圓錐曲線的性質(zhì)及其推廣運(yùn)用

2021屆本科畢業(yè)論文圓錐曲線的性質(zhì)及推廣運(yùn)用學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)院專業(yè)班級：信息與計(jì)算科學(xué)數(shù)單班學(xué)生姓名：華正東指導(dǎo)教師：王奇辯論日期：目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1引言 42圓錐曲線的分類，性質(zhì)及應(yīng)用 52.1圓錐曲線的分類 52.2圓錐曲線的性質(zhì) 52.3圓錐曲線在生活中的應(yīng)用 93圓錐曲線性質(zhì)的推廣應(yīng)用 93.1利用圓錐曲線性質(zhì)求解圓錐曲線的最值 93.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用 133.3數(shù)學(xué)問題在圓錐曲線中的推廣 19參考文獻(xiàn)： 21致謝 21圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用摘要：本文首先探究圓錐曲線在解析幾何下的分類，總結(jié)了三類圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，主要利用平面解析幾何的知識及數(shù)形結(jié)合思想，對圓錐曲線的根本性質(zhì)及推廣性質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)和證明，并將它在日常生活中的應(yīng)用和在解題中的應(yīng)用做了簡要說明。關(guān)鍵詞：圓錐曲線；性質(zhì)；應(yīng)用；推廣；ThenatureandpromoteapplicationofconiccurvesAbstracts:ThearticlefirstexplorestheconiccurvesinthreedifferentclassificationsofAnalyticgeometry.Italsosummarizesnatureandapplicationofconiccurvesbyusingflatanalyticgeometryknowledgeandsymbolic-graphiccombination.Atlastitmakessomesummariesandverificationonthebasisofthenatureandpromoteapplicationofconicsections.Andputitinourdailylivesandinthesolutionofapplicationinabriefexplanation.Keywords:coniccurve;nature;application;promotion;圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用引言圓錐曲線是高中和大學(xué)解析幾何的重要內(nèi)容，是用代數(shù)方法來研究幾何問題，它處于代數(shù)與幾何的交匯處。圓錐曲線的性質(zhì)及推廣是其中的熱點(diǎn)問題之一。圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。研究圓錐曲線的分類和性質(zhì)，有利于開闊學(xué)生的解題思路，溝通知識間的橫向聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和邏輯推理能力，而且能較高觀點(diǎn)的理解圓錐曲線的定義。通過圓錐曲線的定義，根本性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合及巧設(shè)參數(shù)等方法加以解決。不管是在宏觀世界還是微觀世界，圓錐曲線都和我們有著密切相關(guān)的聯(lián)系。從宏觀上來說我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽系其他行星也如此，太陽那么位于橢圓的一個焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的根本形式。從微觀上來說，任何物體都是由原子構(gòu)成的，原子是原子核和其周圍圍繞的電子高速旋轉(zhuǎn)形成，而電子的運(yùn)動軌跡近似認(rèn)為是圓周運(yùn)動或橢圓運(yùn)動，相對于每一個原子，又符合庫倫定律。從每一個原子到分子，最后形成物體，也就是我們的現(xiàn)實(shí)的世界。本文通過探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質(zhì)，重點(diǎn)研究圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用。2圓錐曲線的分類，性質(zhì)及應(yīng)用2.1. 圓錐曲線的分類在〔平面〕直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次曲線的方程為記那么我們稱是二次曲線的不變量，為二次曲線的半不變量。由不變量給出二次曲線的分類：I橢圓型：⑴橢圓，⑵虛橢圓〔無軌跡〕，⑶一點(diǎn)，II雙曲型：⑷雙曲線，⑸一對相交直線，III拋物型：⑹拋物線，⑺一對平行直線，，⑻一對虛平行直線〔無軌跡〕，，⑼一對重合直線，，當(dāng)二次方程的圖形是一點(diǎn)或直線的情形時，稱二次曲線是退化的。因此從上述二次曲線的分類可知，的符號判別了曲線的類型，而或就判別了曲線的非退化或退化的情形。橢圓，雙曲線和拋物線這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。2.2.圓錐曲線的性質(zhì)圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷〔首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷〕：〔1〕橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么m的取值范圍是__〔答：〕〔2〕雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；〔3〕拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。橢圓〔1〕橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)〔大于〕的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。假設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，那么有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：〔〕〔焦點(diǎn)在x軸上〕或〔〕〔焦點(diǎn)在y軸上〕。注：①以上方程中的大小，其中；②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓〔，，〕當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。〔2〕橢圓的性質(zhì)①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；②對稱性：在曲線方程里，假設(shè)以代替方程不變，所以假設(shè)點(diǎn)在曲線上時，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，那么曲線關(guān)于軸對稱。假設(shè)同時以代替，代替方程也不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，那么，是橢圓與軸的兩個交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個，這四個交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，，，，且，即；④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?！?，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2．雙曲線〔1〕雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點(diǎn)軌跡是雙曲線〔〕。注意：①〔*〕式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支〔含的一支〕；時為雙曲線的另一支〔含的一支〕；②當(dāng)時，表示兩條射線；③當(dāng)時，不表示任何圖形；④兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。橢圓和雙曲線比擬：橢圓雙曲線定義方程焦點(diǎn)注意：如何有方程確定焦點(diǎn)的位置！〔2〕雙曲線的性質(zhì)①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。②對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1〕注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個，這是與橢圓不同的〔橢圓有四個頂點(diǎn)〕，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個端點(diǎn)。2〕實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。⑤等軸雙曲線：1〕定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2〕等軸雙曲線的性質(zhì)：〔1〕漸近線方程為：；〔2〕漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即假設(shè)題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3〕注意到等軸雙曲線的特征，那么等軸雙曲線可以設(shè)為：，當(dāng)時交點(diǎn)在軸，當(dāng)時焦點(diǎn)在軸上。⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同〔互換〕相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3．拋物線〔1〕拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F〔,0〕，它的準(zhǔn)線方程是；〔2〕拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說明：〔1〕通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；〔2〕拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；〔3〕注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。定理1拋物線的過焦點(diǎn)的所有弦中，以拋物線的通經(jīng)為最短。定理2設(shè)AB是拋物線的長為m的動弦，那么(1)當(dāng)〔通徑長〕時，AB的中點(diǎn)M到軸的距離的最小值為；(2)當(dāng)〔通徑長〕時，AB的中點(diǎn)M到軸的距離的最小值為。定理3拋物線焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A〔x,y〕,B(x,y)兩點(diǎn)，直線OA與OB的斜率分別為k,k，直線l的傾斜角為，那么有，，，，，，。2.3.圓錐曲線在生活中的應(yīng)用隨著新課程理念的深入，一些以圓錐曲線在生活和生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用為背景的應(yīng)用問題已經(jīng)進(jìn)入了我們的教材，并且越來越受到重視．利用橢圓、雙曲線、拋物線可以有效地解決數(shù)學(xué)、物理及生活實(shí)際中的許多問題．下面舉例說明圓錐曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用

2.3.1生活中的橢圓：油罐車的橫截面。圓柱形的容器在同樣容器的要求下，它的外表積最小也就是容器所用的材料最少，在裝入物品后尤其是液體，對罐內(nèi)壁各局部的受力大小情況也比擬平均，而在高度和寬度〔即車的允許高度和車的寬度〕都有限制的情況下，其橫截面作成橢圓形就可以到達(dá)既節(jié)省了罐體材料，也保證了容積，由利用了有限的“空間〞和保證了罐體的穩(wěn)定性。雙曲線的應(yīng)用：火電廠及核電站的冷卻塔冷卻塔從底部到中部直徑變小，是將蒸汽抽到塔內(nèi)，防止底部逸出，而上部直徑變大，可以降低上升到頂部熱氣的流動速度，從而降低抽力，使蒸汽盡可能的留在塔內(nèi)，提高冷卻回收率。拋物線的應(yīng)用：美麗的趙州橋采用拋物線的結(jié)構(gòu)使得趙州橋用料精簡，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定鞏固，趙州橋距離現(xiàn)在1400多年，經(jīng)歷了10次水災(zāi)，8次戰(zhàn)亂，和屢次地震，著名橋梁專家茅以升說過：先不管橋的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，僅就他能夠存在1400多年就說明了一切。探照燈截面由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面，他也有一條軸，即拋物線的軸，在這個軸上有一個奇妙的焦點(diǎn)，任何一條過焦點(diǎn)的直線反射出來以后，都將成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用3.1利用圓錐曲線性質(zhì)求解圓錐曲線的最值拋物線，定點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上求一點(diǎn)P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。分析：由點(diǎn)A引準(zhǔn)線的垂線，垂足Q，那么|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值。OF(1,0)xA(3,1)yQP解：如圖，,焦點(diǎn)F(1,0)。由點(diǎn)A引準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足Q，那么|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值OF(1,0)xA(3,1)yQP由,得為所求點(diǎn). 假設(shè)另取一點(diǎn)，顯然。[點(diǎn)悟]利用圓錐曲線性質(zhì)求最值是一種特殊方法。在利用時技巧性較強(qiáng)，但可以避繁就簡，化難為易。又如圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)A與其上一動點(diǎn)P，求的最值時，?？紤]圓錐曲線第二定義。設(shè)AB為過橢圓中心的弦,焦點(diǎn),求的最大面積。分析：利用割補(bǔ)法，將分割為與，再根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)，求得其最值。解：設(shè)，那么由橢圓的對稱性得，那么〔由橢圓的性質(zhì)知，且時等式成立〕所以的最大面積為。反思：當(dāng)整體面積不好求時，可將其劃分為能直接求解的假設(shè)干個面積之和。橢圓的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1.求橢圓的方程設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，在點(diǎn)P處的切線與交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時，求h的最小值。分析：此題主要考察橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系等根底知識，考察解析幾何的根本思想方法和綜合解題能力。解：=1\*GB2⑴由題意，得從而因此，所求的橢圓的方程為=2\*GB2⑵如圖，設(shè)那么拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為直線的方程為將上式代入橢圓的方程中，得.即=1\*GB3①因?yàn)橹本€與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，所以=1\*GB3①式中的=2\*GB3②設(shè)線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么設(shè)線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么由題意，得即.=3\*GB3③由=3\*GB3③式中的得，或.當(dāng)時，，那么不等式=2\*GB3②不成立，所以當(dāng)時，代入方程=3\*GB3③得，將代入不等式=2\*GB3②，檢驗(yàn)成立。所以，的最小值為1.小結(jié)：利用圓錐曲線的性質(zhì)求最值是一種技巧性較強(qiáng)的特殊方法，但思路清晰，過程簡捷，可以避繁就簡，化難為易。3.2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個公共點(diǎn)及有兩個相異的公共點(diǎn)．(2)從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷．設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線方程f(x，y)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,f(x，y)＝0))，消元如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①假設(shè)a＝0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合)．②假設(shè)a≠0，設(shè)Δ＝b2－4ac.a．Δ_>_0時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)；b．Δ_=__0時，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)；c．Δ_<_0時，直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn)．1．(4,2)是直線l被橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的線段的中點(diǎn)，那么l的方程為()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y＋4＝0D．x＋2y－8＝0解析設(shè)l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1.))兩式相減，得kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(9(x1＋x2),36(y1＋y2))＝－eq\f(2×4,4×2×2)＝－eq\f(1,2).∴l(xiāng)的方程為：y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，eq\r(2))且斜率為k的直線l與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有兩個不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.解(1)由條件，直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，代入橢圓方程得eq\f(x2,2)＋(kx＋eq\r(2))2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0①直線l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)P和Q等價于Δ＝8k2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2>0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2).即k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程式①，x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2)②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2)③x1＋x2＝－eq\r(2)(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝eq\f(\r(2),2).由(1)知k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2)，故沒有符合題意的常數(shù)k.過原點(diǎn)且斜率為正值的直線交橢圓于E,F兩點(diǎn)，設(shè)A(2,0),B(0,1),求四邊形AEBF面積S的最大值。分析：由圖形的對稱性可知，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓弧AB上的點(diǎn)F到直線AB的距離最大時，四邊形AEBF的面積取最大值，不難發(fā)現(xiàn)此時的點(diǎn)F恰是橢圓平行于AB的切線與橢圓的共共點(diǎn)。解設(shè)直線是與直線AB平行的橢圓的兩條切線，那么當(dāng)E,F分別與兩切點(diǎn)重合時，四邊形AEBF面積S取最大值。設(shè)切線的方程為，代入橢圓方程可得，令得，即兩切線的方程為，它們的距離為，而，故?！鰽BC的頂點(diǎn)A，B在橢圓x2＋3y2＝4上，C在直線l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時，求AB的長及△ABC的面積；(2)當(dāng)∠ABC＝90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．(1)求弦長|AB|→△ABC的AB邊上的高即原點(diǎn)O到l的距離h→△ABC的AB邊上的高即原點(diǎn)O到l的距離h→S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.將|AC|表示成m的函數(shù)→將|AC|表示成m的函數(shù)→由AC最大確定m的值．解(1)因?yàn)锳B∥l，且AB邊通過點(diǎn)(0,0)，所以AB所在直線的方程為y＝x.設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝4，,y＝x，))得x＝±1，所以|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝2eq\r(2).又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離，所以h＝eq\r(2)，S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h＝2.(2)設(shè)AB所在直線的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝4，,y＝x＋m，))得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.因?yàn)锳，B在橢圓上，所以Δ＝－12m2＋64>0.設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．那么x1＋x2＝－eq\f(3m,2)，x1x2＝eq\f(3m2－4,4)，所以|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\f(\r(32－6m2),2).又因?yàn)锽C的長等于點(diǎn)(0，m)到直線l的距離，即|BC|＝eq\f(|2－m|,\r(2)).因?yàn)閨AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11，所以當(dāng)m＝－1時，AC邊最長，(這時Δ＝－12＋64>0)此時AB所在直線的方程為