華工2006-2007線性代數(shù)試題及解答

文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.2006線性代數(shù)》試卷A一、填空題（每小題 4分，共20分）。1000．已知正交矩陣P使得PTAP010，則PTA2006(EA)P0021．設(shè)A為n階方陣，1,2,n是A的n個(gè)特征根，則det(A2)=2．設(shè)A是mn矩陣，B是m維列向量，則方程組AXB有無數(shù)多個(gè)解的充分必要條件是：rank(A)=rank(A,B)<n3．若向量組α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩為2，則t=-81511x5234．D(x)54，則D(x)0的全部根為：1、2、-3x29x35827二、選擇題（每小題4分，共20分）001010c）。D1．行列式的值為（100A，1，B，-1n(n1)n(n1)C，(1)2D，(1)22．對矩陣Amn施行一次行變換相當(dāng)于（A）。A，左乘一個(gè)m階初等矩陣， B ，右乘一個(gè)m階初等矩陣C，左乘一個(gè)n階初等矩陣， D ，右乘一個(gè)n階初等矩陣3．若A為m×n矩陣，r(A)rn，M{X|AX0,XRn}。則（C）。DA，M是m維向量空間，B，M是n維向量空間C，M是m-r維向量空間，D，M是n-r維向量空間4．若n階方陣A滿足，A2=0，則以下命題哪一個(gè)成立（A）。DA，r(A)0，B，r(A)n2C，r(A)n2，D，r(A)n25．若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)不成立（D）。A，矩陣AT為正交矩陣，B，矩陣A1為正交矩陣C，矩陣A的行列式是1，D，矩陣A的特征根是1三、解下列各題（每小題 6分，共30分）1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.1．若A為3階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，求det(A*)a1112．計(jì)算行列式1a11(a+3)(a-1)^311a。1111a0203．設(shè)A200,ABAB，求矩陣B。0014、求向量組1(1,2,1,2),2(1,0,1,2),3(1,1,0,0),4(1,1,2,4)的一個(gè)最大無關(guān)組。5、求向量=（1，2，1）在基(1,1,1),(0,1,1),(1,1,1)下的坐標(biāo)。四、（12分）求方程組x1x22x3x4x523x1x22x37x43x52的通解（用基礎(chǔ)解系與特解表示）。x15x210x33x4x56六、證明題（6分）設(shè)0，1,2,L,r是線性方程組AX對應(yīng)的齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系，是線性方程組AX的一個(gè)解，求證1,2,,r,線性無關(guān)?！?006年線性代數(shù) A》參考答案一 填空題20-2

2006(2)(3)(4)(5)

12···λn2r(A)=r(A,B)<nt=-81,2,-3二 選擇題(1)D (2)A (3)D (4)D (5)D三 解答題* * 3(1)A ·A =|A|·E,|A| ·|A|=|A |2文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.*2-1|=1|A|=|A|=|A·A’|=|A·Aa111111111111a11(a1a110a1003(2)1a13)1a1(a3)0a1(a3)(a1)1100111a111a000a1(3)由AB=A-B，有(AE)BA,B(AE)1A，4）而

1234

12121210101210101100110011241120故{1，2，3}為一個(gè)極大無關(guān)組5）6、求向量 =（1，2，1）在基 (1,1,1), (0,1,1), (1,1,1)下的坐標(biāo)。令ω=（1，2，1）=xα+yβ+zγ，則有：xz1x32xyz2解得：y0xyz1z12ω的坐標(biāo)為3,0,122四解：122112112112112112A312732048404012101原1510316048404000000方程組同解下面的方程組：即：x1x222x3x4x5x212x3x4令x3x4x50,求解得：（1，1，0，0，0）=η。齊次方程組基礎(chǔ)解系為：3文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.1(0,2,1,0,0),2(2,1,0,1,0),3(1,0,0,0,1),通解為a11a22a33。x10當(dāng)11時(shí)，由1EAx20，求得基礎(chǔ)解系：1x31六，證明證：設(shè)a1(1 ) ar(r ) b 0，則a11 arr (a1 ar b) 0，于是：A(a11 ar r (a1 ar b)) 0,即：(a1 ar b)A 0但A 0，故 (a1 ar b) =0。從而 a11 arr=0。但 1，，r線形無關(guān)，因此 a1, ,ar全為0，于是b=0,由此知：1 , , r , 線形無關(guān)。設(shè) 0， 1,2,L,r是線性方程組AX 對應(yīng)的齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是線性方程組AX 的一個(gè)解，求證 1 ,2 , ,r , 線性無關(guān)。2006線性代數(shù)》試卷B一、填空題（每小題 4分，共20分）。1001．已知正交矩陣P使得PTAP010，則PTA2006(A1A)P0022．設(shè)A為n階方陣，1,2,n是A的n個(gè)特征根，則det(AT)=3．設(shè)A是mn矩陣，則方程組AXB對于任意的m維列向量B都有無數(shù)多個(gè)解的充分必要條件是：4．若向量組α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩不為3，則t=15131x52270的全部根為：5．D(x)54，則D(x)x239x3583二、選擇題（每小題4分，共20分）4文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.1111．n階行列式110的值為（）。100B，1，B，(1)nn(n1)n(n1)C，(1)2D，(1)22．對矩陣Amn施行一次列變換相當(dāng)于（）。B，左乘一個(gè)m階初等矩陣，B，右乘一個(gè)m階初等矩陣C，左乘一個(gè)n階初等矩陣，D，右乘一個(gè)n階初等矩陣3．若A為m×n矩陣，r(A)rn，M{X|AX0,XRn}。則（）。A，M是m維向量空間，B，M是n維向量空間C，M是m-r維向量空間，D，M是n-r維向量空間4．若n階方陣A滿足，A2=E，則以下命題哪一個(gè)成立（）。A，r(A)n，B，r(A)n2C，r(A)n2，D，r(A)n25．若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)不成立（）。A，矩陣-AT為正交矩陣，B，矩陣-A1為正交矩陣C，矩陣A的行列式是實(shí)數(shù)，D，矩陣A的特征根是實(shí)數(shù)三、解下列各題（每小題6分，共30分）1．若A為3階正交矩陣，求det(E-A2)abbbbabb2．計(jì)算行列式ba。bbbbba0203．設(shè)A200,ABAB，求矩陣A-B。0014、求向量組1(1,2,1,2),2(1,0,1,2),3(1,1,0,0),4(1,1,2,4)的的秩。向量在基(1,1,1),(0,1,1),(1,1,1)下的坐標(biāo)（4，2，-2），求在,,下的坐標(biāo)。5文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.四、（12分）求方程組x1x22x3x4x523x1x22x37x43x52的通解（用基礎(chǔ)解系與特解表示）。x15x210x33x4x56六、證明題（6分）設(shè)0，1,2,L,r是線性方程組AX對應(yīng)的齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系，是線性方程組AX的一個(gè)解，求證對于任意的常數(shù)a，1a,2a,L,ra,線性無關(guān)。證：設(shè)a1(1a)ar(ra)b0，則a11arr(a1aarab)0，于是：A(a11arr(a1aarab))0,即：(a1aarab)A0但A0，故(a1aarab)=0。從而a11arr=0。但1，，r線形無關(guān)，因此a1,,ar全為0，于是b=0,由此知：1a,,ra,線形無關(guān)?！?006年線性代數(shù) B》參考答案二 填空題（1）2-2-5*2

2005λ1···λnm=r(A)=r(A,B)<nt=-81,2,-3選擇題(1)D (2)D (3)D (4)A (5)D三 解答題6文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.(1)3階的正交矩陣必有一個(gè)實(shí)特征根，這個(gè)特征根為1或者-1，所以det(E-A2)=det（E-A）·det（E+A）=0（2）(3)由AB=A-B，有(AE)BA,B(AE)1A，112121210（4）210121010110011003411241120而故秩為3。5）令ω=α+2β+γ=x（α+β）+y（β+γ）+z（γ+α），則有：xz4x2xy2解得：y0yz2z2所求的ω的坐標(biāo)為2,0,2四解：112112112112112112A312732048404012101原1510316048404000000方程組同解下面的方程組：即：x1x222x3x4x5x212x3x4令x3x4x50,求解得：（1，1，0，0，0）=η。齊次方程組基礎(chǔ)解系為：1(0,2,1,0,0),2(2,1,0,1,0),3(1,0,0,0,1),通解為a11a22a33。六，證明證：設(shè)a1(1a)ar(ra)b0，則a11arr(a1aarab)0，7文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.于是：A(a11arr(a1aarab))0,即：(a1aarab)A0但A0，故(a1aarab)=0。從而a11arr=0。但1，，r線形無關(guān)，因此a1,,ar全為0，于是b=0,由此知：1a,,ra,線形無關(guān)?！?007線性代數(shù) 》試卷一、填空題（共 20分）（1）設(shè)A是mn矩陣，B是m維列向量，則方程組AXB無解的充分必要條件是：rank(A)<rank(A,B)（2）已知可逆矩陣P使得P1APcossin，則P1A2007Psincos（3）若向量組α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩為2，則t=（4）若A為2n階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則A*=-11,2,,n（5）設(shè)A為n階方陣，n是A的n個(gè)特征根，則iiEA=1二、選擇題（共20分）(1)D(2)D(3)C(4)都對(5)A（1）將矩陣Amn的第i列乘C加到第j列相當(dāng)于對DA，乘一個(gè)m階初等矩陣，B，右乘一個(gè)m階初等矩陣C，左乘一個(gè)n階初等矩陣，D，右乘一個(gè)n階初等矩陣6．若A為m×n矩陣，r(A)rn，M{X|AX0,XRn}。則（C）。DA，M是m維向量空間，B，M是n維向量空間C，M是m-r維向量空間，D，M是n-r維向量空間（2）若A為m×n矩陣，B是m維非零列向量，r(A)rmin{m,n}。集合M{X:AXB,XRn}則BDA，M是m維向量空間，B，M是n-r維向量空間C，M是m-r維向量空間，D，A，B，C都不對（3）若n階方陣A，B滿足，A2B2，則以下命題哪一個(gè)成立DC8文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.A，AB，B，r(A)r(B)C，detAdetB，D，r(AB)r(AB)n（4）若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)成立：AA，矩陣A1為正交矩陣，B，矩陣-A1為正交矩陣C，矩陣A*為正交矩陣，D，矩陣-A*為正交矩陣111（5）4n階行列式110的值為：A100A，1，B，-1C，nD，-n三、解下列各題（共30分）51111．求向量1，在基10,21,31下的坐標(biāo)。31010202．設(shè)A200,ABA1B，求矩陣B1-A00113353．計(jì)算行列式199251272712518181625134094.計(jì)算矩陣A266310列向量組生成的空間的一個(gè)基。3969339412013409134090023800238A06924000050008122700000rank(A)3（4分一個(gè)基1(1,2,3,3)T,3(4,6,6,4)T,5(9,10,3,0)T9文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.ab1b2...bnb0ab2...bn5.設(shè)Ab0b1a...bn計(jì)算detA......b0b1b2...a四、證明題（10分）設(shè)1,2,L,r是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，不是線性方程組AX0的一個(gè)解，求證1,2,,r,線性無關(guān)。六、（8分）a取何值時(shí)，方程組x1 x2 2x3 a3x1 x2 2x3 a 有無數(shù)多個(gè)解？并求通解x1 5x2 10x3 6七、（4分）設(shè)矩陣A ，B，A+B都是可逆矩陣，證明矩陣 A1 B1也是可逆矩陣。《2007年線性代數(shù) A》參考答案一填空題 每個(gè)四分(4)

rankA<rank(A|B) 或者rankA rank(A|B)(5)(6)

t=0

4 214i3二選擇題(1)D(2)D(3)C(4)都對(5)A三解答題51111．求向量1，在基10,21,31下的坐標(biāo)。3101(1)設(shè)向量在基1,2,3下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3)T，則x1x2x35x2x31（4分）x1x33x16x22（6分）x3310文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.0202．設(shè)A200,ABA1B，求矩陣B1-A001(2)ABA1B(AE)BA1AEA1B1（2分）A(AE)B1020120420則B1A(AE)2002102400010020011 3 3 53．計(jì)算行列式199251272712518181625133536101110612202242115(96)509102424120(3)39423100812307884620480911382408123（4）13409134090023800238A06924000050008122700000rank(A)3（4分）一個(gè)基1(1,2,3,3)T,3(4,6,6,4)T,5(9,10,3,0)T（5）六，證明七《2007線性代數(shù) 》試卷一、填空題（共 20分）（1）設(shè)A是mn矩陣，B是m維列向量，則方程組AXB有唯一解的充分必要條件是：11文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.（2）已知可逆矩陣cossin1(A2007A2007)PP使得P1AP，則Psincos（3）若向量組α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩r不為3，則r=（4）若A為2n+1階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則A*=1,2,,n是A的n個(gè)特征根，則n（5）設(shè)A為n階方陣，2iEA2=i1二、選擇題（共20分）(1)D(2)C(3)D(4)A(5)B（1）將矩陣Amn的第i列乘c相當(dāng)于對A：A，左乘一個(gè)m階初等矩陣，B，右乘一個(gè)m階初等矩陣C，左乘一個(gè)n階初等矩陣，D，右乘一個(gè)n階初等矩陣（2）若A為m×n矩陣，r(A)rmin{m,n}。集合M{X:X'A0,XRm}則BCA，M是m維向量空間，B，M是n-r維向量空間C，M是m-r維向量空間，D，A，B，C都不對（3）若n階方陣A，B滿足，A24B2，則以下命題哪一個(gè)成立CDA，A2B，B，r(A)r(B)C，detA2detB，D，都不對（4）若A是n階初等矩陣，則以下命題那一個(gè)成立：AA，矩陣A1為初等矩陣，B，矩陣-A1為初等矩陣C，矩陣A*為初等矩陣，D，矩陣-A*為初等矩陣111（5）4n+2階行列式110的值為：100A，1，B，-1C，nD，-n三、解下列各題（共30分）01111．求向量1，在基10,21,31下的坐標(biāo)。310112文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.0202．設(shè)A200,ABA12B，求矩陣B1-A0011 13 3 53．計(jì)算行列式1199251372712519181625134094.計(jì)算矩陣A266310列向量組生成的空間的一個(gè)基。3969300233ab1b2...bnb0ab2...bn5.設(shè)Ab0b1a...bn計(jì)算detA......b0b1b2...a四、證明題（10分）設(shè)1,2,L,r是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，不是線性方程組AX0的一個(gè)解，求證1,2,L,r,線性無關(guān)。六、（8分）a取何值時(shí)，方程組無解？七、設(shè)矩陣A，B，A+B都是可逆矩陣，證明矩陣A1B1也是可逆矩陣。（4分）《2007年線性代數(shù) B》參考答案三填空題每個(gè)四分（1）rankA=rank(A|B)=n（2）2cos2007002cos2007（3）r=2（4）1（5）0二選擇題(1)D(2)C(3)D(4)A(5)B三解答題(1) 設(shè)向量 在基 1,2,3下的坐標(biāo)為(x1,x2,x3)T，則13文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.x1x2x30（4分）x2x31x1x33x11（6分）x2 3x3 2(2)QABA1B(AE)BA1AEA1B1A(AE)B1020120則B1A(AE)200210001002（6分）13353610061220242115024242(3)120394231007884620480918113824023

4 2 040（2分）0 0 21 1 1(96) 5 0 9 10 81 23（6分）（4）13409134090023800238A06924000050008122700000rank(A)3（4分）一個(gè)基1(1,2,3,3)T,3(4,6,6,4)T,5(9,10,3,0)T（6分）（5）14文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.nab0ab1b2Lbnabib1b2Lbnb0aab10L0i1abi0ab10L0原式b0a0ab20000ab200LLLLLLLLLLb0a000abn0000abnnbab0)n(a(abi)i1iabi1i（6分）四證明：六，證明七《2007線性代數(shù)-1》試卷一、填空題（共20分）1xx2x31．設(shè)行列式D(x)13927，則方程D(x)0的所有解是：1416641981729111111112,A2001分別等于：2．已知矩陣A11，則矩陣A1111113．設(shè)1,2,...,n是n階對稱方陣A的n個(gè)特征值，1,2,...,n是對應(yīng)的特征向量，若2，則向量1,2的夾角是：x1 x2 a1x2 x3 a24．若方程組 x3 x4 a3有解，則a1 a2 a3 a4 a5的值等于：x4 x5 a4x5 x1 a55．若矩陣A是n階實(shí)矩陣，且 AAT O，這里O為零矩陣，則矩陣 A的所有特征值為：二、選擇題（共20分）7．若矩陣A和B都是n階正定矩陣，若 n是任意自然數(shù)，則A，rank(3A 5B) 3， B ，rank(3A 5B) 515文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.C，rank(3A5B)n，D，rank(3A5B)不能確定8．設(shè)有齊次線性方程組AX=0和BX=0，其中A，B為mn矩陣，現(xiàn)有四個(gè)命題1）若AX=0的解均是BX=0的解，則rank(A)rank(B)2）若rank(A)rank(B)，則AX=0的解均是BX=0的解3）若AX=0與BX=0同解，則rank(A)rank(B)4）若rank(A)rank(B)，則AX=0與BX=0同解以上命題中正確的是A，（1）（2），B，（1）（3）C，（2）（4），D，（3）（4）9．若A，B是任意n階方陣，則以下等式中一定成立的是：A，(AB)2 A2B2 B ，(AB)C，det(A B) detA detB， D ，(AB)

B1A1B*A*10． 若n階方陣A,B,C,D，滿足ABCD Inn，則有A，BACD Inn， B ， ABDC InnC，DABC Inn， D ， ACBD Inn11． 若A是n階方陣，則A是n階正交方陣的充分必要條件不是C，A的列向量構(gòu)成Rn的單位正交基 B ，det(A) 1C，A的行向量構(gòu)成Rn的單位正交基 D ，A1 AT三、解下列各題（共 30分）1 1 0 11．求向量 1 2 ，在基 1 1, 2 1, 3 1下的坐標(biāo)。4 1 1 12．設(shè)A是三階方陣且 A 1，求(3A)12A*的值20 x x...x0x...x3．計(jì)算行列式xx0...x......xxx...04.設(shè)向量組1(1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7),4(2,1,1,0)。16文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。5.設(shè)A212，計(jì)算A1003四、證明題（8分）設(shè)向量1,2,3線性無關(guān)，求證：向量2132,523,341線性無關(guān)。六、（8分）求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系七、（6分）設(shè)矩陣A，B是正定矩陣，證明分塊矩陣 A O也是正定矩陣。O B湖南商學(xué)院 2006 年度（線性代數(shù)）期末考試試卷一、填空題（每小題2分，共20分）a11a12a132a112a122a131.如果行列式a21a22a232，則2a212a222a23。a31a32a332a312a322a33131268122.設(shè)D91，則A12A22A32A42。3262323.設(shè)B12,C12,且有ABCE,則A1=。1034a11x104.設(shè)齊次線性方程組1a1x20的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)解向量，則a。11ax305.A、B均為5階矩陣，A1,B2，則BTA1。26.設(shè)(1,2,1)T,設(shè)AT，則A6。7.設(shè)A為n階可逆矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若是矩陣A的一個(gè)特征值，則A*的一個(gè)特征值可表示為。8.若f2x2x23x22tx1x22xx為正定二次型，則t的范圍是。123139.設(shè)向量(2,1,3,2)T,(1,2,2,1)T，則與的夾角。10.若3階矩陣A的特征值分別為1，2，3，則AE。二、單項(xiàng)選擇（每小題2分，共10分）17文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.x1x2x301.若齊次線性方程組x1x2x30有非零解,則（）x1x2x30A.1或2B.－1或－2C.1或－2D.－1或2.2.已知4階矩陣A的第三列的元素依次為1,3,2,2，它們的余子式的值分別為3,2,1,1，則A（）A.5B.-5C.-3D.33.設(shè)A、B均為n階矩陣，滿足ABO，則必有（）A.AB0B.r(A）r(B）C.AO或BOD.A0或B04.設(shè)ββ是非齊次線性方程組AXb的兩個(gè)解向量，則下列向量中仍為該方程組解1,2的是（）A．B．13122C．1122D．1252三、計(jì)算題(每題9分，共63分)abb1.計(jì)算n階行列式babDnbba1012.設(shè)A,B均為3階矩陣，且滿足ABEA2B，若矩陣A020，求矩陣B。1011390ab3.已知向量組12,20,36和11,22,31；已知3可以317110由1,2,3線性表示,且1,2,3與1,2,3具有相同的秩,求a,b的值。102114.已知向量組13,35521,21,4,5234242680（1）求向量組1,2,3,4,5的秩以及它的一個(gè)極大線性無關(guān)組；（2）將其余的向量用所求的極大線性無關(guān)組線性表示。18文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.x1x22x33x415.已知線性方程組x13x26x3x43x15x210x39x4a（1）a為何值時(shí)方程組有解？（2）當(dāng)方程組有解時(shí)求出它的全部解 （用解的結(jié)構(gòu)表示）.14101APD確定，試求A56.設(shè)矩陣P1,D，矩陣A由關(guān)系式P102四、證明題（7分）已知3階矩陣B O，且矩陣B的列向量都是下列齊次線性方程組的解x12x2x302x1x2x30，（1）求的值；（2）證明：B0。3x1x2x30參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一. 填空題7101211．-16；2.0；3.；4.1；5.-4；6.65A65242；7.A1；8.5t5；12121339.；10.24。2二.單項(xiàng)選擇：1.C；2.A；3.D；4.B；5.C.三.計(jì)算題：abb1bbab[a1a1.Dn(n1)b]bba1b1bb0ab0(n1)b](a[a(n1)b][a00ab2.ABEA2BABBA2E(AE)B(AE)(AE)001因?yàn)锳E010顯然可逆100101201則BAE020E030101102

bb4分ab)n19分3分6分9分19文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.139b139b3.2061061212b,3分31700005/3b/3即b5，且r(1,2,3)25分那么r(1,2,3)2，則6分0ab121121121031031，即a159分1100a50a1501021110211102104.1355203361011204分213420112000001426800224400000r(1,2,3,4,5)35分其極大線性無關(guān)組可以取為1,2,57分且：321205，4122059分1123111231100405.13613024220121115109a06126a10000a5當(dāng)a5時(shí)，線性方程組有解4分0即x14x4，特解為01，6分x212x3x40004其導(dǎo)出組的一般解為x14x4，基礎(chǔ)解系為12,218分x22x3x41001原線性方程組的通解為0k11k22(k1,k2為任意常數(shù)）6.由P1APD，得APDP1A5PD5P15141114141001102311110321112814434431321111127.f(x1,x2,x3)x122x22x322x1x22x1x34x2x3=x122x1(x2x3)(x2x3)2x222x2x3=(x1x2x3)2(x2x3)2x32y1x1x2x3令y2x2x3y3x3

9分2分4分114317分19分2分4分6分20文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.x1y1y2即作線性變換x2y2y38分x3y3可將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形fy12y22y329分四.證明題：因?yàn)锽O，所以齊次線性方程組有非零解，故其方程組的系數(shù)行列式1212150，所以03分311121121（2）A210052，r(A)2，因此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)311000為3-2=1，故r(B)1，因而B0。7分一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分)1．A是n階方陣，R，則有AA。（）2．A，B是同階方陣，且AB0，則(AB)1B1A1。（）3．如果A與B等價(jià)，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。()．若A,B均為n階方陣，則當(dāng)AB時(shí)，A,B一定不相似。()45．n維向量組1,2,3,4線性相關(guān)，則1,2,3也線性相關(guān)。（）二、單項(xiàng)選擇題（每小題 3分，共15分）1．下列矩陣中，（ ）不是初等矩陣。001100100100010000020012（A）100(B)010(C)001(D)0012．設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）。（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,2233．設(shè)A為n階方陣，且A2 A 5E 0。則(A 2E)1 （ ）(A)AE(B)EA(C)1(AE)(D)1(AE)3321文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.4．設(shè)A為m n矩陣，則有（ ）。（A）若m n，則Ax b有無窮多解；（B）若m n，則Ax 0有非零解，且基礎(chǔ)解系含有 n m個(gè)線性無關(guān)解向量；C）若A有n階子式不為零，則Axb有唯一解；D）若A有n階子式不為零，則Ax0僅有零解。5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（ ）（A）A與B相似 （B）A B，但|A-B|=0（C）A=B （D）A與B不一定相似，但|A|=|B|三、填空題（每小題 4分，共20分）012On11．n0。2．A為3階矩陣，且滿足A3,則A1=______，3A*。1021112234423．向量組1，5，7，0是線性（填相關(guān)或無關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是。12134．已知1,2,3是四元方程組Axb的三個(gè)解，其中A的秩R(A)=3，4，442344，則方程組Axb的通解為。31A1a15．設(shè) 5 0 3，且秩(A)=2，則a= 。四、計(jì)算下列各題（每小題 9分，共45分）。22文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.121A3421．已知A+B=AB，且122，求矩陣B。2.設(shè)(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。x1x2ax31x1x22x31xaxxa23.已知方程組123有無窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5．A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。五．證明題（每題 5分，共10分）。1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，AB BA是否為對稱矩陣？證明你的結(jié)論。2．設(shè)A為m n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷ATA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。線性代數(shù)試題解答一、1．（F）（AnA）2．（T）100000A010B0103．（F）。如反例：000，001。4．（T）（相似矩陣行列式值相同）5．（F）二、1．選B。初等矩陣一定是可逆的。2．選B。A中的三個(gè)向量之和為零，顯然A線性相關(guān)；B中的向量組與1，2，3等價(jià),其秩為3，B向量組線性無關(guān)；C、D中第三個(gè)向量為前兩個(gè)向量的線性組合，C、D中的向量組線性相關(guān)。23文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.3．選C。由A2 A 5E 0 A2 A 2E 3E A 2E(A E) 3E，A2E11E)(A3)。．選D。A錯(cuò)誤，因?yàn)閙n，不能保證R(A)R(A|b)；B錯(cuò)誤，Ax0的基礎(chǔ)解系含4有nRA個(gè)解向量；C錯(cuò)誤，因?yàn)橛锌赡躌(A)nR(A|b)n1，Axb無解；D正確，因?yàn)镽(A)n。5．選A。A正確，因?yàn)樗鼈兛蓪腔?，存在可逆矩陣P,Q，使得PAP1diag(1,2,L,n)QBQ1，因此A,B都相似于同一個(gè)對角矩陣。三、1．1n1n!（按第一列展開）122．3；35（3A=33A）3．相關(guān)（因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）。1,2,4。因?yàn)?212，A|124|0。4．1234Tk2024T。因?yàn)镽A3，原方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量，取為2321，由原方程組的通解可表為導(dǎo)出組的通解與其一個(gè)特解之和即得。5．a(chǎn)6（RA2A0)四、1．解法一：ABABAEBAB(AE)1A。將AE與A組成一個(gè)矩陣(AE|A)，用初等行變換求(E|(AE)1A)。021121100001332342332342AE|A=121122(r1r3)121122100001001010103B103r2r3001325。故325。uuuuur解法二：ABABAEBAB(AE)1A。24文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.021101001(AE)1332113B(AE)1A103121326，因此325。1111AT111111112．解：1111，A24A，AnT)(T)L(T)(T)(T)L(T)Tn1Tn1(44A。3．解法一：由方程組有無窮多解，得R(A)R(A|b)3，因此其系數(shù)行列式11a|A|11201a1。即a1或a4。當(dāng)a 1時(shí)，該方程組的增廣矩陣于是R(A) R(A|b) 2 3，方程組有無窮多解。分別求出其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系13T1100T221時(shí)，方程組有無窮多解，其通，原方程組的一個(gè)特解，故aT13T1010k解為22，11411141(A|b)11210220當(dāng)a4時(shí)增廣矩陣1411600015，R(A) 2 R(A|b) 3，此時(shí)方程組無解。解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。11a111a111a1(A|b)1121022a0022a01a1a20a11aa21001(1a)(4a)a212由25文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.1(1a)(4a)a210于該方程組有無窮多解，得R(A)R(A|b)3。因此2，即a1。求通解的方法與解法一相同。4．解：首先寫出二次型的矩陣并求其特征值。二次型的矩陣122122A224|AE|224(2)2(7)242，242因此得到其特征值為122，37。再求特征值的特征向量。解方程組(A2E)x0，得對應(yīng)于特征值為122的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量TT1210，2201。解方程組(A7E)x0得對應(yīng)于特征值為7的一個(gè)特征向量122T33。24T210T20T正交化為p121Tp2155再將1，210，。24TTp21T最后將p121055，122，3單位化后組成的矩陣即2525151535452515305233，其標(biāo)準(zhǔn)形為f2y122y227y32為所求的正交變換矩陣。．解：（）由EA2EA0知-1，2為A的特征值。AB2B0A2EB0，51故-2為A的特征值，又B的秩為2，即特征值-2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A的特征值為-1，2，-2，-2。（2）能相似對角化。因?yàn)閷?yīng)于特征值-1，2各有一個(gè)特征向量，對應(yīng)于特征值-2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可相似對角化。3）A3E的特征值為2，5，1，1。故A3E=10。五、1．ABBA為對稱矩陣。26文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.證明：AB BAT ABT BAT=BTAT ATBT=BAAB=ABBA，所以AB BA為對稱矩陣。2．ATA為正定矩陣。ATTATA知ATA為對稱矩陣。對任意的0，由RAn得證明：由An維向量TATA2A0，=A0，由定義知ATA是正定矩陣。成都理工大學(xué)2006—2007學(xué)年第一學(xué)期《線性代數(shù)》考試試卷（ A）一.填空題（每空 3分，共30分）1.13，則A=。已知A*=402.A、B、C是同階矩陣，A可逆，若AB=AC，則B=。3.若A2=E，則A1=。4.設(shè)A=1，2A=32，則A為階矩陣。3015.行列式D=026中，元素6的代數(shù)余子式為。0246.A、B、C是同階方陣，且 A≠0，BA=C，則B= 。7.逆序數(shù)τ（23541）= 。8.n+2個(gè)n維向量的相關(guān)無關(guān)性為 （填“相關(guān)”“無關(guān)”或“不確定”）。9.向量組的 所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。10.若n階實(shí)矩陣A滿足 ，則稱A為正交矩陣。二.單項(xiàng)選擇題（每小題 3分，共15分）11.A、B是同階方陣，下面結(jié)論中（ ）是正確的。(A)若AB=0且B≠0，則A=0； (B)若AB=0且B≠0，則A=0；27文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.(C)若AB=0且B≠0，則A≠0； (D)若A≠0，則A是可逆矩陣。12.n階行列式D的值為零的充要條件是（ ）(A)某一行元素全為零； (B)某兩行元素相等；(C)D的秩＜n； (D)兩行對應(yīng)元素成比例.13.若A是( )，則A不一定是方陣。(A)對稱矩陣； (B)方程組的系數(shù)矩陣；(C)可逆矩陣； (D)上（下）三角形矩陣。14.兩個(gè)非零向量α、β線性相關(guān)的充分必要條件是（ ）(A)α、β的對應(yīng)分量成比例； (B)α=β；(C)α、β中有一個(gè)是零向量； (D)0α+0β=0不成立.15.齊次線性方程組AX=0有非零解是它的基礎(chǔ)解系存在的（ ）。充要條件；(B)必要條件；(C)充分條件；(D)無關(guān)條件..解答下列各題：（21分）abc116.計(jì)算D=bca1cab1bccaab2221證明若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A1也對稱。設(shè)α1=(1，2，3，4)，α2=(1，3，5，7)，α3=(2，6，10，11)，4=(3，7，11，15)?；卮鹣铝袉栴}：求r(α1,α2,α3,α4)；求此向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。四、（5分）19.設(shè)三階矩陣A的特征值為1，2，3，求A1的值28文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.五、（10分）111，（1）求A1；（2）若AX=141，求X。已知1025020.A=2111321六.（9分）用基礎(chǔ)解系求下列方程組的全部解.成都理工大學(xué)2006—2007學(xué)年第一學(xué)期《線性代數(shù)》考試試卷（ A）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一.填空題（每空3分，共30分）433.A4.55.66.CA1.2.C017.58.線性相關(guān)9.極大線性無關(guān)組10.AA二.單項(xiàng)選擇題15分11——15依次為：ACBAA

11三.（16—18各7分，共21分）abc116.bca1cab1bccaab2221

abcdbc1abcdca10（7分）abcdab1abcdcaab12217.證明：若AA且A1存在，（2分）則A1A1A1（5分）11231123100218.236701210121（4分）解：5101102420030347111503330000(1)r(α1,α2,α3,α4)=3（1分）(2)可選α1,α2,α3為此向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。（2分）（方法對變換有誤給 4分）29文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.四、（5分）設(shè)三階矩陣A的特征值為1，2，3，求A1的值解：A的特征值為1，2，3，則A6，（2分）A111（3分）A6五、20.（10分）111100111100AE2100100122101110010221011011101001/201/2012210010111（4分）0023210013/211/21/201/2故A1111（1分）3/211/21411/201/2141若AX=250，則X=111250（2分）3213/211/2321231=212（3分）122六.（9分）21.解：0方程組化為x1x30，有特解01（5分）x2x41001 0x1x30，有基礎(chǔ)解系101對應(yīng)齊次方程組為x40，2（3分）x2100130文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.方程組的全部解為0k11k22（1分）成都理工大學(xué)2008級《線性代數(shù)》考題（2010年1月用）(附答案)一、填空題（每空3分，共15分）a1b1c1a1b1d11.設(shè)矩陣Aa2b2c2,Ba2b2d2且A4,B1則AB20a3b3c3a3b3d32.A為3階方陣，且A1，則(3A)12A*162273.設(shè)n階矩陣A的元素全為1，則A的n個(gè)特征值是1n,2n04.設(shè)A為n階方陣，1,2,n為A的n個(gè)列向量，若方程組AX0只有零解，則向量組( 1, 2, n)的秩為 n二、選擇題（每題 3分，共15分）bx1 ax2 2ab設(shè)線性方程組2cx23bx3bc，則下列結(jié)論正確的是（A）cx1 ax3 0(A)當(dāng)a,b,c取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解 (B)當(dāng)a＝0時(shí)，方程組無解(C)當(dāng)b＝0時(shí)，方程組無解 (D)當(dāng)c＝0時(shí)，方程組無解A.B同為n階方陣，則（C）成立(A)ABAB(B)ABBA(C)ABBA(D)(AB)1A1B1a11a12a13a21a22a230107.設(shè)Aa21a22a23，Ba11a12a13,P1100,a31a32a33a11a31a12a32a13a33001100P2010則（C）成立10131文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.(A)AP1P2(B)AP2P1(C)P1P2A(D)P2P1A8.A,B均為n階可逆方陣，則AB的伴隨矩陣(AB)*（D）(A)A*B*(B)ABA1B1(C)B1A1(D)B*A*9.設(shè)A為nn矩陣，r(A)r＜n，那么A的n個(gè)列向量中（B）（A）任意r個(gè)列向量線性無關(guān)必有某r個(gè)列向量線性無關(guān)任意r個(gè)列向量均構(gòu)成極大線性無關(guān)組任意1個(gè)列向量均可由其余n－1個(gè)列向量線性表示三、計(jì)算題（每題7分，共21分）30010010.設(shè)A140。求(A2E)111000322100111x111.計(jì)算行列式11x11(x4)1x111x111120010012.已知矩陣A2a2與B020相似，求a和b的值31100b(a0,b2)四、計(jì)算題（每題7分，共14分）211113.設(shè)方陣A121的逆矩陣A1的特征向量為k，求k的值1121(k2或k0)101114.設(shè)1,21,31,1（1）問為何值時(shí)，1,2,3線性無關(guān)（2）111當(dāng)1,2,3線性無關(guān)時(shí)，將表示成它們的線性組合32文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.((1)1(2)111(1)213)