微積分,多元函數(shù)微分學(xué)

－理學(xué)院公共數(shù)學(xué)教學(xué)中心－第七章

多元函

數(shù)微

分學(xué)

教學(xué)內(nèi)容和基本要求理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念,以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分條件。理解方向?qū)?shù)和梯度的概念，并掌握其計算方法。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求

求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求二元函數(shù)的極值，會用日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單函數(shù)的最大值和最小值，會解一些簡單應(yīng)用題。重點與難點重點：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用朗日條件極值求最大值應(yīng)用問題，方向?qū)?shù)與梯度。難點：全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。1.

F(x,y)

0

情況一、一個方程的情形問題：若x

x

,y

y

滿足F

(x,y)

0方程，即點0

00

0

0P

(x

,y

)在方程F

(x,y)

0所對應(yīng)的曲線上，那么(決定一元隱函數(shù)y

=f(x))§7.5

隱函數(shù)的微分法在什么條件下此方程在x0

附近確定一個可導(dǎo)的一元函數(shù)

y

f

(

x)，且

y

f

(

x

)

？0

0看下面的推導(dǎo)及應(yīng)具備的條件:(1)若F(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo),則F(

x,

y)

0

dF(

x,

y)

0

Fxdx

Fydy

0

;

dy

Fxdx

Fy這就是一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式,(1)和(2)就是此公式成立的條件,略去

的嚴格數(shù)學(xué)證明,僅以定理的形式概括如下:若再有Fy

x0

y0

在

x0

y0

)

點(,0附(近),(Fy

x

y

)0,)則,(

一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式F

(

x,

y)

0則方程

F

(

x,

y)

0在P

(

x

,

y

)0

0

0的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的一元函數(shù)

y

f

(

x)，它滿足條件y0

f

(x0

)，并有F(x,y)

=

0XY0xP0

(

x0

,

y0

)aby

=f(x)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且:設(shè)函數(shù)F

(x,y)在點P0

(x0

,y0

)的某一鄰域F

(

x0

,

y0

)

0

Fy

(

x0

,

y0

)

0定理dy

F

xdx

Fy例１驗證方程x

2

y2

1

0在點(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個可導(dǎo)、且x

0

時y

1的隱函數(shù)y

f

(x)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在x

0的值.解令F(

x,

y)

x2

y2

1,則Fx

2x,

Fy

2

y,Fx

(0,1)

0,

Fy

(0,1)

2

0,方程

x

2

y2

1

0

在點

(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、且x

0時

y

1的函數(shù)

y

f

(

x)．Y(0,

1)X1

x2y

f

(

x)

dy

Fxdx

Fy

y

x

,

0,dx

x0dyy2dx2d

2

y y

xy

y2

y

y

x

x

,1y3

1.x0dx2d

2

yF(

x,

y)

x2

y2

1

y

f

(

x)

:函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為:xx2例

2

已知

ln

y2

arctan

y

，求dxdy.,

則yxx2解

令

F

(

x,

y)

ln

y2

arctanx2x

y2x2y

y2y

x

,F

(

x,

y)

x

y

,

F

(

x,

y)

dy

Fxdx

Fyy

x

x

y

.若函數(shù)F(x,

y)

有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則可求出由方程

F(x,

y) =0

確定的隱函數(shù)

y

=

f(x)

的二階導(dǎo)數(shù):yyx

yyxy

yx

yxxx

yF

2F(F

F

F

)(

Fx

)F

F

F

)

(F

F

.yy

xxx

y

xy

x

yF

3FF

2F

2

2F

F

F

F

y注:

不要求直接應(yīng)用此公式.yxxyyF

2dxdydy(

Fdx

2

dx

F2

yd

d

FyyFF

F

)

x

)(偏導(dǎo)數(shù)

而且F

(

)

0則下列運算可行:若函數(shù)F

(x,y,z)有連續(xù)的2.

F(

x,

y,

z)

0F(

x,

y,

z)

0

dF(

x,

y,

z)

0

F

dx

F

dy

F

dz

0x

y

z

dz

(

Fx

)dx

(

Fy

)dyFz

Fzzzy

Fx

Fz

Fx

z

Fy,二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式情況(決定二元隱函數(shù)z

=f(x,y))F

(

x,

y,

z)

02

2

z例

3

設(shè)x

2

y2

z

4z

0，求

.x

2解

令

F

(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

4z,

則Fx

2x,

Fz

2z

4,,zz

Fx

xx

F

2

zx2

2(2

z)2(2

z)

x

zz

x(2

z)22

z(2

z)

x

x

.(2

z)3

(2

z)2

x2例4

設(shè)z

f

(

x

y

z,

xyz)，z

x

y求

，

，

.x

y

zx思路：把z

看成x,y

的函數(shù),對x求偏導(dǎo)數(shù)得z

;y把x看成z,

y

的函數(shù),

對

y

求偏導(dǎo)數(shù)得xz把y

看成x,z的函數(shù),對z

求偏導(dǎo)數(shù)得y

.解x1

2x

xz

f

(1

z

)

f

(

yz

xy

z

),x;f1

yz

f21

f1

xy

f2整理得

z

整理得f1

yz

f2yx

f1

xz

f2

;把y

看成x,z的函數(shù),對z

求偏導(dǎo)數(shù)得1

2z

z1

f

(y

1)

f

(

xy

xz

y

),整理得zf1

xz

f2y

1

f1

xy

f2

.把x看成z,y的函數(shù),對y

求偏導(dǎo)數(shù)得1

2y

y0

f

(x

1)

f

(

xz

yz

x

),原題

z

f

(x

y

z,

xyz)

f

(u,v)yzzx另解

z

f

(

x

y

z,

xyz)

1

2dz

df

(

x

y

z,

xyz)

f

d(

x

y

z)

f

d(

xyz)

f1dx

f1dy

f1dz

f2yzdx

f2xzdy

f2xydz

(

f

f

yz)dx

(

f

f

xz)dy

(

f

f

xy)dz1

2

1

2

1

2dx

1

2

dy211

2f

f

xz1

f

f

xy1

2

1

f

f

xyf

f

yzdz

原題

z

f

(x

y

z,

xyz)G(

x,

y,

u,v)

0問題:上述方程組中視x,y,為常數(shù),視u,

v

為未知數(shù),v

v(

x,

y)理論上有解

u

u(

x,

y)

;

那么在什么條件下

u,

v作為x,y

的二元函數(shù)存在偏導(dǎo)?對此,

不做理論證明,

僅用下面兩個例子說明運算原理,

其過程就 推導(dǎo)過程.二、方程組的情形F

(x,y,u,v)

0例5

yu

xv

1設(shè)

xu

yv

0,u

u

v

v求 x

，

y

，x

和 y

.

ydu

xdv

vdx

udy解

原理:

利用形式微分做如下的運算du

dx

dy

u

,

u

x

ydv

dx

dy

v

,

v

x

yxu

yv

0

udx

xdu

vdy

ydv

0yu

xv

1

udy

ydu

vdx

xdv

0

xdu

ydv

udx

vdy

ydu

xdv

vdx

udy

xdu

ydv

udx

vdy

udx

vdy

yxdu

vdx

udyx2x

y2u

xu

yv

,x

2y

y2u

xv

yu;x

2

x

2

y2

y2

xu

yv

dx

xv

yu

dyx

2

y2x

yy

x

(udx

vdy)

x

y(vdx

udy)x

2y

y2v

xu

yv

.x

2

x

2

y

2

y

2x

yy

x

vdx

udy

yu

xv

dx

xu

yv

dyx

udx

vdydv

yx

2

yxv

ydu

xdv

vdx

udy

xdu

ydv

udx

vdy

例6

用線性變換

u

=

x

+

t

,

v

=

x

–

t

變換方程

2

z

2

zt

2

x

2(

視

z為x,

t

的函數(shù)：z

z(

x,

t

)

);

2

z

2

z

2

zu2

2

uv

v

2解

將

u,

v

看作中間變量，x,

t

看作自變量有z

z

u

z

v

z

z

,x

u

x

v

x

u

v

2

z

2

z

u

2

z

v

2

z

u

2

z

vx

2

(u2

x

uv

x

)

(vu

x

v

2

x

)z

z

u

z

v

z

z

,.

2

z

2

zu2

2

uv

v

2

2

z

uv

tt

t

u

t

2

z

2

z

ut

2

(u2

t,

再化簡有x

2代入所給方程t

2

2

z

2

z4

uv

0

,

2

zuv

0

.

2

z即;

2

z

2

z

2

uv

v

2vu

t

v

tx2

u2

2

z

2

z特例

設(shè)u

f

(

x,

y)

有連續(xù)的二階偏導(dǎo),

且

x

r

cr

y

r

sin

,

試用

r,

,u及uu

u表示

x

和

y

.解x

r

x

xu

u

r

u

,

u

u

r

u

.由于

y

r

sin

x

r

cos

r

r(

x,

y)

(x,y),

故可視

r