概率論和數(shù)理統(tǒng)計老師總結(jié)習(xí)題總匯市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

例1.2袋中裝有2只白球和1只黑球。從袋中依次任意地摸出2只球。設(shè)球是編號：白球為1號、2號，黑球為3號。(i,j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球基本事件，則這一試驗樣本空間為：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}而且可得到以下隨機事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；C={(1,2),(2,1)}={兩次都摸得白球}；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={沒有摸到黑球}。設(shè)試驗E樣本空間為S，A,B,Ak(k=1,2,…)為事件返回第1頁例1.3甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C運算關(guān)系表示以下事件：第2頁例1.4試求事件“甲種產(chǎn)品滯銷，且乙種產(chǎn)品暢銷”對立事件。解設(shè)A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷”，B表示事件“乙種產(chǎn)品暢銷”，則由題意，事件“甲種產(chǎn)品滯銷，且乙種產(chǎn)品暢銷”表示為：所以對立事件為：即所求對立事件為：“甲種產(chǎn)品暢銷或乙種產(chǎn)品滯銷”。第3頁1、概率統(tǒng)計定義設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生次數(shù)為nA，若當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，頻率nA/n穩(wěn)定地在某一數(shù)值p附近擺動，且伴隨試驗次數(shù)n增加，其擺動幅度越來越小，則稱數(shù)p為隨機事件A概率，記為P(A)=p。由定義，顯然有0≤P(A)≤1,P(S)=1，P(φ)=0。第4頁設(shè)E是隨機試驗，S是它樣本空間，對于E每一個事件A，賦予一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，假如集合函數(shù)P(·)含有以下性質(zhì)：①非負性：對任意一個事件A，都有P(A)≥0；②完備性：P(S)=1；③可列可性質(zhì)：若A1，A2，…，An，…是兩兩互不相容事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…則稱P(A)為事件A概率。2、概率公理化定義（P.8）第5頁1.3古典概型與幾何概型一、古典概型定義(p.11)設(shè)隨機試驗E滿足以下條件1.有限性：試驗樣本空間只有有限個可能結(jié)果，即2.等可能性：每個樣本點發(fā)生是等可能，即則稱此試驗E為古典概型，也叫等可能概型。第6頁二、古典概型基本類型舉例古典概率計算關(guān)鍵在于計算基本事件總數(shù)和所求事件包含基本事件數(shù)。因為樣本空間設(shè)計可由各種不一樣方法，所以古典概率計算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為以下幾個基本類型。第7頁1、抽球問題例1.8設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅球一白球概率。解設(shè)A——取到一紅球一白球答:取到一紅一白概率為3/5。第8頁普通地，設(shè)盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球概率是第9頁(2)從中任意接連取出k+1(k+1≤m+n)個球，假如每一個球取出后不還原，試求最終取出球是白球概率。解試驗E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個球每k+1個排好球組成E一個基本事件，不一樣基本事件總數(shù)為設(shè)事件B：“第k+1個取出球是白球”，因為第k+1個球是白球，可先從m個白球中取一個留下來作為第k+1個球，一共有其余k個球能夠是余下m+n-1個球中任意k個球排列，總數(shù)為種保留下來取法，事件B所包含基本事件總數(shù)為第10頁在實際中，有許多問題結(jié)構(gòu)形式與抽球問題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機地抽取若干個或不放回地抽若干次，每次抽一個，求“被抽出若干個事物滿足一定要求”概率。如產(chǎn)品檢驗、疾病抽查、農(nóng)作物選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型目標在于是問題數(shù)學(xué)意義愈加突出，而無須過多交代實際背景。第11頁例1.11設(shè)有n個顏色互不相同球，每個球都以概率1/N落在N(n≤N)個盒子中每一個盒子里，且每個盒子能容納球數(shù)是沒有限制，試求以下事件概率：

A={某指定一個盒子中沒有球}

B={某指定n個盒子中各有一個球}

C={恰有n個盒子中各有一個球}

D={某指定一個盒子中恰有m個球}(m≤n)解把n個球隨機地分配到N個盒子中去(n≤N),總共有Nn種放法。即基本事件總數(shù)為Nn。事件A：指定盒子中不能放球，所以，n個球中每一個球能夠而且只能夠放入其余N-1個盒子中?？偣灿?N–1)n種放法。所以第12頁某班級有n

個人(n365)，問最少有兩個人生日在同一天概率有多大？?分球入盒問題，或稱球在盒中分布問題。有些實際問題能夠歸結(jié)為分球入盒問題，只是須分清問題中“球”與“盒”，不可弄錯。(1)生日問題：n個人生日可能情況，相當(dāng)于n個球放入N=365個盒子中可能情況(設(shè)一年365天)；(2)旅客下車問題(電梯問題)：一列火車中有n名旅客，它在N個站上都停車，旅客下車各種可能場所，相當(dāng)于n個球分到N個盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配問題：n個人被分配到N個房間中；(4)印刷錯誤問題：n個印刷錯誤在一本含有N頁書一切可能分布，錯誤球，頁盒子。第13頁普通地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…,m)，共有分法：第14頁例甲乙兩人相約在7點到8點之間在某地見面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開。假如每個人可在指定任一小時內(nèi)任意時刻抵達，試計算二人能夠見面概率。解：依據(jù)題意，這是一個幾何概型問題，于是第15頁

袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球概率是多少？第二個人取得紅球概率是多少？?1.4條件概率第16頁顯然，若事件A、B是古典概型樣本空間S中兩個事件，其中A含有nA個樣本點，AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生條件概率(p.18)定義設(shè)A、B是S中兩個事件，P(A)>0，則第17頁能夠驗證，條件概率P(·|A)符合概率所需滿足三條基本性質(zhì)：①非負性：對任意一個事件B，都有0≤P(B|A)≤1；②完備性：P(S|A)=1；③可列可加性：若B1，B2，…，Bn，…兩兩互不相容，則有第18頁條件概率也滿足概率基本性質(zhì)（P.18)條件概率普通計算方法：(1)依據(jù)A發(fā)生以后情況直接計算A發(fā)生條件下，B發(fā)生條件概率。“縮減樣本空間”(2)先計算P(A)，P(AB)，再用公式第19頁例1.16設(shè)某人從一副撲克中(52張)任取13張，設(shè)A為“最少有一張紅桃”，B為“恰有2張紅桃”，C為“恰有5張方塊”，求條件概率P(B|A)，P(B|C)解

第20頁例1.17某種動物出生后活到20歲概率為0.7，活到25歲概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲這種動物活到25歲概率。解設(shè)A表示事件“活到20歲以上”，B表示事件“活到25歲以上”，顯然第21頁設(shè)S是試驗E樣本空間，A1,A2,…,An是試驗E一組事件，若A1,A2,…,An滿足以下兩個條件：（1）A1∪A2∪…∪An=S，（2）A1,A2,…,An兩兩互不相容則稱事件組A1,A2,…,An組成樣本空間一個劃分；若是樣本空間一個劃分，則在每次試驗中，事件A1,A2,…,An必有且僅有一個發(fā)生。1、樣本空間劃分第22頁定理1.1設(shè)試驗E樣本空間為S，B為E事件。設(shè)事件組A1,A2,…,An組成樣本空間S一個劃分，且設(shè)P(Ak)>0,(k=1,2,…n),則此公式稱為全概率公式。2、全概率公式(P.21)（將計算一個復(fù)雜事件概率問題轉(zhuǎn)化為在不一樣情況下或不一樣原因下發(fā)生簡單事件概率求和問題）第23頁例1.20市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠市場擁有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品次品率。B解設(shè)B：買到一件次品；A1：買到一件甲廠產(chǎn)品；A2：買到一件乙廠產(chǎn)品；A3：買到一件丙廠產(chǎn)品。第24頁例1.21結(jié)果提供給人們這么信息，即若工廠生產(chǎn)了1000批產(chǎn)品，則能夠經(jīng)過檢驗，以合格品出產(chǎn)廠約有814批，而作為合格品出售產(chǎn)品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。所以，就用戶而言，希望所買產(chǎn)品中含次品少概率要大，即概率P(Ai|B)(i=0,1,2,3,4)中最大一個所對應(yīng)i越小越好，這就是下面討論另一個主要公式。第25頁3、貝葉斯公式(Bayes)

定理1.2設(shè)試驗E樣本空間為S，B為E事件。事件組A1,A2,…,An組成樣本空間S一個劃分，且P(Ak)>0,(k=1,2,…n),及P(B)>0，則此式稱為Bayes公式。

第26頁Bayes公式使用我們把事件B看作某一過程結(jié)果，而且每一原因?qū)Y(jié)果影響程度已知，假如已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第i個原因引發(fā)概率，則用Bayes公式第27頁例1.21中，用戶買到一批合格品中，含次品數(shù)為0概率是多少？類似能夠計算用戶買到一批合格品中，含次品數(shù)為1、2、3、4件概率分別約為0.221、0.398、0.179、0.080。第28頁例1.22有甲乙兩個袋子，甲袋中有2個白球，1個紅球，乙袋中有2個紅球，1個白球。這6個球手感上不可區(qū)分。今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球概率？解設(shè)A1——從甲袋放入乙袋是白球；A2——從甲袋放入乙袋是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球。甲乙第29頁思索例1.22中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋是白球概率是多少？答第30頁普通地，設(shè)A1，A2，…，An是n個事件，若下面?zhèn)€等式同時成立：則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立?！?第31頁性質(zhì)1:若事件A1，A2，…，An(n>1)相互獨立，則其中任意k(kn)個事件也相互獨立。性質(zhì)2:若事件A1，A2，…，An(n>1)相互獨立，則將A1，A2，…，An中任意m(1mn)個事件換成它們對立事件，所得n個事件仍相互獨立。注：通常事件相互獨立性是依據(jù)實際意義判斷。注：互不相容事件，互逆事件，相互獨立事件異同A、B互不相容表示A、B不能同時發(fā)生A、B互逆表示A、B不能同時發(fā)生且不能同時不發(fā)生A、B相互獨立表示兩事件中一事件發(fā)生是否不影響另一事件發(fā)生是否第32頁例2.5設(shè)袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得白球數(shù)X為k概率。解X=k全部可能取值為0，1，2X是一個隨機變量第33頁解設(shè)Ai

第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2，…，A5相互獨立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標概率為p，以X表示命中目標次數(shù)，求X分布律。第34頁例2.7設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率為0.002。今從這批產(chǎn)品中隨機地抽查100件，試求所得次品件數(shù)概率分布律。解設(shè){X=k}表示事件“100件產(chǎn)品中有k件次品”，則X可能取值為0，1，2，…，100。本題可視作100重貝努里試驗中恰有k次發(fā)生(k件次品)，X~B(100,0.002)。所以，所求分布律為第35頁例2.8某廠長有7個顧問，假定每個顧問貢獻正確意見概率是0.6，且設(shè)顧問與顧問之間是否貢獻正確意見相互獨立?，F(xiàn)對某事可行是否個別征求各顧問意見，并按多數(shù)顧問意見作出決議，試求作出正確決議概率。解設(shè)X表示事件“7個顧問中貢獻正確意見人數(shù)”，則X可能取值為0，1，2，…，7。（視作7重貝努里試驗中恰有k次發(fā)生，k個顧問貢獻出正確意見）,X~B(7,0.6)。所以X分布律為所求概率為第36頁例2.9從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗,假設(shè)在各個交通崗是否碰到紅燈相互獨立,而且碰到紅燈概率都是1/3。(1)設(shè)X為汽車行駛途中碰到紅燈數(shù),求X分布律；(2)求汽車行駛途中最少碰到5次紅燈概率。解

(1)由題意，X~B(6,1/3)，故X分布律為：第37頁例2.10某人獨立地射擊，設(shè)每次射擊命中率為0.02，射擊400次，求最少擊中目標兩次概率。解每次射擊看成一次試驗，設(shè)擊中次數(shù)為X，則X~B(400,0.02)，X分布律為所求概率為第38頁例2.10告訴我們兩個事實：1°即使每次射擊命中率很小(0.02)，但射擊次數(shù)足夠大(為400次)，則擊中目標最少兩次是幾乎能夠必定(概率為0.997)。一個事件盡管在一次試驗中發(fā)生概率很小，但在大量獨立重復(fù)試驗中，這事件發(fā)生幾乎是必定，也就是說小概率事件在大量獨立重復(fù)試驗中是不可忽略。2°若射手在400次獨立射擊中，擊中目標次數(shù)不到2次，則P(X<2)=1-P(X≥2)≈0.003，即命中目標次數(shù)不到兩次是一件概率很小事件，而這事件竟然在一次試驗中發(fā)生了。則依據(jù)實際推斷，我們有理由懷疑“每次射擊命中率為0.02”是否正確，即能夠認為命中率達不到0.02。第39頁例2.10可用泊松定理計算。取=np=400×0.02＝8,近似地有P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

第40頁例2.11某商店出售某種商品，具歷史統(tǒng)計分析，每個月銷售量服從參數(shù)=5泊松分布。問在月初進貨時，要庫存多少件此種商品，才能以0.999概率充分滿足用戶需要？解用X表示每個月銷量，則X~P()=P(5)。由題意，要求k，使得P{X≤k}≥0.999，即這里計算經(jīng)過查Poisson分布表(p.292-294)得到，=5

k=12時,k=13時,k=13即月初進貨庫存要13件。第41頁例2.12設(shè)某國每對夫婦兒女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為泊松分布,且知一對夫婦有不超出1個孩子概率為3e-2。求任選一對夫婦,最少有3個孩子概率。 解由題意第42頁例2.14

設(shè)隨機變量X具分布律以下表解

X012P0.10.60.3試求出X分布函數(shù)。第43頁例2.15設(shè)一汽車在開往目標地道路上需經(jīng)過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車經(jīng)過或禁止汽車經(jīng)過。以X表示汽車首次停下時，它已經(jīng)過信號燈盞數(shù)(各信號燈工作相互獨立)。求X分布律、分布函數(shù)以及概率解X可能取值為0，1，2，3，且設(shè)p=1/2,則

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X分布律為：X0123P1/21/41/81/8X分布函數(shù)：第44頁所求概率為普通地，X是離散型隨機變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)則X分布函數(shù)F(x)為

F(x)圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2，…，xk，…處跳躍。第45頁例2.16

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標。假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間任一子區(qū)間內(nèi)概率與區(qū)間長成正比，求X分布函數(shù)。解

F(x)=P(X≤x)

當(dāng)x<0時,F(x)=0;當(dāng)x>1時,F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時,尤其,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1第46頁例2.17設(shè)求:(1)常數(shù)K；(2)X分布函數(shù)；(3)解(1)由性質(zhì)得解之得(2)X分布函數(shù)為(3)第47頁例2.18設(shè)隨機變量X~U[1,6]，求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實根概率。解當(dāng)Δ=X2-4≥0時，方程有實根。所求概率為而X密度函數(shù)為另解第48頁例2.19長途汽車起點站于每時10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時任意時刻隨機地抵達車站，求乘客候車時間超出10分鐘概率。1545解設(shè)A—乘客候車時間超出10分鐘，X—乘客于某時X分鐘抵達，則XU(0,60)第49頁例2.20

電子元件壽命X(年)服從參數(shù)為3指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超出2年概率；(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年概率為多少？解指數(shù)分布ForeverYoung(無記憶性)第50頁例2.21某公路橋天天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)[0，t]時段內(nèi)過橋汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t泊松分布，求T概率密度。解當(dāng)t≤0時，F(xiàn)(t)=0；當(dāng)t>0時，F(xiàn)(t)=P(T≤t)=1-P(T>t)=1-P(在t時刻之前無汽車過橋)=1-P(X=0)=1-e-λt于是注：通常概率密度不能直接求得時，先求分布函數(shù)。第51頁對于標準正態(tài)分布分布函數(shù)Φ(x)函數(shù)值，書后附有標準正態(tài)分布表(P295)。表中給出了x>0函數(shù)值。當(dāng)x<0時，可利用Φ(-x)=1-Φ(x)計算得到。例2.22已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)標準正態(tài)分布表P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[1-Φ(3)]=2Φ(3)-1=2×0.9987-1=0.9974=1-0.9987=0.0013普通地,X~N(0,1),P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1第52頁例2.23已知X~N(1,4),求P(5＜X≤7.2),P(0＜X≤1.6)解分位數(shù)概念X～N(,2)，p∈(0,1)，若實數(shù)up滿足P(X>up)=p,則稱up為標準正態(tài)分布p分位點。標準正態(tài)分布表UpOxp第53頁例2.24設(shè)有一項工程有甲、乙兩家企業(yè)投標承包。甲企業(yè)要求投資2.8億元，但預(yù)算外開支波動較大，設(shè)實際費用X~N(2.8,0.52)。乙企業(yè)要求投資3億元，但預(yù)算外開支波動較小，設(shè)實際費用Y~N(3,0.22)?，F(xiàn)假定工程資方掌握資金(1)3億元，(2)3.4億元，為了在這兩種情況下，不至造成資金赤字，選擇哪家企業(yè)來承包較為合理？解（1）工程資方掌握資金3億元。若委托甲企業(yè)承包若委托乙企業(yè)承包標準正態(tài)分布表=0.6554(2)請自己完成。委托甲企業(yè)承包較為合理。第54頁正態(tài)隨機變量3標準(P52)：設(shè)XN(,2)在工程應(yīng)用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}值。如在質(zhì)量控制中，慣用標準指標值±3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。在一次試驗中，正態(tài)分布隨機變量X落在以為中心，3為半徑區(qū)間(-3,

+3)內(nèi)概率相當(dāng)大(0.9973)，即X幾乎必定落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在普通情形下，X在一次試驗中落在(-3,

+3)以外概率能夠忽略不計。

第55頁例2.25一個電子元件使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞是否是相互獨立。求：使用最初90小時內(nèi)無一元件損壞概率.解設(shè)Y為使用最初90小時內(nèi)損壞元件數(shù)，則Y~B(3,p)故其中標準正態(tài)分布表第56頁例2.26設(shè)離散型隨機變量X有以下分布律，試求隨機變量Y=(X-3)2+1分布律X1357P0.50.10.150.25解

Y全部可能取值為1，5，17故，Y分布律為Y1517P0.10.650.25第57頁例2.27設(shè)隨機變量求Y=3X+5概率密度。解先求Y=3X+5分布函數(shù)FY(y)Y概率密度函數(shù)為第58頁例2.28設(shè)XU(-1,1),求Y=X2分布函數(shù)與概率密度。當(dāng)y<0時，當(dāng)0≤y<1時當(dāng)y≥1時解第59頁例2.29設(shè)X概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x嚴格單調(diào)減函數(shù)，求Y=g(X)概率密度。 FY(y)=P(Yy)=P(g(X)y)=P(X≥g-1(y))=1-FX(g-1(y))Y概率密度為fY(y)=FY(y)=-FX(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)解Y分布函數(shù)為第60頁例2.30已知XN(,2),求解概率密度關(guān)于x嚴格單調(diào)，反函數(shù)為故若XN(,2),則第61頁例2.31設(shè)X~U(0,1)，求Y=aX+b概率密度。(a≠0)解

Y=ax+b關(guān)于x嚴格單調(diào)，反函數(shù)為故而所以第62頁例2.已知二維隨機變量(X,Y)分布函數(shù)為(1)求常數(shù)A，B，C。(2)求P{0<X≤2,0<Y≤3}解:第63頁例3.1設(shè)袋中有a+b個球，a只紅球，b只白球。今從中任取一球，觀察其顏色后將球放回袋中，并再加入與所取球相同顏色球c只，然后再從袋中任取一球，設(shè)求二維隨機變量(X,Y)分布律。解X可能取值為0，1，Y可能取值為0，1。

第64頁例3.2袋里有5個有編號球，其中有1個球編號為1，有2個球編號均為2，有2個球編號均為3。每次從中任取兩個球，以X和Y分別表示這兩個球中編號最小號碼和最大號碼。求X和Y聯(lián)合分布律。解

(X,Y)全部可能取值為(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5個球從中任取2個，共有C52=10種取法。試驗樣本點總數(shù)為10，用表格表示為

YX2310.20.220.10.4300.1第65頁例3.3設(shè)二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求常數(shù)k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解(1)解得k=15O1x1yy=xx+y=1(2)第66頁例3.4設(shè)二維隨機變(X,Y)量含有概率密度(1)確定常數(shù)C；(2)求概率P(X>Y)。Oxy=x2y=xy解(1)(2)確定積分區(qū)域第67頁(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y1)。例3.5已知解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)第68頁例3.6設(shè)二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為其中A，B，C為常數(shù)，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)

(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y邊緣分布函數(shù)；(3)求P(X>2)解

(1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知解得(2)(3)由X分布函數(shù)可得故第69頁例3.7已知(X,Y)分布律為故關(guān)于X和Y邊緣分布律分別為：求X、Y邊緣分布律。

YX1011/103/1003/103/10

YX10pi·11/103/102/503/103/103/5p·j2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解第70頁例3.8設(shè)隨機變量(X,Y),X在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能地取值，另一個Y在1至X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X,Y)聯(lián)合分布律和邊緣分布律。解事件(X=i,Y=j)中i取值為1、2、3、4，而j取小于i整數(shù)，所以i=1,2,3,4，j≤ii=1,2,3,4j=1,2,3,4YX1234pi?11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p?j25/4813/487/483/48X和Y邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/4813/487/483/48第71頁例3.9設(shè)二維隨機變量求邊緣密度函數(shù)fX(x)和fY(y)解當(dāng)0<x<1時,O1xy1y=x2y=x3當(dāng)x≤0或x≥1時，f(x,y)=0，所以當(dāng)0<y<1時,當(dāng)y≤0或y≥1時，f(x,y)=0，所以第72頁例3.10設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域G上均勻分布，(1)求(X,Y)概率密度；(2)求P(Y<2X)；(3)求F(0.5,0.5)。O0.5

1xG解(1)區(qū)域G面積為1(2)Y<2X，G1y=2xy1區(qū)域G1面積為1P(Y<2X)(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)G2第73頁解由題意，聯(lián)合密度函數(shù)為先求fX(x),當(dāng)OxyG當(dāng)同理可得例3.11設(shè)二維隨機變量(X,Y)在邊長為a正方形內(nèi)服從均勻分布，該正方形之對角線為坐標軸，求邊緣密度函數(shù)第74頁例3.12設(shè)二維隨機變量x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)，求fX(x)，fY(y)。解所以同理可得但

(X,Y)不服從二維正態(tài)分布。第75頁求(1)P(X0)，(2)P(X1)，(3)P(Y

y0) 練習(xí)隨機變量(X，Y)概率密度為yD答:P(X0)=0Ox1y0y0第76頁例3.13已知(X,Y)聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)a,b，使X與Y相互獨立。解先求出(X,Y)關(guān)于X和Y邊緣分布律要使X與Y相互獨立，可用pij

=pi??p?j來確定a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)?P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)?P(Y=2)，即所以，(X,Y)聯(lián)合分布律和邊緣分布律為YX12pi?11/31/61/22a1/91/33b1/181/6p?j2/31/3經(jīng)檢驗，此時X與Y是相互獨立。第77頁例3.14設(shè)二維隨機變量(X,Y)在矩形區(qū)域G={(x,y)|0≤x

≤2,0≤

y

≤1}上服從均勻分布，若試求(U,V)聯(lián)合分布律，并判斷U與V是否相互獨立。解(X,Y)在G上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為O12xy1y=xx=2yG第78頁(U,V)聯(lián)合分布律和邊緣分布律為VU01pi?01/401/411/41/23/4p?j1/21/2經(jīng)檢驗，U和V不是相互獨立。其中p00≠p0??p?0第79頁例3.15若二維隨機變量證實X與Y相互獨立充分必要條件為=0證(X,Y)聯(lián)合密度函數(shù)為邊緣密度函數(shù)為f(x,y)=fX(x)fY(y)成立充分必要條件是=0，而X與Y相互獨立充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。第80頁例3.16

一責(zé)任人抵達辦公室時間均勻分布在8~12時之間，他秘書抵達辦公室時間均勻分布在7~9時之間。設(shè)他倆抵達時間是相互獨立，求他倆抵達辦公室時間差不超出5分鐘概率。解設(shè)X是責(zé)任人抵達辦公室時間，Y是秘書抵達辦公室時間，則X和Y密度函數(shù)分別為O812xy97因X與Y相互獨立，所以(X,Y)聯(lián)合密度函數(shù)為所求概率為P(|X-Y|≤1/12)，即隨機點(X,Y)落在區(qū)域G中概率，y=x+1/12y=x-1/12矩形區(qū)域上均勻分布GG面積為1/6第81頁例3.17設(shè)二維隨機變量(X,Y)含有概率密度函數(shù)(1)求X,Y邊緣概率密度；(2)問X與Y是否相互獨立？O1xy1解

因為f(x,y)與fX(x)fY(y)在平面上不是幾乎處處相等，所以X與Y不相互獨立。第82頁練習(xí).已知隨機變量(X,Y)概率密度為判斷X,Y是否相互獨立。解：x,yR2,f(x,y)=fX(x)fY(y),即X,Y相互獨立。第83頁3.5多維隨機變量函數(shù)分布已知隨機變量(X,Y)分布，求Z=g(X,Y)概率分布，其中z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)。一、兩個離散型隨機變量函數(shù)分布舉例例3.18已知隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律為試求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)分布律。YX1211/51/5201/531/51/5解

Z1全部可能取值為2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1分布律為Z12345P1/51/52/51/5第84頁YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)全部可能取值為1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5Z2分布律為Z2123P1/52/52/5第85頁例3.19設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，它們分別服從參數(shù)為λ1和λ2泊松分布，證實Z=X+Y服從參數(shù)為λ1+λ2泊松分布。證k1=0,1,2,…k2=0,1,2,…Z=X+Y全部可能取值為0,1,2,3,…X~P(λ1)Y~P(λ2)所以Z~P(λ1+λ2)k=0,1,2,…第86頁例3.20設(shè)(X,Y)~N(0,1;0,1;0)，試求Z=X+Y密度函數(shù)解因為=0，所以X與Y相互獨立，且所以Z密度函數(shù)為令此式說明Z~N(0,2)第87頁普通地，(1)且X與Y相互獨立，則(2)Y=aX+b，(a,b為常數(shù)，且a≠0)，則(3)X與Y相互獨立，且α,β是不全為0常數(shù)，則(4)Xi相互獨立，αi是不全為0常數(shù)，i=1,2,3,…,n，則相互獨立正態(tài)隨機變量線性組合仍是正態(tài)隨機變量。第88頁例3.21設(shè)X,Y相互獨立，且二者都在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布，求Z=X+Y概率密度。解X,Y密度函數(shù)分別為由卷積公式O12zx1x=zx=z-1當(dāng)0<x<1，且0<z-x<1時，被積函數(shù)為1，其它區(qū)域被積函數(shù)為0，即0<x<1，且z-1<x<z第89頁2、M=max(X,Y)，N=min(X,Y)分布（極值分布）設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，求M與N分布函數(shù)。即M分布函數(shù)為即N分布函數(shù)為第90頁結(jié)論推廣(1)設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，且Xi分布函數(shù)為Fi(xi)，則M=max{X1,X2,…,Xn}分布函數(shù)為FM(z)＝F1(z)F2(z)…Fn(z)N=min{X1,X2,…,Xn}分布函數(shù)為(2)當(dāng)X1,X2,…,Xn相互獨立且含有相同分布函數(shù)F(x)，則M=max{X1,X2,…,Xn}分布函數(shù)為FM(z)＝[F(z)]nN=min{X1,X2,…,Xn}分布函數(shù)為FN(z)＝1-[1-F(z)]n(3)當(dāng)X1,X2,…,Xn相互獨立且含有相同概率密度f(x)，則M=max{X1,X2,…,Xn}密度函數(shù)為fM(z)=n[F(z)]n-1f(z)N=min{X1,X2,…,Xn}密度函數(shù)為fN(z)＝n[1-F(z)]n-1f(z)

第91頁例3.22設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立子系統(tǒng)L1和L2聯(lián)接而成，其聯(lián)接方式分別為(1)串聯(lián)，(2)并聯(lián)，如圖所表示。設(shè)L1，L2壽命分別為X與Y，而且其中>0，>0，試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L壽命Z分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。解(1)串聯(lián)時，當(dāng)L1和L2中有一個損壞時，系統(tǒng)L就停頓工作，所以L壽命為Z=min(X,Y)。由條件可得X,Y分布函數(shù)分別為Z分布函數(shù)為Z概率密度函數(shù)為第92頁(2)并聯(lián)時，當(dāng)且僅當(dāng)L1和L2都損壞時，系統(tǒng)L才停頓工作，所以L壽命Z=max(X,Y)其分布函數(shù)為密度函數(shù)為第93頁例3.23設(shè)(X,Y)在G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服從均勻分布，試求Z=XY密度函數(shù)。解(X,Y)聯(lián)合密度函數(shù)為Z分布函數(shù)為O

z12xy1z=xy當(dāng)z≤

0時，F(xiàn)Z(z)=0;當(dāng)0<z<2時，當(dāng)z≥2時，Z密度函數(shù)第94頁練習(xí)卡車裝運水泥,設(shè)每袋水泥重量X(kg)服從N(50,2.52)分布,該卡車額定載重量為kg,問最多裝多少袋水泥,可使卡車超載概率不超出0.05.解設(shè)最多裝n袋水泥,Xi為第i袋水泥重量，則由題意,令查表得第95頁例4.3從一個裝有m個白球和n個紅球袋中取球，直到取到白球為止。若每次取出球仍放回袋中，試求取到紅球次數(shù)數(shù)學(xué)期望。解設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則X分布律為k=0,1,2,…其中第96頁例4.4設(shè)X取(k=1,2,…)對應(yīng)概率為，證實E(X)不存在。證實且但級數(shù)發(fā)散所以E(X)不存在，但級數(shù)(交織級數(shù)滿足Leibniz條件)(收斂)要注意數(shù)學(xué)期望條件：“絕對收斂”。第97頁例4.5設(shè)有5個相互獨立元件，其壽命服從參數(shù)為θ>0指數(shù)分布，其概率密度為

(1)若將5個元件組成一個串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)，求該系統(tǒng)平均壽命；(2)若將5個元件組成一個并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)，求該系統(tǒng)平均壽命；解(1)設(shè)Xk表示第k個元件壽命，k=1,2,3,4,5，則X1,X2,X3,X4,X5相互獨立，且Xk~f(x)，同分布。記Y為串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)壽命，則Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函數(shù)為密度函數(shù)為所以數(shù)學(xué)期望為第98頁(2)記Z為并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)壽命，則Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z分布函數(shù)為密度函數(shù)為所以數(shù)學(xué)期望為從本例可知：一樣5個組件，并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)平均壽命是串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)平均壽命11.4倍。第99頁例4.6設(shè)隨機變量X服從(-∞<x<+∞)試討論E(X)。此分布稱為Cauchy分布。解此廣義積分發(fā)散（階預(yù)計法），所以數(shù)學(xué)期望E(X)不存在。注意這里第100頁例4.7設(shè)隨機變量X~B(n,p)，求E(Y)解X~B(n,p)，分布律為其中p+q=1第101頁例4.8設(shè)二維隨機變量(X,Y)含有概率密度設(shè)Z=XY，試求Z數(shù)學(xué)期望。解O1xy1y=x第102頁例4.9設(shè)國際市場上每年對我國某種出口商品需求量是隨機變量X(單位噸)，它服從[,4000]上均勻分布。若售出這種商品1噸，可賺3萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉儲費1萬元，問該組織多少噸貨源才可使平均收益最大？解由題意可知X密度函數(shù)為設(shè)每年組織貨源y噸，(≤y≤4000)，則收益可知y=3500時，E(Y)取到最大值，故組織3500噸此商品才可使平均收益最大。第103頁例4.10設(shè)某種疾病發(fā)病率為1%，在1000個人中普查這種疾病,為此要化驗每個人血。方法是，每100個人一組，把從100個人抽來血混在一起化驗，假如混合血樣呈陰性，則經(jīng)過；假如混合血樣呈陽性，則再分別化驗該組每個人血樣。求平均化驗次數(shù)。解設(shè)Xj為第j組化驗次數(shù)，j=1,2,…,10，X為1000人化驗次數(shù)，則Xj可能取值為1，101，且Xj1101Pj(99%)1001-(99%)100第104頁例4.11一民航機場送客車載有20名乘客從機場開出，旅客有10個車站能夠下車，如抵達一個站無旅客下車就不停車，假設(shè)每位旅客在各站下車是等可能，且旅客之間在哪一個站下車相互獨立。以X表示停車次數(shù)，求平均停車次數(shù)E(X)。解X可能取值為1,2,…,10，又設(shè)則X=X1+X2+…+X10按題意，對一位旅客而言，他在第i站下車概率是1/10，在第i站不下車概率是9/10。因為在各站旅客下車是否相互獨立，故第i站無人下車概率為(9/10)20，從而第i站有些人下車概率為1-(9/10)20，Xi分布律為：Xi10P1-(9/10)20(9/10)20E(Xi)=1×[1-(9/10)20]+0×(9/10)20=1-(9/10)20E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10×[1-(9/10)20]=8.784第105頁例4.12對某一目標連續(xù)射擊，至命中n次為止。設(shè)每次射擊命中率為p，且相互獨立，求消耗子彈數(shù)X數(shù)學(xué)期望。解設(shè)Xi為第i-1次命中后至第i次命中時所消耗子彈數(shù)，則且Xi分布律為第106頁例4.14已知隨機變量X分布律以下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8，例4.15設(shè)隨機變量求D(X)解第107頁已知某種股票每股價格X平均值為1元，標準差為0.1元，求a，使股價超出1+a元或低于1-a元概率小于10%。解由切比雪夫不等式令練習(xí)第108頁練習(xí)1、設(shè)隨機變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨立，求隨機變量U=(2X+3Y)(4Z-1)數(shù)學(xué)期望2、設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，且均服從N(μ,σ2)分布，答:答:，求第109頁3、長途汽車起點站于每時10分、30分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時任意時刻隨機地抵達車站，求乘客平均候車時間。解設(shè)乘客于某時X分抵達車站,候車時間為Y,則=10分25秒第110頁4、設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)第111頁例4.15設(shè)二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律為YX010q010p其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)ρXY。解由題意可得X,Y邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為0—1分布，E(X)=p，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0×0×q+0×1×0+1×0×0+1×1×pp×p=pp2=pq所以第112頁例4.16設(shè)二維隨機變量(X,Y)密度函數(shù)為求Cov(X,Y)解同理Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0第113頁例4.17設(shè)(X,Y)在D={(x,y)|x2+y2r2}上服從均勻分布，(1)求ρXY；(2)討論X與Y獨立性。解(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，所以ρXY=0，X與Y不相關(guān)。(2)顯然X與Y不獨立。第114頁二維正態(tài)隨機變量(X,Y)，X與Y獨立例4.18設(shè)二維隨機變量則可求得協(xié)方差Cov(X,Y)=ρσ1σ2且相關(guān)系數(shù)ρXY=ρ二維正態(tài)變量(X,Y)，X與Y相互獨立充分必要條件是ρ=0(P78例7)；而ρXY=ρ=0表示X與Y不相關(guān)，可見，X與Y獨立充分必要條件是X與Y不相關(guān)。X與Y不相關(guān)等價于第115頁EX解1)2)第116頁練習(xí)1、設(shè)隨機變量XB(12,0.5)，YN(0,1)，Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y方差與協(xié)方差(33)。2、XYZ相互獨立，X服從[0,6]均勻分布，YN(1,4)，Z服從參數(shù)為2泊松分布，求W=X-Y-2Z+3方差。3、設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上均勻分布,求X與Y相關(guān)系數(shù)。4、相關(guān)系數(shù)在線性變換下保持不變，即若U=aX+b，V=cY+d(ac>0)，則ρUV=ρXY第117頁2解第118頁例4.19將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于500概率是多少？解設(shè) Xk為第k次擲出點數(shù)，k=1,2,…,100，則X1,X2,…,X100獨立同分布，而且由中心極限定理第119頁例4.20某車間有200臺機床，它們獨立地工作著，設(shè)每臺機器開工率為0.6，開工時耗電1千瓦，問供電所最少要供多少電才能以大于99.9%概率確保車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。解設(shè)X為200臺機器中工作著機器臺數(shù)，則X~B(200,0.6)，n=200，p=0.6，np=120，npq=48，近似地有X~N(np,npq)，即X~N(120,48)設(shè)r是供電所供給電力最小數(shù)(千瓦)，由題意查表得r=142標準正態(tài)分布表第120頁例4.21在一家保險企業(yè)里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡概率為0.6%，死亡時其家眷可向保險企業(yè)領(lǐng)得1000元，問：(1)保險企業(yè)賠本概率有多大？(2)其它條件不變，為使保險企業(yè)一年利潤有99%概率不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？第121頁解設(shè)X表示一年內(nèi)死亡人數(shù)，則X~B(n,p)，其中n=10000，p=0.6%，np=60，npq=59.64近似地有X~N(np,npq)，即X~N(60,59.64)設(shè)Y表示保險企業(yè)一年利潤，則

Y=1000012-1000X于是由中心極限定理(1)P(Y0)=P(1000012-1000X0)=1P(X120)

1

(7.769)=0;第122頁(2)設(shè)賠償金為a元，則

P(Y≥60000)=P(1000012-aX≥60000)=P(X≤60000/a)≥0.99由中心極限定理，上式等價于標準正態(tài)分布表第123頁例4.22現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今從其中任意選6000粒，試問在這些種子中，良種占百分比與1/6之差小于1%概率是多少？解選一粒良種看成是一次隨機試驗，所以選6000粒種子看作是6000重伯努里試驗，令X表示6000粒種子中良種數(shù)，則X服從n=6000，p=1/6二項分布，第124頁例4.23某藥廠宣稱，該廠生產(chǎn)某種藥品對于醫(yī)治一個疑難血液病治愈率為80%，醫(yī)院檢驗員任意抽查了100個服用此藥品病人，假如其中多于75人治愈，就接收這一斷言，認為該廠沒有虛假宣傳，不然就認為該長宣傳不符實際。問：(1)若實際上此藥品對該病治愈率確實為80%，問接收廠方宣傳概率是多少？(2)若實際上此藥品對該病治愈率是70%，接收廠方宣傳概率是多少？解設(shè)X表示服用此藥品100例病人中被治愈人數(shù)，則X~B(100,p)所求問題即為(1)p=0.8時，P(X>75)；(2)p=0.7時，P(X>75)。P(X>75)(1)(2)當(dāng)廠方宣傳符合實際時，接收這一宣傳概率約為0.8944，而當(dāng)廠方宣傳不符合實際時(言過其實)實際上治愈率為0.7時，接收其虛假宣傳概率僅有0.1379。第125頁例5.1設(shè)(X1,X2,…,Xn)為X一個樣本，求(X1,X2,…,Xn)密度。解(X1,X2,…,Xn)為X一個樣本，故第126頁例5.2設(shè)某電子產(chǎn)品壽命X服從指數(shù)分布，密度函數(shù)(X1,X2,…,Xn)為X一個樣本，求其密度函數(shù)。解因為(X1,X2,…,Xn)為X一個樣本，第127頁例5.3某商場天天客流量X服從參數(shù)為λ泊松分布，求其樣本(X1,X2,…,Xn)聯(lián)合分布律。解第128頁2、性質(zhì)(1)(2)2分布可加性X1,X2相互獨立，則X1+X2~2(n1+n2)例5.4(X1,X2,X3)為X一個樣本求分布。解因為(X1,X2,X3)為X一個樣本

，i=1,2,3則i=1,2,3第129頁1、定義若X~N(0,1)，Y~2(n)，X與Y獨立，則t(n)稱為自由度為nt—分布。(二)t—分布例5.5(X1,X2,X3)為X一個樣本，求分布i=1,2,3第130頁例5.6(X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~N(0,σ2)樣本求統(tǒng)計量分布解第131頁例5.7.設(shè)X1，…，X10是取自N（2，16)樣本,求a及樣本方差期望與方差解：第132頁例5.8.設(shè)X1，X2,…，X8是取自N(1,9)樣本,求樣本方差S2期望與方差。解：第133頁例5.9設(shè)總體X~N(10,32)，(X1,X2,…,X6)是它一個樣本，設(shè) (1)寫出Z所服從分布；(2)求P(Z>11)。解因為(X1,X2,…,X6)是X~N(10,32)一個樣本，所以Xi~N(10,32)，且Xi相互獨立，i=1,2,…,6，所以P(Z>11)第134頁例6.1(P161)設(shè)總體X均值為μ，方差為σ2，均未知。(X1,X2,…,Xn)是總體一個樣本，求μ和σ2矩預(yù)計。解解得矩法預(yù)計量為注：總體均值與方差矩預(yù)計量表示式不因不一樣總體分布而異第135頁例6.2設(shè)總體X~P(λ)，求λ矩預(yù)計。解例6.3設(shè)(X1,X2,…,Xn)來自X一個樣本，且求a,b矩預(yù)計。解X~U(a,b)解得矩預(yù)計為2階中心矩第136頁矩法預(yù)計優(yōu)點：計算簡單；矩法預(yù)計缺點：(1)矩法預(yù)計有時會得到不合理解；(2)求矩法預(yù)計時，不一樣做法會得到不一樣解；(通常要求，在求矩法預(yù)計時，要盡可能使用低階矩)如例6.2中，若不是用1階矩，而是用2階矩與不一樣(3)總體分布矩不一定存在，所以矩法預(yù)計不一定有解。如第137頁例6.4設(shè)總體X服從0—1分布，即分布律為x=0,1，其中0<θ<1未知(X1,X2,…,Xn)為X一個樣本，設(shè)其觀察值為(x1,x2,…,xn)，則事件(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)發(fā)生概率為對于給定樣本觀察值，上述概率為θ函數(shù)，稱其為似然函數(shù)，并記為L(θ)，即為使上述隨機事件概率到達最大，應(yīng)選取使L(θ)到達最大參數(shù)值(假如存在)，即選取應(yīng)滿足第138頁在例6.4中，解得它使lnL(θ)最大所以θ極大似然預(yù)計量為第139頁例6.5(X1,X2,…,Xn)是來自總體X~P(λ)樣本，λ>0未知，求λ極大似然預(yù)計量。解總體X分布律為x=1,2,…設(shè)(x1,x2,…,xn)為樣本(X1,X2,…,Xn)一個觀察值，似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)是λ極大似然預(yù)計值,λ極大似然預(yù)計量為所以第140頁例6.6設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體X~N(μ,σ2)一個樣本，μ,σ2未知，求μ,σ2極大似然預(yù)計。解設(shè)(x1,x2,…,xn)為樣本(X1,X2,…,Xn)一個觀察值，則似然函數(shù)為解得所以μ,σ2極大似然預(yù)計量分別為思索：當(dāng)μ已知時，第141頁例6.7設(shè)X~U[a,b]，a,b未知，(X1,X2,…,Xn)是總體X一個樣本，求a,b極大似然預(yù)計。解X密度函數(shù)為設(shè)(x1,x2,…,xn)為樣本(X1,X2,…,Xn)一個觀察值，則似然函數(shù)a≤xi≤

b，i=1,2,…n無法求出預(yù)計設(shè)x1*=min(x1,x2,…,xn)，xn*=max(x1,x2,…,xn)，則a取值范圍a≤x1*，b取值范圍b≥xn*當(dāng)a=x1*，b=xn*時，有L(a,b)當(dāng)a=x1*，b=xn*時取得最大值。所以第142頁例6.9設(shè)總體Xk階矩存在，則不論X分布怎樣，樣本k階原點矩是總體k階矩?zé)o偏預(yù)計。證實設(shè)Xk階矩μk=E(Xk)，k≥1(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體X一個樣本，則所以Ak是μk無偏預(yù)計.第143頁例6.10設(shè)X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知，問μ,σ2極大似然預(yù)計是否為μ,σ2無偏預(yù)計？若不是，請修正使它成為無偏預(yù)計。解設(shè)(X1,X2,…,Xn)是取自總體X一個樣本，由例6.6知是μ無偏預(yù)計不是σ2無偏預(yù)計，而為σ2無偏預(yù)計。（P153定理1）第144頁例6.5(X1,X2,…,Xn)是來自總體X~P(λ)樣本，λ>0未知，求λ極大似然預(yù)計量。解總體X分布律為x=1,2,…設(shè)(x1,x2,…,xn)為樣本(X1,X2,…,Xn)一個觀察值，似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)是λ極大似然預(yù)計值,λ極大似然預(yù)計量為所以第145頁例6.6設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體X~N(μ,σ2)一個樣本，μ,σ2未知，求μ,σ2極大似然預(yù)計。解設(shè)(x1,x2,…,xn)為樣本(X1,X2,…,Xn)一個觀察值，則似然函數(shù)為解得所以μ,σ2極大似然預(yù)計量分別為思索：當(dāng)μ已知時，第146頁例6.7設(shè)X~U[a,b]，a,b未知，(X1,X2,…,Xn)是總體X一個樣本，求a,b極大似然預(yù)計。解X密度函數(shù)為設(shè)(x1,x2,…,xn)為樣本(X1,X2,…,Xn)一個觀察值，則似然函數(shù)a≤xi≤

b，i=1,2,…n無法求出預(yù)計設(shè)x1*=min(x1,x2,…,xn)，xn*=max(x1,x2,…,xn)，則a取值范圍a≤x1*，b取值范圍b≥xn*當(dāng)a=x1*，b=xn*時，有L(a,b)當(dāng)a=x1*，b=xn*時取得最大值。所以第147頁定理1(P153)設(shè)(X1,X2,…,Xn)是總體X樣本，總體X均值為μ，方差為σ2，則(1)樣本均值是μ無偏預(yù)計量；(2)樣本方差是無偏預(yù)計量；(3)樣本二階中心距是矩預(yù)計量與極大

似然預(yù)計量，不過有偏。

例(考題)設(shè)是總體X未知參數(shù)無偏預(yù)計量，且D()＞0，證實：不是無偏預(yù)計量。第148頁二、有效性對于參數(shù)無偏預(yù)計量，其取值應(yīng)在真值附近波動，我們希望它與真值之間偏差越小越好。定義設(shè)均為未知參數(shù)無偏預(yù)計量，若則稱比有效。在全部沒有偏預(yù)計量中，若預(yù)計量，則稱是含有最小方差無偏顯然也是最有效無偏預(yù)計量，簡稱有效預(yù)計量。為一致最小方差無偏預(yù)計量。第149頁三、一致性（相合性）在參數(shù)預(yù)計中，很輕易想到，假如樣本容量越大，樣本所含總體分布信息越多。n越大，越能準確預(yù)計總體未知參數(shù)。伴隨n無限增大，一個好預(yù)計量與被估參數(shù)真值之間任意靠近可能性會越來越大，這就是所謂相合性或一致性。定義設(shè)為未知參數(shù)預(yù)計量，若對任意給定正數(shù)ε>0，都有即依概率收斂于參數(shù)，則稱為參數(shù)一致預(yù)計或相合預(yù)計量。第150頁例6.13設(shè)為無偏預(yù)計量，若則為一致預(yù)計量證實