數(shù)形結(jié)合集合復(fù)習(xí)課-精講版課件

數(shù)形結(jié)合的思想方法授課人：邱雄鷹數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。

——華羅庚數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休;切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.

——華羅庚

數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。

數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)與其反映的圖形有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，從而促進(jìn)代數(shù)與幾何；抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合，通過(guò)對(duì)直觀圖形的觀察和分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得以解決，這樣的解題方法叫做數(shù)形結(jié)合法。

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，在選擇、填空中更顯優(yōu)越。數(shù)形結(jié)合在解題過(guò)程中應(yīng)用十分廣泛，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決一些抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果。解題方法指導(dǎo)

1．轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：①通過(guò)坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解。②轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來(lái)考慮。③構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：①“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。命題角度3集合的運(yùn)算C

數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)軸法例3已知集合①若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。命題角度4集合實(shí)際應(yīng)用

例4：向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是30，其余的不贊成，贊成B的人數(shù)是33，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各多少人？分析：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系解：方法歸納：解決這一類問(wèn)題一般借用數(shù)形結(jié)合，借助于Venn圖，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)13.（遼寧卷理1）已知A，B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},CUB∩A={9},則A=（A）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}成果運(yùn)用若二次函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

oxy1xy1o返回是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，2）和B（3，0）（1）解方程（2）解不等式（3）求適合的的取值范圍思考【例6】確定函數(shù)y=x|x|-2|x|的單調(diào)區(qū)間.

小結(jié)：數(shù)形結(jié)合法由數(shù)到形，由形到數(shù)；由形思數(shù)，以數(shù)輔形；數(shù)與形的結(jié)合；是代數(shù)與幾何完美統(tǒng)一的體現(xiàn)；是平面解析幾何的精髓所在。理論遷移例1已知函數(shù)，求不等式 的解集.例2已知函數(shù)在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例3已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意R，都有，且當(dāng) 時(shí)，，試確定函數(shù)的單調(diào)性.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想分類討論命題角度3集合的運(yùn)算C

數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)軸法空集優(yōu)先原則練:已知M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N≠，則a滿足____0命題角度4集合實(shí)際應(yīng)用

例4：向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是30，其余的不贊成，贊成B的人數(shù)是33，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各多少人？分析：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系解：方法歸納：解決這一類問(wèn)題一般借用數(shù)形結(jié)合，借助于Venn圖，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)例2:

已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x∈R|x2－5x＋q＝0}，求?UA及q的值。分析:由U是全集，可知AU。但A是表示方程的解集，故A中最多只能有兩個(gè)元素。又方程x2－5x＋q＝0的根必是U中的元素。結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可知，A中有一個(gè)元素的情況不可能。故A＝或A中必有兩不等實(shí)根，且兩元素之和為5。所以A的可能情況為A＝、A＝{1，4}、A＝{2，3}（1）當(dāng)A＝時(shí)，?UA＝U，此時(shí)，25－4q＜0，知q＞25/4，即q的值為大于25/4的實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)A＝{1，4}時(shí)，?UA＝{2，3，5}，此時(shí)q＝1·4＝4；（3）當(dāng)A＝{2，3}時(shí)，?UA＝{1，4，5}，此時(shí)q＝2·3＝6。例4:

已知集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，B＝{1,2}，且AB，求a的取值范圍。分析由AB可知，A的可能情況為四種，分別針對(duì)A的各種情況，來(lái)考慮方程的解的情形，則不難求出相應(yīng)的a的取值范圍。解∵A是B的子集，故知集合A可能為，{1}，{2}，{1,2}。由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1·x2＝1，知A＝{2}及A＝{1,2}均不可能．因而A＝或{1}．當(dāng)A＝時(shí)，即方程x2＋ax＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故知a2－4<0，即－2<a<2。當(dāng)A＝{1}時(shí)，即方程有兩個(gè)相等的根1，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，1＋1＝－a，即a＝－2。綜上所述，所求a的范圍是{a/－2≤a<2}。例5:

已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，且Ａ∪Ｂ＝A，求a取值的集合．解:A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，由Ａ∪Ｂ＝A可知BA．故知集合B可能為空集，{1}，{2}，{1，2}．∵方程x2－ax＋(a－1)＝0的根為1，a－1．由根與系數(shù)的關(guān)系可知B＝空集、或B＝{2}均不可能∴B＝{1}或B＝{1，2}，∴a－1＝1或a－1＝2,即a＝2或a＝3．注：該題亦可直接將方程的根代入求解，但要注意回驗(yàn).看看得出的a值是否滿足條件．例6:

已知集合A＝{1，3，a}，Ｂ＝{1，a2－a＋1}，若BA，求a的值。解：因?yàn)锽A，故有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a。1.由a2－a＋1＝3解得a＝2或a＝－1。經(jīng)檢驗(yàn)，它們均滿足題設(shè)條件。2.由a2－a＋1＝a解得，a＝1.此時(shí)集合A中有兩個(gè)元素1,與元素的互異性相矛盾，故知a＝1不合題意，舍去。綜上所述，所求a的值是－1或2。注：因?yàn)樵谶\(yùn)算過(guò)程中，運(yùn)用某些條件時(shí)，并未顧及到集合中元素的互異性，故求得的結(jié)果不一定符合題目要求，因此，常常通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)加以判斷，可見(jiàn)，回驗(yàn)是其中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。例7:

已知A＝{x|－2＜x＜－１或x＞１｝,Ｂ＝｛x|a≤x≤b｝且A∪B＝｛x|x＞－2｝，A∩Ｂ＝{x|1＜x≤3}，求a、b的值．解:由A∩Ｂ＝{x|1＜x≤3}可知，－1≤a≤1且b＝3又由A∪B＝｛x|x＞－2｝，可知，－2＜a≤－1且b＞1故可得，所求的值是a＝－1，b＝3.注：該題通過(guò)交、并的意義，分別觀察參數(shù)a、b的取值范圍，而進(jìn)一步求得a、b的值．可畫出數(shù)軸，來(lái)幫助理解．例3已知集合①若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。補(bǔ)充作業(yè)：1.已知集合A=1）若A是空集，求a的取值范圍；

2）若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫出來(lái)；

3）若A中至多只有一個(gè)元素，求a