y(jié)(1)元素kij的物理意義為：當△j=1而其他位1575.總剛度矩陣的最大半帶寬

總剛度矩陣的上三角部分，從某行的主對角元素到該行最末一個非零元素所具有的元素的個數(shù)稱為該行的半帶寬。各行半帶寬的最大值稱為總剛度矩陣的最大半帶寬。對應(yīng)于后處理法，結(jié)構(gòu)內(nèi)部不存在組合結(jié)點時最大半帶寬的計算公式為:d=(b+1)c，其中b為單元兩端結(jié)點編碼的最大差;c為結(jié)構(gòu)中一個結(jié)點的位移分量數(shù)，顯然，最大半帶寬與結(jié)構(gòu)的結(jié)點編碼的順序有關(guān)。通常應(yīng)使相鄰結(jié)點編碼的最大差值為最小，即d值為最小。總結(jié)5.總剛度矩陣的最大半帶寬總剛度矩陣的上三角158

例如圖示剛架，按圖a編碼，d=3×(9+1)=30，而按b圖編碼，d=3×(3+1)=12?？偨Y(jié)例如圖示剛架，按圖a編碼，d=3×(9+1)=30159如果結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在組合結(jié)點，并采用先處理法，則不能用上述公式計算總剛度矩陣的最大半帶寬，而應(yīng)按照單元編，利用單元定位向量求出總剛度矩陣的最大半帶寬。設(shè)用MAX表示單元(e)定位向量中的最大分量，MIN表示單元(e)定位向量中的最小分量，則de=MAX-MIN+1總剛度矩陣的最大半帶寬為：d=MAX(d1d2…dn)總結(jié)如果結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在組合結(jié)點，并采用先處理法，則不能用上160（1）初學者易把單元的固端力與傳統(tǒng)位移法中載常數(shù)混淆，造成求等效荷載時出錯。單元的固端力是在固定單元的桿端其不能有任何位移時荷載作用下的桿端力（即固端力）。二、需要注意的幾個問題（2）在考慮軸向變形的單元剛度矩陣中剔除EA項，即得忽略軸向變形的單元剛度矩陣。

（3）為適應(yīng)計算機計算、節(jié)省內(nèi)存和機時，在對結(jié)點編號時應(yīng)力求使相關(guān)結(jié)點的最大差值為最小，以減小總剛度矩陣的帶寬。例如，對于梁式桿，不論連接該桿的結(jié)點是鉸結(jié)點、定向結(jié)點，均按兩端固定梁計算固端力?？偨Y(jié)（1）初學者易把單元的固端力與傳統(tǒng)位移法中載常數(shù)混淆，造161

例：圖示梁用矩陣位移法求解時的基本未知量數(shù)目為多少？解：基本未知量數(shù)目為2，即A點的豎向位移和轉(zhuǎn)角。三、例題總結(jié)例：圖示梁用矩陣位移法求解時的基本未知量數(shù)目為多少？162例：圖示結(jié)構(gòu)中單元①的定位向量為——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案為B。

總結(jié)例：圖示結(jié)構(gòu)中單元①的定位向量為——。C.（00163例：圖示結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案選A。總結(jié)例：圖示結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣K中元素k22等于（）D164

例：矩陣位移法中，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程是表示下列兩組量值之間的相互關(guān)系：（）A．桿端力與結(jié)點位移B．桿端力與結(jié)點力C．結(jié)點力與結(jié)點位移D．結(jié)點位移與桿端力

解：答案選C。

例：平面桿件結(jié)構(gòu)用后處理法建立的原始剛度方程組,（）A．可求得全部結(jié)點位移B．可求得可動結(jié)點的位移C．可求得支座結(jié)點位移D．無法求得結(jié)點位移解：答案選D?？偨Y(jié)例：矩陣位移法中，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程是表示下165

例：圖示結(jié)構(gòu)若考慮軸向變形，在未引入支撐條件時，其整體剛度矩陣K是____階方陣。

解：答案為21×21?？偨Y(jié)例：圖示結(jié)構(gòu)若考慮軸向變形，在未引入支撐條166

例：圖示結(jié)構(gòu)若只考慮彎曲變形，括號中的數(shù)字為結(jié)點位移分量編碼，則其整體剛度矩陣中元素k11等于（