河北省邯鄲市武安三中2023學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．已知函數(shù)，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20203．已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，點為拋物線上任意一點的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．5．已知實數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．6．若，則()A． B． C． D．7．設(shè)橢圓：的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點，則橢圓E的離心率是（）A． B． C． D．8．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．10．若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．711．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．12．已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點在雙曲線的右支上，其左、右焦點分別為、，直線與以坐標(biāo)原點為圓心、為半徑的圓相切于點，線段的垂直平分線恰好過點，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．14．某校高三年級共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗（滿分分），已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分，將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為；③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為．15．函數(shù)過定點________.16．函數(shù)在區(qū)間(-∞，1)上遞增，則實數(shù)a的取值范圍是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.18．（12分）已知為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求最大的正整數(shù)，使得.19．（12分）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成．將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、．選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布．（1）求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（附：若隨機變量，則，，）20．（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計劃從點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設(shè)計到最長，求的最大值．21．（12分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值22．（10分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點P在棱DF上．（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，求PF的長度．

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.【題目詳解】對于，若，則可能為平行或異面直線，錯誤；對于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯誤；對于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對于，若，只有當(dāng)垂直于的交線時才有，錯誤.故選：.【答案點睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.2、C【答案解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可．【題目詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【答案點睛】本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．3、A【答案解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【題目詳解】當(dāng)時，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.故選：A【答案點睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.4、A【答案解析】

求出拋物線的焦點坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【題目詳解】解：由題意可得，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，

過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，綜上：．故選：A．【答案點睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．5、A【答案解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【題目詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，化為直線，當(dāng)直線過點A時，此時直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選A．【答案點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【答案解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【題目詳解】∵，∴，故選D【答案點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．7、C【答案解析】

連接，為的中位線，從而，且，進而，由此能求出橢圓的離心率.【題目詳解】如圖，連接，橢圓：的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，不妨設(shè)B在第二象限，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點為的中位線，，且，，解得橢圓的離心率.故選：C【答案點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【答案解析】

由題意，分析即得解【題目詳解】由題意，故，故選：D【答案點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【答案解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【題目詳解】因為，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【答案點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.10、B【答案解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【題目詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【答案點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題11、A【答案解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進行排除即可．【題目詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當(dāng)時，，當(dāng)，，排除，故選：．【答案點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、A【答案解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】解：由雙曲線可知，焦點在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】如圖，是切點，是的中點，因為，所以，又，所以，，又，根據(jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.14、②③【答案解析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為，故②正確；設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．15、【答案解析】

令，，與參數(shù)無關(guān)，即可得到定點.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，所有過定點.故答案為：【答案點睛】此題考查函數(shù)的定點問題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.16、【答案解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為：【答案點睛】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在.【答案解析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求，利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【題目詳解】（1）由，得，且當(dāng)時取等號．故，且當(dāng)時取等號．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【考點定位】基本不等式．18、（1）（2）1008【答案解析】

（1）用基本量求出首項和公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，然后解不等式可得．【題目詳解】解：（1）由題得，即解得或因為數(shù)列為各項均為整數(shù)，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值為1008【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和．在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法．19、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）見解析．【答案解析】

（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可將區(qū)間分為和兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率，進而可求出相應(yīng)的人數(shù)；（Ⅱ）由題意得成績在區(qū)間[61,80]的概率為，且，由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】（Ⅰ）因為物理原始成績，所以．所以物理原始成績在（47，86）的人數(shù)為（人）．（Ⅱ）由題意得，隨機抽取1人，其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為．所以隨機抽取三人，則的所有可能取值為0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望．【答案點睛】（1）解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間，再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解，解題時注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性．（2）解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機變量服從二項分布，然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望．當(dāng)被抽取的總體的容量較大時，抽樣可認為是等可能的，進而可得隨機變量服從二項分布．20、（1），；（2）米.【答案解析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【題目詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減,又,當(dāng)時,取最大值,此時,的最大值為米．【答案點睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系,進而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.21、（1）證明見解析（2）【答案解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，根據(jù)條件證明，即；（2）以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵，∴為的中點.又為的中點，∴.依題意可知，則四邊形為平行四邊形，∴，從而.又平面，平面，∴平面.（2），且，平面，平面，，，且，平面，以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.從而，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計算能力，屬于中檔題型，證明線面平行，或證明面面平行時，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時，需考慮構(gòu)造中位線或平行四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.22、（1）．（2）．【答