圓錐曲線的切線方程的三種求法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——圓錐曲線的切線方程的三種求法周紅芹

圓錐曲線的切線方程問題側(cè)重于考察圓錐曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線方程的幾種形式.此類問題的難度一般不大，對(duì)同學(xué)們的抽象思維和分析能力的要求較高.下面主要探討一下求圓錐曲線的切線方程的三種方法.

一、向量法

在求圓的切線方程時(shí)，可奇妙利用圓心和切點(diǎn)的連線垂直于切線的性質(zhì)來建立關(guān)系式.在運(yùn)用向量法解題時(shí)，可先給各條線段賦予方向，求得各條直線的方向向量，然后根據(jù)“相互垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0〞的性質(zhì)建立圓心、切點(diǎn)、切線之間的關(guān)系式，從而求得切線的方向向量以及直線的方程.

例1.已知圓O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的圓的切線l的方程.

解：設(shè)切線l上任意一點(diǎn)N的坐標(biāo)是（x，y）.由（x-a）2+（y-b）2=r2得點(diǎn)O的坐標(biāo)是（a，b），所以O(shè)M=（x0-a，y0-b），MN=（x-x0，y-y0）.又由于OM?MN=0，

即[（x-a）-（x0-a）]（x0-a）+[（y-b）-（y0-b）]（y0-b）=0，所以過圓上的點(diǎn)M（x0，y0）的圓的切線l的方程是：

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=[（x0-a）2+（y0-b）2]，所以l的方程：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

由已知圓的方程與圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出圓心的坐標(biāo)，再設(shè)出切線上任意一點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可得到與切線垂直的向量，根據(jù)向量運(yùn)算便可求得切線的方程.

二、導(dǎo)數(shù)法

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：該函數(shù)曲線在某一點(diǎn)上的切線的斜率，那么在求圓錐曲線的切線方程時(shí)，可對(duì)曲線的方程進(jìn)行求導(dǎo)，便可得到曲線在切點(diǎn)處切線的斜率或切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可求得切線的方程.

例2.設(shè)A，B為曲線C：

y=上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.設(shè)M為曲線C：

y=上一點(diǎn)，C在

M處的切線與直線AB平行，且AB⊥BM，求直線AB的方程.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1≠x2，y1=，y2=，x1+x2=4，

于是直線AB的斜率為k=x1-x2=4=1.

由y=，得y，=.

設(shè)M（x3，y3），由題意可知：

x3=1，解得x3=2，

則M（2，1）.設(shè)直線AB的方程為y=x+m，

故線段AB的中點(diǎn)為N（2，2-m），MN=m+1，將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.

當(dāng)Δ=16m+10，即當(dāng)m-1時(shí)，

x1=2+2或x2=2-2，

從而可得AB=x1-x2=4，由AB=2MN得4=2（m+1），解得m=7，所以直線AB的方程為y=x+7.

在求得直線AB的斜率后，便可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法對(duì)拋物線的方程求導(dǎo)，得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)韋達(dá)定理和弦長公式求得切線的方程.

三、幾何性質(zhì)法

在解答圓錐曲線問題時(shí)，我們經(jīng)常要用到橢圓、雙曲線以及拋物線的幾何性質(zhì)，并結(jié)合幾何圖形，如三角形、梯形、平行四邊形的性質(zhì)來解題.采用幾何性質(zhì)法，關(guān)鍵要根據(jù)題意繪制出幾何圖形，明確各個(gè)點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系，然后運(yùn)用幾何性質(zhì)來解題.

例3.求拋物線C：

y2=8x上經(jīng)過點(diǎn)M（8，8）的切線l的方程.

解：由拋物線C：y2=8x可得其焦點(diǎn)F為（2，0），準(zhǔn)線方程為：

x=-2，

過點(diǎn)M（8，8）作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為N，則N的坐標(biāo)為（-2，8），又設(shè)FN的中點(diǎn)為P，則P的坐標(biāo)為（0，4），

故直線PM的方程為：

y=x+4，

即x-2y+8=0，

所以切線l的方程是：

x-2y+8=0.

我們根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)作出準(zhǔn)線，根據(jù)圖形明確各點(diǎn)、曲線、切線的位置，根據(jù)點(diǎn)、直線之間的位置關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立關(guān)系式，求得切線的斜率與方程.

相對(duì)比而言，幾何性質(zhì)法和導(dǎo)數(shù)法對(duì)比常用