概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) -課后習(xí)題及答案解析(下)

第六章樣本及其分布6.1簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本一、 略。二、 下列是否為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.并說明理由.袋中裝有100只球，其屮紅、白色球各50只，隨機(jī)取20只，每次取一只，不放回，1V_P,第/次取到的是紅色球，flL："~（0,第欣取到的是白色球/’'X^X1,---.Xn相互獨(dú)立，P{Xk=i}=丄（'=1，2，-，幻.k3-4，^，…，^:^相互獨(dú)^且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布.T,=min{^,^B_1+1}G=l，2,4.將-顆骰子擲/I次，表示第i次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).解：（1）p{xt=1,-r.=i}=50x49—x—=p{x.=i}?p{x.=i},: J 100x99100100 1 JX^x2>…;r2Q不獨(dú)立，所以4，^2,…工加不足簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。（2）&，工2，…，叉分布不同，所以4，12,…，I,不是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。⑴岡為（u2?_,+1）與乂?_y+i）相互.獨(dú)立，所以，…，總相互獨(dú)立，n都服從期鈀為j的指數(shù)分布，故- 隨機(jī)忭本。（4>獨(dú)立試驗(yàn).所以Xx,X?--,Xn相K獨(dú)立，P{Xk=/}=- 0=1,2,?，《）與6々無關(guān).所以U2，…，Tn分布相同，故U2，…，^玷簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。三'沒，…欠10玷取14總體的一個(gè)樣本.其屮0<尸<1,p未知.寫出樣本的聯(lián)介分扣.指出以下樣本的函數(shù)屮哪碑是統(tǒng)計(jì)量，哪苧不是統(tǒng)計(jì)黽.dj,T.=X}^E（Xx）.rs=H?；=max{U2,".，jrl0}.戶l10W：(1)P{X=x}=px(l-p)l-x(x=0，l)?

?P{A^=Xj?P{A^=Xj,^2=戈2，...，^10=^10)（2）m是統(tǒng)計(jì)鼠.叫、設(shè)總體/?，…，叉為収fi總體的一個(gè)樣本，/為樣本均值.求（弋，…，叉）的聯(lián)合概率密度;l<r<n2.Tl=2Xl+X}yT2=X3- =niin^屮哪些足統(tǒng)計(jì)哪些不是統(tǒng)計(jì)鼠.l<r<n解：⑴/(x)=(——e2a：(-co<X<+cc)tV2^a”1/(xpx25--sxn)=n/(^)= -1 ，-^<\<+00(，-1，2，??，吟，=1 2W(2^)56.2抽樣分布二、在總體，V（52,6.32）屮，二、在總體，V（52,6.32）屮，53.8之叫的概率.解：J-^n52,—36，所以解：J-^n52,—36，所以53?8-52

63/6=0(1.714)—Q(-1.143)=0.8293。:、為収ft總體v（o，（T2）的-?個(gè)樣本,解:求尸.T]+JT:^X(0,2a2). 雌1)?解:求尸Xj v2q故故P{X-Y<0.3} =個(gè)＜紛雌52)-1=讀故故P{X-Y<0.3} =個(gè)＜紛雌52)-1=讀岡為x}+x2與;r岡為x}+x2與;r3相互獨(dú)立，所以+-F(l.1)?故^3,>79.722>39.86AJ=P{F(1,1)>39.86}=0.10o叫、設(shè)總體火?(n>2)來自總體的簡(jiǎn)單樣本，TOC\o"1-5"\h\z〒=士IU=Z(工,+XnH-2X)2,求E[±(X,+X相-2X)2].J-1 fl f-1解：沒Zr=T,+^+,.則Zf-X(2//,2<72)(/=1，2,…，《).—1” 12n —Z=-XD=-zA=2^.n/?i nr?iY=i +X州-2j)2=f(z/-z)2=(”-1)S2，Z=1 f=l由定理-z2(n-l),所以2(7{X,+X的-2X)-]=E(Y)=E[2a]Z2('卜1)]=2(72(”-1)。1=1五、求總體7V(15,22)的容以分別為20,30的兩獨(dú)克忭木T:均偵差的絕對(duì)值小f-0.3的概軋解：設(shè)無，y分別表示兩個(gè)樣本均值，因?yàn)閤'iy^互獨(dú)立，所以F(無一F)=15—15=0,D(X-Y)=—+—=-920 30 3X-Y^N0.-3自測(cè)題（第六章）一、 略6二、 略。三、（18分）沒總體來自總體JT的一個(gè)樣本,求E(X).D(X),E(S2).解：WjE(,X)=E(X),D(X)=^2,E(S2)=D(X),Z的密度函數(shù)為n/(?v)=p"/2r/(?v)=p"/2r(n/2)0,二-1-二??’e\x〉0A<0i 2-i-I咐2)=P2^WV'，?+2)?D(X)=E(X2)—[E(X)]2= +2)-w2=In*，E{S2*，E{S2)=D{X)=2vaE{X)=E{X)=11.D(X)= =—1010叫、（16分）設(shè)在總體I?屮抽取容詔為16的一個(gè)祥本，其屮/八＜72均未知，戸靈.其屮作樣纖求P(S2).解:<1)由0卜恥?Z:("-l)，^^--Z2(15).cr* <y--^-<2.041>=p<^-<15x2.041*<72=P{/2(15)<30.615}30a1 2 . =—er-15230a1 2 . =—er-152 15=2X15=30,^-D(S2)=30,^D(S2)=(7

五、(16分)沒工i，義2，…,足収門總體T^2V(0,22)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.且有Y=a(Xi-2X1Y+b(3Xi-4X4)2,試求a與辦，使統(tǒng)計(jì)黽r服從/2分布.并求由度.解：r服從Z2分布，當(dāng)fL僅當(dāng)U= -2太2)~2V(O,1)，V= -4^4)-AT(O.l)?D[Ja(Xx-2X2)]=5ax22=20a=1，D[VK(3X3-4Xa)]=25bx22=100d=l,T足a=—,b=」一:20100由JC7與K足相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變凌，所^Y=U2+V2-r(2),即ft由度為2。六'(10分〉沒人，火2，…，足収自總體;V的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，無和S2分別為樣本均仇和樣本方差，證明：TiE(Xk)=0^=1.3,則無與S2不相關(guān).證：只要證明Cot(XS2)=0.因?yàn)镋(X)=0,所以Cov(X,S^=E(XS^)-￡(X)E(S^=E(XS2)占令?-叫]7/(?-1) >?i )n-\1"(W-1)^取1"(W-1)^取|3)4取乂'2)-1"2(w-1閃為閃為E(Xf)=O,i^j時(shí)，E(XjX^)=E(Xj)E{X；)=0,當(dāng)i，j，k不全等吋,閃為閃為E(Xf)=O,i^j時(shí)，E(XjX^)=E(Xj)E{X；)=0,當(dāng)i，j，k不全等吋,所以Cov（XS2）=0,即無與S2不相關(guān)，7.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，、隨機(jī)地取8只活取壞，測(cè)得它們的哀枰為（以mm計(jì)）：74001 7400574.003 74.001 7400073993 74006 74002試求總體均偵以及方差a2的矩估計(jì)值，并求樣本方差.解：p=x= =-(74.001十74.005十…+74.002)=74.0014:8!?i 8s;=1.5696xl0's;=1.5696xl0'5二、工廠試生產(chǎn)-種產(chǎn)品，每大加工到出現(xiàn)次品為止，兩周（共10天）的生產(chǎn)記錄分別為（中.位：件）2,4,6.1.3,5,2,1.2,4.試求一天加工出3件產(chǎn)品的概率的極人似然佔(zhàn)計(jì)和矩佔(zhàn)計(jì).解: P{X=x}=p（l-廣1（x=1,2,…，w），”1z(p)=np(i-p)v=，(1-戶尸 ?j=in nInZ=a?Inp+2L(x,-1)ln(l-/?)=wInp+ln(l-p)^x2-nln(l-p),所以*?去〔所以*?去〔4=咅為所求的極人似然賺p=E(X)=X=一,/?=—=—P 31--3為所求的矩估汁位。1--3為所求的矩估汁位。:、設(shè)為總體義的樣本，義的密度函數(shù)為:廣1).廣1).一0<x<l，/J>-1

其它求參數(shù)/)的補(bǔ)估計(jì)與極人似然估計(jì).解:芯（義）=iZX解:芯（義）=iZXf=JoA（^+ =￡±1M2^E（X）=X,衍：為P的矩估計(jì)鼠:L（p）=hf（^p）=（p+irn^，（0<X.<i，'=i，2,|?1|?1hiL=n]n（P+1）+PSlax,.，（0〈又，<1，'=l，2，:-，w）令^=lh+^X'=Ql得知-1-+;dPl+P ZillA,r?l從而p=-\- —為所求的極人似然佔(zhàn)計(jì)黽。f-1叫、設(shè)《^，…，工?為總體又的徉本，/的密度函數(shù)為：10, 0<又<11-0，1<X<20,其它其屮0足未知參數(shù)(0<0<1).ICAT為樣本屮小ri的個(gè)數(shù)?求：1.0的?估計(jì)；2.0的極人似然估tr.解:(1)"=￡(X)=〔V(X;晰=以也十［2(1-e)xdx=^+|(1-0)=|-0,M3 —令E(X)=X,得：0=--^為0的矩估汁螢：(2)Z(^)=fl/(x1^)=0y(l-0)n-V,一1lnZ=NhiO+(?1-?Z)ln(l-0),令^LL=--u-=o，deol-oAV得：6=—^0的極人似然估計(jì)黽。n

五、沒燈泡壽命I服從參數(shù)為0的指數(shù)分布，其屮0>0未知，抽取10只測(cè)得壽命(單位：h)x=997.1,求參數(shù)0的矩佔(zhàn)計(jì)似和P{X>1300}的極人似然佔(zhàn)計(jì)值.解：E{X)=0,令E(X)=X.得：6=X.所以e=x=997.1為0的珩估計(jì)依；P{X>x}=l-P{X<x}=1-F（x）=l-（l-ed）=ee,講）=n/（\，a）=nyQ （a；>o）,r-l f?lU1n1nliiZ=-n\n0 22,令d\nLii1冬"^-=_?"FSXi=0,得：0= 的極人似然估計(jì)依，BOO所以P{I>1300}的極人似然估計(jì)值為P{X>1300}=/而=0.2715。7.2估計(jì)量的優(yōu)良準(zhǔn)則一、設(shè)義，義2，…，％?足収泊松總體/?兀(又)的-?個(gè)簡(jiǎn)申隨機(jī)樣本，試求又2的無偏估計(jì).解:E(X~)=D(X)+[E(X)]2=A+A2=E(X)+A2,得：A2=E(X2)-E(X),所以=A2-X=-XXf-X,且E(Z2)=A\n,=i故f為A2的無偏估汁。二、設(shè)義，工2，…，為總體義的祥本，又的密度函數(shù)為:/(X)=e-⑽，x>00, x<0其屮0>0是未知參數(shù)，求參數(shù)0的矩估計(jì),并證明其優(yōu)良性.解：閃為￡■(.￥)=j^A/(x)dx=fAe-('-s)rfx=1+0,所以0的矩估計(jì)為e=x-1。閃為￡0)=￡(無)一1=￡(又)一1=0，所以O(shè)SiO的無偏估計(jì);

x-0^uD(X)= (x-0-Y)2e^x~e)dx=\()(m2-2u+l)e^dx=2-2+\=l< — —D(X)1D(0)=D(X-1)=Z>GT)=—=-,nn則對(duì)任給的￡>0,1——->1——->1 (11->co)，fl€所以0^0的相合佔(zhàn)計(jì)。i、沒又i，久，…，義w為總體的一個(gè)樣木，證明:估計(jì)at,與y=scf（C| =i）都是總體數(shù)學(xué)期望TOC\o"1-5"\h\zWr-1 r-1 r-1五（工）的無偏估計(jì)，但是火比r有效.證：沒茗(1)="，D(X)=o\ In 1 n nE(X)=-z^,)=— =P，E(Y)=s =Zw=P，nj=i n t?i j=iD(無)=—.D(Y)=ic;a2=o2±c^.n j=i f=i由柯西-許瓦茲不等式,有i=ix- 1 n?yi=ix- 1 n?y=nZ^.W-<Z^>r?l H>?1P是D(X)=——<ct2Xc；=D(Y).所以義比】1f效。n,?!叫、設(shè)義服從區(qū)問［0，0］上的均勻分布，A\，^2,…，是樣本.X是樣本均值，證明：—y（x-^）2^o2的無偏估計(jì)與扣介估計(jì).n一1,=1證:n 證:n n2E(X)=-,D(X)=—￡[—f(X,-X)2]=12￡(S2)=12P(-T)=12x—=02w-1)-1 12所以—yc-r,.-^)2^^2所以—yc-r,.-^)2^^2的無偏估計(jì):'卜6由辛欽人數(shù)定律.—1w P^=-z^— __nr-l 2 nr.l12所以.-14,，n、、了飛=e\1yn 故—y(^,-J)2^02的相介佔(zhàn)計(jì)。'卜is7.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)\略。:、隨機(jī)地從一批釘子屮抽取16枚.測(cè)得R長(zhǎng)度(以照米計(jì))為：2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 213 2.102.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14設(shè)釘K服從正態(tài)分布，求總體均的90°/。的質(zhì)信區(qū)叫：1.77已知＜7=0.01駔米：2.77(7為未知.1I?1解:X=—藝xf=—(2.14+2.10+…+2.14)=2.125，161=1167 1 16 7r= 乙(X,-xy=0.0293；16-l，=i(1)?7已知＜7=0.01,當(dāng)a=0.10時(shí)，za=z005=1.645,J=2.125±2^1x1.645=2.125±0.004?故總體均俏p的90%的芮位區(qū)叫為(2.121.2.129):(2)7ro-為末知，當(dāng)a=0.10時(shí)，迕表得：fa(n-l)=r005(15)=1.7531,Tx±^~ta0?-1)=2.125±04711x1.7531=2.125±0.0075,如2 4戰(zhàn)總體均ffip的90。/。的置倍區(qū)M為(2.1175,2.1325)。

三、測(cè)黽鉛的比ffi16次，衍x=2.705,5=0.029,試求鉛的比重的95%的置信區(qū)M.(沒測(cè)黽結(jié)果服從正態(tài)分布，并知測(cè)黽無系統(tǒng)誤差.)解:當(dāng)a=0.05吋.査表得:/a(?-l)=/002S(15)=2.1315,于是—ta0?-1)=2.705土ta0?-1)=2.705土0.0294x2.1315=2.705±0.0155故鉛的比道的95%的罝信區(qū)M為(2.6895,2.7205)。R、對(duì)方差2為己知的正態(tài)總體米說.問抽収容黽》?為多人的樣本，冰能使總體均位//的置佶度為ioo(i-<z)%的罝佶區(qū)m長(zhǎng)度不人ri?解:由題意，i\L>得子解:由題意，i\L>得子z^，即—J。五、M自動(dòng)機(jī)冰加1:同類吧愈簡(jiǎn)，假?zèng)]倉筒的ft抒服從正態(tài)分布，現(xiàn)在從兩個(gè)不同班次的產(chǎn)品中各抽驗(yàn)了5個(gè)套筒，測(cè)定它們的直徑，得數(shù)據(jù)如下:A班： 2.066 2.063 2.068 2.060 2.067B班： 2058 2.057 2063 2.059 20602試求兩班套筒的方差比4的置佶度為090的罝佶區(qū)fuj;fivgcr；=aj,iA求兩班發(fā)簡(jiǎn)的均偵之差- 的莨仿度為090的筲信區(qū)問.解：巾觀測(cè)仿計(jì)筇，X,=2.0648?xB=2.0594，5；=0.0000107，=0.0000053，5；=(打1二隊(duì)+(”2二效=0.000008，=0.002828；"I+”2_2(1〉當(dāng)1-a=0.90時(shí)，n}=n2=5,査表，得(巧-1，"2-1)=巧05(4,4)=6.39,IFa(w1-l,n1-l)=^95(4,4)=—i—，于是兩班套簡(jiǎn)的方差比#的1-了 ? 6.05(4,4)筲G度為筲G度為090的筲倍|x:問為r1075?▲，晉x6.39j，UlUK0.3159J2.9001)：a=na=n十 =1000十1.65:=1002.72,a=na=n十 =1000十1.65:=1002.72,〔2)當(dāng)1-a=0.90時(shí)，w5,査表，/a(n}+n2-2)=r005(8)=1.8595,TJ.是XJ.是XA一=^005(8).氕0.0054±0.003326?故兩班趕筒的均俏之差m3的筲信度為0.90的霄信區(qū)叫為（0.002074A00S726）。7.4-7.50-17.4-7.50-1分布參數(shù)的置信區(qū)間-單側(cè)置信區(qū)間?、X項(xiàng)T.ffite用了同一規(guī)格的零作2000個(gè).其屮有214個(gè)；件不超過一年就損壞了,求這種岑件的壽命小超過一年的概率p的筲信水T?為95%的筲信區(qū)|川.取自總體又的樣本，夕S未知參數(shù)，a=0.05,u=2000（k分人），za=1.96,7211=0.107,2000t7=w+z；/2=2000+1.962=2003.84,b=-{Inx+z^/2)=-(2x2000x0.107+l962)=-431.84.c=;?r2=2000x0.1O72=22.90.px=-(-b-y/b2-4ac)=0.09,2ap.=—(-^+>jb2-4ac)=0.12>2a故這種羽T?的壽命不超過一年的概率p的置倍水卞?為95%的SfillxfuJ為(0.09.0.12).:、某城市對(duì)一項(xiàng)提案進(jìn)行民意調(diào)査，隨機(jī)選取了1000名居民，JC中Yf80%的人贊同該捉案，5%的人反對(duì)，15%的人棄權(quán)，試求居民對(duì)該項(xiàng)捉案贊同的比率p的置倍水平為90%的罝佶區(qū)問.1第I個(gè)人贊同該項(xiàng)提案

第，個(gè)人不贊1第I個(gè)人贊同該項(xiàng)提案

第，個(gè)人不贊1‘4該項(xiàng)提案則又服從0-1分布，，…，尤醐為取14總體I的樣本，尸足未知參數(shù)，a=0.10,?=1000（允分人〉?za=1.65,x=80%,=X+=X+=X+=X+b=-(2/w+z^)=-(2x1000x0?80+1?65])=-1602.72,c=nx2=1000x0.802=640,Pi2a0.78Pi2a0.78p，=-(-b+-Aac)=0.82,*2a故以民對(duì)該項(xiàng)提案贊M的比率p的置信水平為90%的罝倍區(qū)問為(0.78.0.82)。三、某fr品加T廠生產(chǎn)的水米_頭介錫品(mg.kg)服從正態(tài)分布.隨機(jī)杣取了16H，測(cè)flFP均含錫黽為lSOmg/kg,k:準(zhǔn)差為10.試求這種罐尖f均含錫黽的置信水?卜為90%的妒測(cè)置信上限.解:沒火為該廠生產(chǎn)的水果罐尖含錫黽，且X?專a2、.由題意，知x=180.s=10,"=16,當(dāng)a=0.10時(shí).S衣得：Zo(n-l)=r010(15)=1.3406,于是p=x十4=/a("-1)=180+2x1.3406=183.3515>Jn 4故這種誠頭'|/均介錫:4:的莨倍水H90%的甲測(cè)筲倍上限為p=183.3515(r?^/^)。四、一批電子原仲的壽命I服從期望值等丁0(0未知)的指數(shù)分布.隨機(jī)抽取50件,測(cè)得T?均脊命力200h,求0的莨佶水平為95%的申側(cè)S信下限.解：由Tw=50(允分大)，則從而解：由Tw=50(允分大)，則從而U當(dāng)w=50，a=0.05,Za=z005=1.645.x=200時(shí)，0=162.2536,故0的筲倍水f?為95%的單側(cè)莨信卜?限為0=162.2536(//).九、力了考餼?廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強(qiáng)度(kg-cm2),隨機(jī)抽取了25ft進(jìn)行測(cè)試，衍到T均抗川強(qiáng)度為415(kg/cm2),極W以往資料，該廠生A的水浞構(gòu)件的抗JE強(qiáng)嗖義?M川202),試求戸的胃位水平為90%的中.側(cè)背位I?.限和中側(cè)筲位下限.解：巾題怠，知《=25?無=415，(7=20,a=0.10，zfl=z0]0=1.28>丁足

（T^z°（T^z°=415+—5x1.28=420.12,E=x-^za=415-^x1.28=409.88,故戸的水T為卯％的中-側(cè)背信上限^p=420,12(kg/cnr').申側(cè)莨倍卜’限為自測(cè)(第七章)自測(cè)(第七章)一、 略。二、 略。三、 (12分)設(shè)總體義的分布密度力f(.x，0)=<百二IKx<eX，又，…，總是X.0其它的樣木.求(1)0的補(bǔ)法估計(jì)(2)E(0),并判斷d足否為0的無偏估計(jì)黽.解：(1),令￡(?￥)=無，^0=2X-l為0的矩佔(zhàn)計(jì)鼠：_ _ 2w 7 0-4-1(2)...￡(0)=￡(2X-1)=2￡(X)-1=二乙E(Xt)一1=一.w 1=0，? a2:.e^e的尤偏佔(zhàn)計(jì)。四、(10分〉設(shè)總體義?，V(/l，102)，?仲"的胃信水平為1一a=0.95的背信區(qū)叫長(zhǎng)度2x10025= xl.96，為5,2x10025= xl.96，解：由題點(diǎn)，知5=x+—r=zaI—IX—Za=—f=2）\小12）如所以Vn=7.84,即w=<51.47*62,故樣木容黽w最小應(yīng)為62。五、五、（16分）假80.50,1.25,0.80,2.00?來自總體I的樣本值，已知Y=\nX服從正態(tài)分五、五、（16分）假80.50,1.25,0.80,2.00?來自總體I的樣本值，已知Y=\nX服從正態(tài)分布聊，1）.1.求工的數(shù)學(xué)期織:2.求jU的胃信度為0.95的黃信區(qū)叫.1 少-")-解：(1)/(y)=-^=e 2 <v<-ho,于是E(X)=E(er)=!:e'f(y)ayy Cn)2=^-:e>e了打.1 ， (r-1)2r*?1---丄-dt(2)y=l(ln0.5+lnl.25+ln0.8+ln2)=0,cr=1,w=4,a=0.05.za=z0O25=1.96,故總體均偵廠的筲倍區(qū)問為=故總體均偵廠的筲倍區(qū)問為=(-0.98,0.98)。六、(10分)ttx 樣本，x=4.5065pr，x>n1=0，X<p求五（r）的罝倍水f?為090的置倍區(qū)叫.解:W為X~N（"，32）,x=4.5065,zfl=zoos=1.645,n=100,T所以//的腎信水平力0.90的腎位區(qū)叫為=(4.013,5.000)；45。65-吾xl645,45°65+^xt645=(4.013,5.000)；xe18xe18*二 十足/＜的中.凋增加函數(shù)，T^￡（y）的筲位水T為0.90的筲仏區(qū)問為=(3.2033,3.6968)o七、（12分）沒義,1=(3.2033,3.6968)o七、（12分）沒義,12,…，夂足總體,V（//,（T2）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記T=X2nLiiEiiFJTS/r的無偏估計(jì)黽;2.當(dāng)jU=0，(T=l時(shí)，求D(T).證：⑴因?yàn)镋(T)=E(X12--S2)=E(X2)--E(S2)n n=[￡(J)]2+_」￡(S2)nE(±X^)-nE(X2)r?l7-A.11?I nE(±X^)-nE(X2)r?l7-A.11?I nnn-1fifi一=/r丄■11卞nflw-1/?Gr+<r2)-w(/r+^-)所以T 的無偏佔(zhàn)計(jì)!th(2)3/!=0，(T=l時(shí),(2)3/!=0，(T=l時(shí),X-0?2V（0，l）,所以Z2?z2（l），于是f(Z2)=l，D(Z3)=2,所以D(X2所以D(X2)=DJtr——i)——i)幻2幻2故D(T)=D{X2--S2)=n=_2_11~(h-1)2第八章假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的一般理論假設(shè)檢驗(yàn)的一般理論一、 略。二、 沒總體義?汊（戸，12）,樣本容黽為9.假KZ/0：a/=1,//1：P=2的扣絕域?yàn)閄〉1.5.求犯第I炎錯(cuò)誤的概率a和犯第II類錯(cuò)誤的概率/?.斛:（i）?7//0K.則-^（0.1）,此時(shí)拒絕％的概率為斛:=1-0(1.5)=0.0668；a=P{X>1.5}=!-^=1-0(1.5)=0.0668；a=P{X>1.5}=!-^（2） 則-N（0,1）,此時(shí)接受打（，的概率為0=P{%<1.5}=01.5-20=P{%<1.5}=01.5-2=0(-1.5)=0.0668。?一?巳知試給出檢驗(yàn)H^.a=5,H.-a^5的拒絶域，井給出檢驗(yàn)犯第II?一?巳知試給出檢驗(yàn)H^.a=5,H.-a^5的拒絶域，井給出檢驗(yàn)犯第II炎錯(cuò)誤的概率農(nóng)達(dá)忒.結(jié)果用o（?）衣示（敁苫性水T:a）解：27):a=a}5?a=X在成立的條件卜_，介?2V（0，l），此吋捫絕域?yàn)?彳1/2犯第II炎錯(cuò)誤的概率為P=p{接受為K}a-5^2^(^+^2(5-^) +V2(5-flj)8.2 正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)一、按規(guī)定，某種飲料自動(dòng)銷售機(jī)笆出的每杯飲料為222mL,今隨機(jī)取36杯，測(cè)得平均埒杯219mL,標(biāo)準(zhǔn)羞為14.2mL.假?zèng)]毎杯飲枓的黽太服從正態(tài)分布，足否吋以認(rèn)為售出的飲料平均每杯為222mL<a=0.05)?解：沒工?X(jU，CT2).CT未知，依題意，檢驗(yàn)假K HQ:p=222,H/口共222'選収統(tǒng)計(jì)雖t=X~^^/(n-1)；a=0.05,”=36，/z0=222,S/^Jn拒絕域?yàn)閨r|> -1)=r003S(35)=2.0301:7)19—7經(jīng)計(jì)算，1ix=219,s=14.2,因?yàn)椤?=1.2676<2.0301.1 14.2/6所以接受盡，可以A為ft出的飲料平均毎杯為222mL。二、一批保險(xiǎn)絲熔斷時(shí)問服從正態(tài)分布,今隨機(jī)袖取10根試驗(yàn),結(jié)果為(單位:微秒)42 65 75 78 71 59 57 68 54 55MJ：足內(nèi)吋以汄?yàn)閹排ｋU(xiǎn)絲的熔斷時(shí)叫力'差為8?(a=0.05)解：設(shè)示保險(xiǎn)蜱熔斷時(shí)問，且X?N_2)，依題怠.檢驗(yàn)假?zèng)]H〆=S，Zf^CT2^8；選収統(tǒng)計(jì)黽X2=(n_\S?z2('卜U: a=0.05，n=10, =8,

拒絕域?yàn)?廠< 一1)=Zo975(9)=2.70,TZ2>Z^(/7-l)=Z^025(9)=19.023：經(jīng)計(jì)算，有T=62.4,?=12^1=121.82.9|対為z2=9x121,82=137.05>19.023.8所以iH絕/fQ，不能認(rèn)為鎧批保險(xiǎn)絲的熔斷吋M方差為8。三、在漂白T藝屮?？疾鞙囟葘?duì)針織品斷裂強(qiáng)力的數(shù)據(jù).在7(TC與80-CF分別重&作了8次試驗(yàn)，測(cè)得斷裂強(qiáng)力的數(shù)據(jù)如下(串位：公斤)70eC: 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.280.C: 17.7 203 200 18.8 190 20.1 202 191設(shè)斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布，問：70*CF的強(qiáng)力與80*C下的強(qiáng)力行沒有差別?(已知70*C與80°C吋的總體方差相等，a=0.05)足否⑷認(rèn)為7(TC下的強(qiáng)力與80*C下的強(qiáng)力饤相同的方差？(a=0.05)解：(1)沒在兩種溫度卜針織品斷裂強(qiáng)力分別為義和I".且Y^N(p2,(y；),a未知，依題意，取5=pj-//2=0.檢驗(yàn)假設(shè) 7/0：^1=只2,好1:^1*P2:v y選収統(tǒng)計(jì)St= * -t(n}+w，-2);a=0.05,m=7^=8?拒絕域?yàn)?|r|> +n2-2)=r0025(14)=2.1448；20.4-19.46|72.16>2.1448經(jīng)計(jì)釕?有x=20.4,7=6.2,y=19A7_20.4-19.46|72.16>2.1448所以th絕A，以認(rèn)7(rc卜'的強(qiáng)力與8(rcK的強(qiáng)力介顯苦若別。(2)依題盤，檢驗(yàn)假檢驗(yàn)假?2f0:ar=(T；,Hy:(T!2* :-4-4檢驗(yàn)假檢驗(yàn)假?2f0:ar=(T；,Hy:(T!2* :-4-452選収統(tǒng)計(jì)黽扣絕域?yàn)镕= ?F(”i-l,w2-1)；a=0.05，nx=z，2=8選収統(tǒng)計(jì)黽扣絕域?yàn)閟y -F> -1，《2-1)=^.025(7,7)=4.99，IFSF、a(，h-U'2-1)=巧975(7,7)= 1 =0.20:1-2 巧025(7,7)經(jīng)計(jì)算.有1=20.4,7.4=6.2,歹=19.4,7sf=5.8.因?yàn)镕=^=—=?1.069E(0.20,4.99)，Sy5.8所以接受巧，呵認(rèn)為70-C卜的強(qiáng)力與80-C卜的強(qiáng)力有相M的方差。四、某工廠試驗(yàn)用一種新工藝處邢污水，為了比較兩種工藝的處理效果，安排兩種匚藝M時(shí)獨(dú)立地處理污水，T廠階段性地分別在用新老T藝處理過的水屮隨機(jī)抽収10個(gè)水樣，測(cè)得：懸汐物的均依(mg/L)分別為無=408,歹=412,方差分別為sf=20,5；=22,假?zèng)]經(jīng)處現(xiàn)過的水屮.齡?物含吊都服從iE態(tài)分布，11方差相同，足內(nèi)|4以認(rèn)為新T藝處理過的水屮姑浮物介比老T.藝處理過的低？(a=0.05)解：設(shè)義和I'分別為經(jīng)新、老下藝處理過的水屮懸浮物介％,且Y?N(ji2，(y、，a未知，X^Y獨(dú)立，依題意，檢驗(yàn)假?zèng)]檢驗(yàn)假?zèng)]選取統(tǒng)計(jì)黽X選取統(tǒng)計(jì)黽X-t(n｝十fl2-2);a=0.05，?!=n2=10.t<-ta(?!+?2-2)=-/005(18)=-1.7341：動(dòng)/=拉a一動(dòng)/=拉a一42.0494々一1.9518<-1.7341，所以所以iH絕4以認(rèn)為新工藝處理過的水屮忌??物含吊比老工藝處理過的低。1616所以所以iH絕4以認(rèn)為新工藝處理過的水屮忌??物含吊比老工藝處理過的低。1616^.2.771^(0.2381,4.82).^.2.771^(0.2381,4.82).也、某農(nóng)場(chǎng)為試驗(yàn)磷肥與氮肥能內(nèi)提高水稻的產(chǎn)品.在同炎地塊屮選定畝的20試驗(yàn)田?7千塊：試驗(yàn)結(jié)果：未施肥的10塊試驗(yàn)田每塊平均產(chǎn)黽為9.7kg,標(biāo)準(zhǔn)差為1.24吆：另外8塊試驗(yàn)IH在捕祌前施加磷肥，椹種后乂分3期施加氮肥，結(jié)果每塊T均產(chǎn)!力11.4蚣，|小準(zhǔn)差為0.745權(quán)：假設(shè)毎塊試驗(yàn)⑴的產(chǎn)品服從正態(tài)分布，是內(nèi)"f以認(rèn)為施肥后水稻的產(chǎn)鼠有明顯提高？(a=0.05)解：沒未施肥的試驗(yàn)山悔塊產(chǎn)黽為x,施肥的試驗(yàn)山付塊產(chǎn)帛為y，n義?啡'，<)，?jV(p2.4),JT與I"獨(dú)克，依題氣檢驗(yàn)假設(shè)H0Wp2,:叫<人，由r?題H沒明確兩總體方差相M.W此先檢驗(yàn)方差齊性。(1)檢驗(yàn)假設(shè)Hw:a'=a^HQl:a；*a；；選収統(tǒng)計(jì)黽尸尸(乂一1，乂一1);a=0.05, =10,?2=8,拒絕域?yàn)?F>Fa(?,-1，”2-1)=盡。25(9,7)=4.82，，隊(duì)一1)=6975(9,7)=——-——=-^―=0.2381；- ^.025(7,9) 4.20所以接受//D，認(rèn)為兩總體方差相HJ。(2)檢驗(yàn)假設(shè)Ho: >；/2,H。叫<^2；_Y▲I ?+n2-2):a=0.05，％=10,w2=8,、vj—+—V”1112絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算，nt-ta(?!+?2-2)=⑽(16)=-1.7459:,_y=9.7-11.4=-1.7,4=9xl.24:十7x0.745:=1絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)算，n所以當(dāng)所以當(dāng)//=2時(shí)，拒絕域?yàn)?>1.6529o岡為/=一1.7岡為/=一1.7^-3.5424<-1.7459,a/1.1077.所以拒絕盡，故可以U為施肥后水稻的產(chǎn)歐有明顯提高。83分布擬合檢驗(yàn)一、n1965年1門1口到1971年2J19口的2231天屮，全沢界記錄到的組氏4級(jí)及4級(jí)以上的地蒺共162次，相繼兩次地蒺問隔大數(shù)如F：X[0,5][5,10][10,15][15,20][20,25][25,30][30,35][35,40]彡40頻數(shù)5031261710S668試檢驗(yàn)相繼兩次地蕋M隔大數(shù)久足什服從期切偵等十0的指數(shù)分布(CT=0.05)?解:依題意，X檢驗(yàn)假?zèng)]//。：工的分布函數(shù)為F(x)=i^e x^°:0， x<0選取統(tǒng)計(jì)?Z2=￡(，?,~WP,)-Z2(A--r-l)；a=0.05,^=9,r=l,，?=i捫絕域?yàn)?x2>zj(々-/?-1)=ZJos(n=14.067;經(jīng)計(jì)界，因?yàn)閆2=2.1582<14.067,所以接受/fQ,即汄?yàn)榉闹笖?shù)分布。:、某車床生產(chǎn)滾珠，隨機(jī)地抽取了50個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得它們的H徑為(單位:毫米〉15015815.215.115914.714815515615315.115315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.315.015.615.114.914.214615.815.215915.215014914814.515.115515.515115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2M；在a=0.05的水平卜滾珠汽杼是否服從K態(tài)分布^(15.1,0.43252)?解:滾珠克彳么依題怠，檢驗(yàn)假?zèng)]Hq:X-N(\5A,0.43252)；選取統(tǒng)計(jì)畢;f2=f -?/(斤一'-1):a=0.05,k=4,r/?inpt捫絕域?yàn)?r>Z；(^-/?-!)=Zoos⑴=3.841:經(jīng)計(jì)算，因?yàn)閺S=1.46<3.841，所以接受即認(rèn)為服從正態(tài)分布。8.4置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系一、設(shè)總體M("，<72)，(72已知，JU未知，X'，X2，…，X”是樣本觀察值。已知//的置信水甲為095的置信區(qū)間為(4.71,569)，那么取顯蕃性水平a=0.05時(shí)，試檢驗(yàn)假設(shè):Zfo:^=5.O,Zf1:p^5.O.解：W為p的置偯水'K為0.95的雙側(cè)賞倍|x|nj就足該假g檢驗(yàn)問題的敁X性水f')]a=0.05的接受域，而5.0e(4.71,5.69)，所以接受打。。二、設(shè)…，是収fi正態(tài)總體X?況G/,1.212)的樣本，己知p的賞信水平為1一a的罝借區(qū)M^(x--^=9x+^)y/n 小1求假?zèng)]檢驗(yàn)=2.Hni本2的捫絕域.解：通過罝倍區(qū)叫求出該假?zèng)]檢驗(yàn)問題的拒絕域.當(dāng)仏含在置佶區(qū)間內(nèi)時(shí).接受//Q。由置信區(qū)問的定義，ii>l-a，2>\-a，-^>1.65292>\-a，-^>1.6529三、S總體未知.，…，弋。取自總體I的樣本，樣本方差為s\已知<72的單側(cè)置信上限為CT?=2.7067752,求假?zèng)]檢驗(yàn)Hq-.O2 <<的捫絕域.解：巾置信上限的定義，有p{a2<2.10671S2}>l-a,M為p[^-<—-—=3.325ol<Q,1a~2.70677 J所以當(dāng)^-<3.3250時(shí).捫絕77。，故撲:絕域?yàn)?2=^-<3.3250。CJ- O■-己知#的筲信水f?為1一a的雙側(cè)黃信區(qū)liij上限為^-=^2^2叫、沒x己知#的筲信水f?為1一a的雙側(cè)黃信區(qū)liij上限為^-=^2^2-4-X3.3898,S；求假設(shè)檢驗(yàn)問題:(T；=(TJ, 卜(T；的S苦水T?為a的fii絕域.解：假?zèng)]險(xiǎn)驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)镕1(9.9)成7所以只芯求II7；(9,9)。岡為$的筲仏水T?為1一a的雙側(cè)筲信區(qū)叫匕限為(7；4=^-.—!—=弍么(9,9)=4x3.3898,CT；S;Fa(9,9)S；y S;1?- ?歸所以盡(9,9)=3.3898,Fa(9,9)=—-—=0.2950?t 1-t 3.3898故捫絕域?yàn)镕<0.2950jjJcF>3.3898o自測(cè)題（第八章）二、 略-三、 （12分）某T廠研制一種柴汕發(fā)動(dòng)機(jī).每升柴汕的運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)叫服從正態(tài)分布。現(xiàn)測(cè)試6臺(tái)柴油機(jī).每升柴汕的運(yùn)轉(zhuǎn)吋叫（羊位：nun）分別為28.27,31,29，30,27,按設(shè)計(jì)要求，每升柴油的平均運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)問為30mm以上.問在顯著水fa=0.05卜，是否有理山認(rèn)為這種柴汕機(jī)符介沒計(jì)要求？解：設(shè)/為柴汕發(fā)動(dòng)機(jī)耗1升柴汕運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)M.則X-N（n^2）^由f?是新產(chǎn)品，只奮明顯符合要求，才能認(rèn)為符合S計(jì)要求。依題怠，檢驗(yàn)假SH0:p<3Q.Hi：//>30,II檢驗(yàn)統(tǒng)illitt=— ,n=6.檢驗(yàn)統(tǒng)illitS/y/nlli絕域lli絕域/>/005(5)=2.0150,x=-(28+27+31十29+30十27)=28.67.616?=7"^(x,-T)2=1.6332，6-1，=1g67 30因?yàn)閠= ~ =-2.00<2.0150.所以接受付。。1.633/V6故可以認(rèn)為這種柴油發(fā)動(dòng)機(jī)不符介設(shè)計(jì)要求。叫、（12分）一名運(yùn)動(dòng)w在一次意外叩故屮受傷.經(jīng)治療禍本痊愈.為了檢S兗體恢fi的情況，隨機(jī)抽取了15份近期每天冋一時(shí)間的脈搏測(cè)屋:數(shù)據(jù)（靴:次/分鐘），計(jì)算得1=69.2667（次/分鐘）.52=6.1232.已知他正常時(shí)脈捋次數(shù)X?7V（66,52），M樅所得數(shù)椐足作吋以斷定這名運(yùn)動(dòng)員的身體己恢鉍到以前狀態(tài)（a=0.05）?解:耍檢驗(yàn)脈M的穩(wěn)定性和脈搏的速度.依題息，檢驗(yàn)假?zèng)]Hw:ff2=52,HQl:a2*52和2f0:p=66，66（1〉檢驗(yàn)假設(shè) =52,/701:a2^52選取統(tǒng)計(jì)黽Z2=（/?~?—-Z2（w-1）；a=0.05,"=15，=5\ao

拒絕域?yàn)閆2<z；a(”-1)=沁75(14)=5.629.1——2Z2>Z^(W-l)=Z^25(14)=26.119：T而己知x=69.2667,?=6.1232.經(jīng)計(jì)算，/2=14X^；123=20.995.因?yàn)?.629</2<26.119,所以接受7^.認(rèn)為脈搏的穩(wěn)定性已恢笈如前。(2)檢驗(yàn)假SHq:H=66,U建66;選取統(tǒng)計(jì)黽t=X~^^r(/2-l); <7=0.05，"=15,Po=66,扣絕域?yàn)閨f|> -1)=r0.025(14)=2.1448；T而己知x=69.2667?J而己知x=69.2667?J2=6.123、經(jīng)計(jì)算，69.2667:￡66.123/Vl5=2.0663,閃為|/|=2.0663<2.1448,所以接受認(rèn)為脈搏逨度與以前沒17顯著差W，?上，4以認(rèn)為這名運(yùn)動(dòng)員的身體已恢到以前狀態(tài)。五、(12分)某元件的壽命X?，要求p>20時(shí)犯第一類錯(cuò)誤的概率a<0.025,且犯第二類錯(cuò)誤的概率+超過=0.025,試確定樣本的容鼠.解:根據(jù)題設(shè)，由z檢驗(yàn)法樣本容鼠的選取知:其屮za=ZO.O25=1.96,zp=z0025=1.96，CT'=2.5，//0=20?//=18?5=/z0—//=20—18=2,所以馬p<18=20-2時(shí)，介仏(1.96-1.96)x2.5=49.即心篇?2故樣木容鼠?至少為25，六、(12分〉某下廠生產(chǎn)正常時(shí)，出的污水屮動(dòng)tt物汕的濃度義?、V(10，l),今階段性抽収10個(gè)水樣.測(cè)Wf均濃?為108(mg/L).杯準(zhǔn)差為1.2(mgiL),該T廠生產(chǎn)足否正常（a=0.05）?解：（1）檢驗(yàn)假?zèng)]訊：a2=i,HXz 取統(tǒng)計(jì)衝x2雅眺 ⑼=2■誠Az!M=z‘=詡.經(jīng)計(jì)算：?=(”-?廠=9x1.2-=1296,(jjy.^2=12.96e(2.700,19.023)2,1故接受執(zhí)，即吋以汄?yàn)檎u出的污水屮動(dòng)祖物汕濃度的方差為dl。一］Q〔2）檢驗(yàn)假?zèng)]尸=10. //*10；収統(tǒng)計(jì)黽：t=一?ta（9）:S/V10 -所以接受拒絕域?yàn)閨/|>/0.025(9)=2.2622； 卜匕品=2.1028<2.2622，所以接受即坷以認(rèn)為排出的污水中動(dòng)植物油的平均濃度是10（mg/L）o綜上，認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、（12分）測(cè)得兩批電子器材的樣本電阻為：A批X（歐姆）：0140 0138 0.143 0142 0.144 0137B批F（歐姆）：0135 0140 0.142 0136 0.138 0140又S這兩批器材電阻分別服從Wi^!2）和、V（小，且樣本相互獨(dú)立，試在a=0.05的顯茗水平下，檢驗(yàn)假:<Tf=ah解:選取統(tǒng)計(jì)量F= ?F(i\一1，”2-1);a=0.05. =，卜=6，SY捫絕域?yàn)镕>F^nx-1，w2-1)=仏?25(5,5)=7.15,*>F<F(n.-l.?2-l)=F0915(5,5)= 1 =▲=0.14:1■了 乓0乃(5,5)7?15經(jīng)計(jì)算.有x=0.1407,^4=0.0028:，歹=0.1385, =0.00273.瞭,=^=1.075輕715)?所以蛾

綜合自測(cè)題（數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分）略。（本題10分）沒隨機(jī)變黽義的槪率密度為：f（x）=\0^ ，[0,其他其屮0>0是未知參數(shù)，Xf，X?l來自/的樣本，求0的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).⑴E（X）=^xfMdx=^-^-dx=^e?令E（X）=X=le,^6=lx為參數(shù)0的?估計(jì)S。3（2）似然函數(shù)為:^,0）=n^-