復習and考試-數理統(tǒng)計

1.1隨

量及其分布隨

量的引進,是概率論研究的重大事件，在隨

量引進之前，

只是孤立地研究一個或幾個事件，引進隨量后，可用聯(lián)系的觀點來研究問題，進而把所有事件都聯(lián)系起來。隨量的引進，使得還可以利用其他的數學工具來研究概率論中的問題。一、隨

量的概念有些隨機試驗的結果本身就是數量。例1：投一枚 所得的點數，這時基本空間={1，……，6}

，例2：對于某 總機在時間(0,T]內收到的呼叫次數，這時基本空間

={0,1，2，……,k，……}，k表示在(0,T]內收到k次呼叫。有些隨機試驗的結果本身不是數量，但可以用數量來表示。=“正面向例2中，取例3

拋一枚硬幣，可能結果：1上”，

2

=“向上”，基本空間={

1

，

2}，但如果分別用0，1表示“

向上”和“正面向上”，則基本空間可以表示為

={0,1}。在上述例子中，很容易建立“樣本點”與“數”之間的對應關系，即對每一樣本點

，可有一個數

(

)

與之對應。在例1,

(

)

,在例3中，取

(

1)

1,

(

2

)

0

。把這種定義在基本空間上的函數

(

)稱為隨

量。這種函數的取值是不能預先確定的，是隨機的，因而稱為隨

量。定義設E是一個隨機試驗，Ω是其基本空間．若基本空間上的單值實函數滿足：對于任意實數x,

(),(

):

()

x

是隨機事件，

則稱

是隨量。二、離散型隨量的概率分布定義若隨 量

X

的可能取值是有限個或可列個,

則稱

X

為離散型隨

量描述X

的概率特性常用分布列表示P

(

X

xk

)

pk

,

k

1,2,即或Xx1

x2

xkp1

p2

pkP(X=x)容易看出任何一個離散型隨

量的概率函數滿足下列的性質p

0,

k1,2,非負性kkp

1規(guī)范性k1離散型隨量可完全由其分布列來刻劃．即離散型隨量取值的統(tǒng)計規(guī)律性可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．例

設離散型隨量X

的分布列為012345131434161616161616XP{X=x}|求P{

X

2

}

,P{

0.5

X

3

}解：

PX

2

PX

0

PX

1

PX

2

1

3

1

516

16

16

16P0.5

X

3

PX

1

PX

2

3

1

416

16

16定義設

X

為隨 量,

x

是任意實數

,稱函數F

(x)

P(

X

x),

x

為X

的分布函數.由定義知X

落在區(qū)間[a,b

)里的概率可用分布函數來計算：P(a

X

b)

P(

X

b)

P(

X

a)

F

(b)

F

(a)三、分布函數分布函數的性質

F

(x

)單調不減，即

x1

x2,

F(x1)

F(x2

)

0

F(x)1

且lim

F

(

x)

1, lim

F

(

x)

0x

x

F

(x

)左連續(xù)，即lim

F(t)

F(x)tx0四、離散型隨量的分布函數離散型隨量分布函數

分布列例：設離散型隨

量X的分布列為：X

－1

2

3P

?

?

?求X的分布函數F(x)。解：對x

1,有4F

(x)

P{X

x}

P{X

1}

1

.F(x)

P{X

x}

P{}

0.當1

x

2時，4

2F

(x)

P{X

x}

P{X

1或X

2}

1

1

.當2

x

3,有當x

3時，有F

(x)

P{X

x}

P{}

1.1,

4

3

0,

1

,, 2

x

3,x

3.

1

x

2,x

1,F

(

x

)

4-1

0

1

2

3x分布函數F

(x)在x

=xk

(k

=1,

2,…)處有跳躍，其跳躍值為pk=P{X=xk}.0.2

,1F(x)

例 設隨 量X的分布函數為

0

,

x

11

x

10.9

, 1

x

2,

x

2F

(x)的間斷點xi

,

有P{X

xi}

F

(xi+0)

F(

x

i)若已知X的分布函數為F(x)，則對試寫出X的分布列。解：X的分布列為X

-112P(X=x)0.20.70.1五、連續(xù)型隨量及其概率密度定義

設

X

是隨 量,

若存在一個非負可積函數

p(

x

),

使得xp(t)dt

x

F(x)

其中F

(x

)是它的分布函數則稱X

是連續(xù)型隨 量，p(

x

)是它的概率密度函數，簡稱為密度函數或概率密度分布函數與密度函數幾何意義xp

(

x)xy

p

(

x

)F

(

x

)-10-5500

00.密度函數p

(x

)的性質p(x)

0p(x)

d

x

F()

1常利用這兩個性質檢驗一個函數能否作為連續(xù)型隨量的密度函數在p

(x

)的連續(xù)點處，p(x)

F(x)a例：設連續(xù)型隨量X的分布函數為（2）P{-1<X<0.5};（3）X的密度函數p(x).2試求：（1）常數a,b;

b

0,

x

0ax

, 0

x