高中排列組合問(wèn)題的解答技巧和記憶方法

1、排列組合問(wèn)題的解題策略關(guān)鍵詞： 排列組合,解題策略 一、相臨問(wèn)題捆綁法例17名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個(gè)元素排在一起的問(wèn)題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。評(píng)注：一般地: 個(gè)人站成一排,其中某 個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決，共有 種排法。二、不相臨問(wèn)題選空插入法例2 7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為： 種 .評(píng)注：若 個(gè)人站成一排，其中 個(gè)人不相鄰，可用“插空”法解決，共有 種排法。三、復(fù)雜問(wèn)題總體排除法在

2、直接法考慮比較難，或分類(lèi)不清或多種時(shí)，可考慮用“排除法”，解決幾何問(wèn)題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國(guó)高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè).解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種，但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有 332個(gè).四、特殊元素優(yōu)先考慮法 對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種解：先考慮特殊元素（老師）的

3、排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置，有 種，而其余學(xué)生的排法有 種，所以共有 72種不同的排法.例5（2000年全國(guó)高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有 種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊(duì)員，有 種排法，而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場(chǎng)安排共有 252種.五、多元問(wèn)題分類(lèi)討論法對(duì)于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類(lèi)討論，最后總計(jì)。例6（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單

4、，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A ） A42 B30 C20 D12解：增加的兩個(gè)新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ，故選A。例7（2003年全國(guó)高考試題）如圖， 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）解：區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域相鄰，而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有

5、=48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.六、混合問(wèn)題先選后排法對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略 例8（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（ ） A 種 B 種 C 種 D 種解：本試題屬于均分組問(wèn)題。 則12名同學(xué)均分成3組共有 種方法,分配到三個(gè)不同的路口的不同的分配方案共有： 種，故選A。例9（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ） A24種 B18種 C12種 D6種 解

6、:先選后排,分步實(shí)施. 由題意，不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12，故應(yīng)選C. 七相同元素分配檔板分隔法例10把10本相同的書(shū)發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書(shū)的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問(wèn)題。解：先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書(shū)、2本書(shū)；再對(duì)余下的7本書(shū)進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書(shū)，這相當(dāng)于在7本相同書(shū)之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I”（一般可視為“隔板”）共有 種插法，即

7、有15種分法。總之，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類(lèi)為加，分步為乘。具體說(shuō)，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。排列組合問(wèn)題的解題方略湖北省安陸市第二高級(jí)中學(xué) 張征洪排列組合知識(shí)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際，掌握好排列組合知識(shí)，能幫助我們?cè)谏a(chǎn)生活中，解決許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。同時(shí)排列組合問(wèn)題歷來(lái)就是一個(gè)老大難的問(wèn)題。因此有必要對(duì)排列組合問(wèn)題的解題規(guī)律和解題方法作一點(diǎn)歸納和

8、總結(jié)，以期充分掌握排列組合知識(shí)。首先，談?wù)勁帕薪M合綜合問(wèn)題的一般解題規(guī)律:1）使用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式而定，可以分類(lèi)來(lái)完成這件事時(shí)用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理”，需要分步來(lái)完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類(lèi)，還是分步驟？“分類(lèi)”表現(xiàn)為其中任何一類(lèi)均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類(lèi)辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類(lèi)辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么

9、方法不影響后面的步驟采用的方法。 2）排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3）復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫(huà) “樹(shù)圖 ”、“框圖”等手段使問(wèn)題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，因此常常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn)。4）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理排列組合問(wèn)題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合問(wèn)題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類(lèi)”和按事件的過(guò)程“分步”，始終是處理排列、組合問(wèn)題的基本原理和方法，通過(guò)解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類(lèi)和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)

10、明確，分步層次清楚，不重不漏。6）在解決排列組合綜合問(wèn)題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)?？傊?，解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類(lèi)相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們?cè)谧プ?wèn)題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí)，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于特殊元素（位置）的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1、 用0，2，3

11、，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。 A 24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè)分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類(lèi)：1）0排末尾時(shí)，有A42個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有C21 A31A31個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個(gè)，選B。二總體淘汰法：對(duì)于含否定的問(wèn)題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，

12、故有A53-3A42+ C21A31=30個(gè)偶數(shù)。三合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四相鄰問(wèn)題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例2、有8本不同的書(shū)；其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有( )種(結(jié)果用數(shù)值表示) 解：把3本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，2本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁

13、”在一起看成一本大書(shū)，與其它3本書(shū)一起看作5個(gè)元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書(shū)有A33種排法，2本外語(yǔ)書(shū)有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種).注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題五不相鄰問(wèn)題用“插空法”：不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開(kāi)解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱(chēng)插空法例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)(用數(shù)字作答

14、)解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素，這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個(gè)大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素，先將這三個(gè)元素排好，共有A33種排法，再?gòu)那懊媾藕玫娜齻€(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選兩個(gè)，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42288(種) 注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問(wèn)題時(shí)，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置六順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元

15、素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例4、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種)例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。解：先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生，有A74 種排法，余下的3個(gè)位置給女生，只有一種排法，故有A74 種排法。(也可以是A77 ÷A33種)七分排問(wèn)題用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干

16、排的問(wèn)題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來(lái)處理。例6、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無(wú)其它條件,故兩排可看作一排來(lái)處理，不同的坐法共有A77種。八逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A6 B.9 C.11 D.23解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法

17、，故選B九、構(gòu)造模型 “隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 .又如方程a+b+c+d=12非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù),可用此法解。十.正難則反排除法對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問(wèn)題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計(jì)算出符合條件的排列

18、組合數(shù)的方法例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種 A140種 B80種 C70種 D35種解：在被取出的3臺(tái)中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意，因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種)，故選C 注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)題十一逐步探索法：對(duì)于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題需要認(rèn)真分析，探索出其規(guī)律例10、從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。解：兩個(gè)數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù)，1+100>100，1為被加數(shù)時(shí)有1種，2為被加數(shù)有2種，49為被加數(shù)的有49種，50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)有49種，52為被加數(shù)有48種，99為被捕加數(shù)的只有1種，故不同的取法有（1+2+3+50）+