中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型四：規(guī)律探索題【含答案】

——中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型四：規(guī)律探索題1.如下數(shù)表是由1開始的連續(xù)自然數(shù)組成的，觀察規(guī)律并完成各題的解答：(1)第9行的最后一個(gè)數(shù)是________；(2)第n行的第一個(gè)數(shù)是________，第n行共有________個(gè)數(shù)；第n行各數(shù)之和為____________．2.觀察下列等式：(1)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,1×2)＝1；(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)；(3)eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＋eq\f(1,5×6)＝eq\f(1,5)；…根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：(1)寫出第(4)個(gè)等式：(________)－(________)＋(________)＝(________)；(2)寫出你猜想的第(n)個(gè)等式，并證明．3.觀察下列等式：①eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,1)；②eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)；③eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)－eq\f(1,30)＝eq\f(1,3)；④eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)－eq\f(1,56)＝eq\f(1,4)；…(1)請根據(jù)以上規(guī)律寫出第5個(gè)等式：__________________________；(2)猜想并寫出第n個(gè)等式，并驗(yàn)證其正確性．4.觀察下列由連續(xù)的正整數(shù)組成的寶塔形等式：第1層1＋2＝3；第2層4＋5＋6＝7＋8；第3層9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4層16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)填空：第6層等號右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是________，第n層等號右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是________(用含n的式子表示，n是正整數(shù))，數(shù)字2017排在第幾層？請簡要說明理由；(2)求第99層右側(cè)最后三個(gè)數(shù)字的和．5.觀察下列等式：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)試寫出第五個(gè)等式；(2)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，試說明145是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？6.按如下方式排列正整數(shù)，第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有3個(gè)數(shù)，第3，4行分別有7個(gè)、13個(gè)數(shù)．依此規(guī)律，解答下列問題：1234345678945678910…1516…(1)第10行有________個(gè)數(shù)，第n行有________個(gè)數(shù)(結(jié)果用含n的式子表示)；(2)第2，3，4行都含有數(shù)4，其中第2行最先出現(xiàn)4，那么2019最先出現(xiàn)在第幾行？7.已知下列等式：①32－12＝8，②52－32＝16，③72－52＝24，…(1)請仔細(xì)觀察，寫出第4個(gè)式子；(2)根據(jù)以上式子的規(guī)律，寫出第n個(gè)式子，并用所學(xué)知識說明第n個(gè)等式成立；(3)利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：8＋16＋24＋…＋792＋800.8.【問題提出】觀察下列圖形，回答問題：第8題圖由此可以得出第1個(gè)圖形中所有線段的長度的和是1，第2個(gè)圖形中所有線段的長度的和是4，第3個(gè)圖形中所有線段的長度的和是10，第4個(gè)圖形中共有________條線段，所有線段的長度的和是________；【規(guī)律探索】在計(jì)算第1，2，3個(gè)圖形中所有線段的長度的和的時(shí)候，得出了下列等式：1×1＝eq\f(1×2×3,6)；1×2＋2×1＝eq\f(2×3×4,6)；1×3＋2×2＋3×1＝eq\f(3×4×5,6)；第4個(gè)等式為____________；…【問題解決】求第n個(gè)圖形中所有線段的長度的和．9.我們知道，1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，那么12＋22＋32＋…＋n2結(jié)果等于多少呢？在圖①所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12；第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2＋2，即22；……；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n＋n＋…＋n,\s\do4(n個(gè)n))，即n2.這樣，該三角形數(shù)陣中共有eq\f(n（n＋1）,2)個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12＋22＋33＋…＋n2.第9題圖①【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖②所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n－1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n－1，2，n)，發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為________．由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．第9題圖②【解決問題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算eq\f(12＋22＋32＋…＋20172,1＋2＋3＋…＋2017)的結(jié)果為________．

類型二圖形規(guī)律探索1.下列各圖形中的“”的個(gè)數(shù)和“△”的個(gè)數(shù)是按照一定規(guī)律擺放的：第1題圖(1)觀察圖形，填寫下表：第n個(gè)圖形1234…n“”的個(gè)數(shù)36912…________“△”的個(gè)數(shù)13610…________(2)當(dāng)n＝________時(shí)，“△”的個(gè)數(shù)是“”的個(gè)數(shù)的2倍．2.用同樣大小的“”按如圖所示的規(guī)律擺放：第2題圖(1)第5個(gè)圖形有多少枚“”？(2)第幾個(gè)圖形有2018枚“”？請說明理由．3.如圖，圖①中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a1＝4，圖②中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a2＝8，圖③中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a3＝13，…第3題圖根據(jù)以上圖中的規(guī)律完成下列問題：(1)圖④中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為a4，則a4＝________；(2)圖n中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為an，則an＝________(用含n的式子表示)；(3)第幾個(gè)圖形中的小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為43個(gè)？4.(1)觀察下列圖與等式的關(guān)系，并填空：放置方式①放置方式②放置方式①中圓圈的個(gè)數(shù)1＋2＝eq\f(3×2,2)＝32＋3＋4＝eq\f(6×3,2)＝93＋4＋5＋6＝eq\f(9×4,2)＝184＋5＋6＋7＋8＝______＝______………n＋(n＋1)＋…＋______＝______(2)一堆按“放置方式①”放置的圓圈，小明數(shù)得共有165個(gè)圓圈，請你計(jì)算最上面有幾個(gè)圓圈？5.如圖，下列每個(gè)圖案均是由若干邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，探究規(guī)律，解答問題．第5題圖(1)請根據(jù)你的探究直接寫出：第10個(gè)圖案中共有______個(gè)小正方形，第n個(gè)圖案中共有______個(gè)小正方形；(2)是否存在有37個(gè)小正方形的圖案？若存在，請求出是第幾個(gè)圖案；若不存在，請說明理由．6.觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：(1)認(rèn)真觀察圖①，并填寫出第4個(gè)點(diǎn)陣圖相應(yīng)的等式．第6題圖①(2)結(jié)合(1)觀察圖②，并填寫出第5個(gè)點(diǎn)陣圖相應(yīng)的等式．第6題圖②(3)通過猜想，直接寫出(2)中與第n個(gè)點(diǎn)陣圖相對應(yīng)的等式．7.如圖，正方形ABCD內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊)：第7題圖(1)填寫下表：正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)1234…n分割成的三角形的個(gè)數(shù)46________…____(2)原正方形能否被分割成2008個(gè)三角形？若能，求此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)？若不能，請說明理由.8.如圖，每個(gè)圖形可以看成由上下左右4個(gè)等腰梯形組成或者是由外圍大正方形減去正中間的正方形(陰影部分)所得，而每個(gè)等腰梯形又由若干個(gè)更小的全等正方形和全等等腰直角三角形組成，且等腰直角三角形的面積正好是小正方形面積的一半，設(shè)小正方形的面積為1，則第1個(gè)圖形的面積為4×(2×1＋4×eq\f(1,2))＝16，第2個(gè)圖形的面積為4×(5×1＋5×eq\f(1,2))＝30，第3個(gè)圖形的面積為4×(9×1＋6×eq\f(1,2))＝48，…根據(jù)上述規(guī)律，解答下列問題：(1)第4個(gè)圖形的面積為：4×(____×1＋____×eq\f(1,2))＝____，(2)第n個(gè)圖形的面積為：4×[____×1＋____×eq\f(1,2)](用含n的式子填空)；(3)上面的圖形還可看成一個(gè)大正方形再減去中間1個(gè)小正方形組成，這時(shí)，第1個(gè)圖形的面積為(3eq\r(2))2－2，第2個(gè)圖形的面積為(4eq\r(2))2－2，第3個(gè)圖形的面積為(5eq\r(2))2－2，…再根據(jù)這個(gè)規(guī)律，完成下列問題：①按此規(guī)律，第n個(gè)圖形的面積為：[____]2－2(用含n的式子填空)；②比較兩個(gè)猜想，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并驗(yàn)證．第8題圖9.(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：第9題圖①(2)觀察下圖，根據(jù)(1)中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．第9題圖②參考答案參考答案類型一數(shù)式規(guī)律探索1.解：(1)81；【解法提示】根據(jù)題意，觀察發(fā)現(xiàn)：第1行的最后一個(gè)數(shù)為12＝1，第2行的最后一個(gè)數(shù)為22＝4，第3行的最后一個(gè)數(shù)為32＝9，第4行的最后一個(gè)數(shù)為42＝16，第5行的最后一個(gè)數(shù)為52＝25，第6行的最后一個(gè)數(shù)為62＝36，…，∴第n行的最后一個(gè)數(shù)為n2，∴第9行的最后一個(gè)數(shù)是81.(2)(n－1)2＋1，2n－1,(n2－n＋1)(2n－1)．【解法提示】觀察發(fā)現(xiàn)：第1行的第一個(gè)數(shù)為(1－1)2＋1＝1，第2行的第一個(gè)數(shù)為(2－1)2＋1＝2，第3行的第一個(gè)數(shù)為(3－1)2＋1＝5，第4行的第一個(gè)數(shù)為(4－1)2＋1＝10，第5行的第一個(gè)數(shù)為(5－1)2＋1＝17，第6行的第一個(gè)數(shù)為(6－1)2＋1＝26，…，∴第n行第一個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1；觀察發(fā)現(xiàn)：第1行共有1個(gè)數(shù)，第2行共3個(gè)數(shù)，第3行共5個(gè)數(shù)，第4行共7個(gè)數(shù)，第5行共9個(gè)數(shù)，第6行共11個(gè)數(shù)，…，∴第n行共(2n－1)個(gè)數(shù)；由(1)知第n行的最后一個(gè)數(shù)為n2，∴第n行的各數(shù)之和為eq\f(（n－1）2＋1＋n2,2)·(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n－1)．2.解：(1)eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,7×8)，eq\f(1,7)；【解法提示】觀察上述等式發(fā)現(xiàn)：第(1)個(gè)等式：1－eq\f(1,2×1)＋eq\f(1,1×（1＋1）)＝eq\f(1,2×1－1)＝1；第(2)個(gè)等式：eq\f(1,2)－eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,（2×2－1）×（2×2）)＝eq\f(1,2×2－1)＝eq\f(1,3)；第(3)個(gè)等式：eq\f(1,3)－eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,（2×3－1）×（2×3）)＝eq\f(1,2×3－1)＝eq\f(1,5)；∴第(4)個(gè)等式為：eq\f(1,4)－eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,（2×4－1）×（2×4）)＝eq\f(1,2×4－1)＝eq\f(1,7).即eq\f(1,4)－eq\f(1,8)＋eq\f(1,7×8)＝eq\f(1,7).(2)第(n)個(gè)等式為eq\f(1,n)－eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1).證明：左邊＝eq\f(2（2n－1）－（2n－1）＋1,2n（2n－1）)＝eq\f(4n－2－2n＋1＋1,2n（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1)＝右邊．∴原式成立．3.解：(1)eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)－eq\f(1,90)＝eq\f(1,5)；【解法提示】觀察發(fā)現(xiàn)：第①個(gè)等式：eq\f(1,2×1－1)＋eq\f(1,2×1)－eq\f(1,（2×1－1）（2×1）)＝eq\f(1,1)；第②個(gè)等式：eq\f(1,2×2－1)＋eq\f(1,2×2)－eq\f(1,（2×2－1）（2×2）)＝eq\f(1,2)；第③個(gè)等式：eq\f(1,2×3－1)＋eq\f(1,2×3)－eq\f(1,（2×3－1）（2×3）)＝eq\f(1,3)；第④個(gè)等式：eq\f(1,2×4－1)＋eq\f(1,2×4)－eq\f(1,（2×4－1）（2×4）)＝eq\f(1,4)；∴第⑤個(gè)等式：eq\f(1,2×5－1)＋eq\f(1,2×5)－eq\f(1,（2×5－1）（2×5）)＝eq\f(1,5)，即eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)－eq\f(1,90)＝eq\f(1,5)；(2)根據(jù)上述規(guī)律，得第n個(gè)等式為eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n（2n－1）)＝eq\f(1,n).證明：左邊＝eq\f(2n＋2n－1－1,2n（2n－1）)＝eq\f(2（2n－1）,2n（2n－1）)＝eq\f(1,n)＝右邊，∴等式成立．4.(1)43，n2＋n＋1；2017排在第44層，理由略；(2)第99層右側(cè)最后三個(gè)數(shù)字的和為29994.5.解：(1)根據(jù)題意可得，第五個(gè)等式為25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；(2)根據(jù)已知等式得，第n行的第1個(gè)數(shù)為n2，∵122＝144，∴145是第12行的第2個(gè)數(shù).6.解：(1)91，n2－n＋1；【解法提示】根據(jù)題意可知，第2行最后一個(gè)數(shù)為4＝22，數(shù)字個(gè)數(shù)是22－1；第3行最后一個(gè)數(shù)為9＝32，數(shù)字個(gè)數(shù)是32－2；第4行最后一個(gè)數(shù)為16＝42，數(shù)字個(gè)數(shù)是42－3；…，∴第10行最后一個(gè)數(shù)為102＝100，數(shù)字個(gè)數(shù)是102－9＝91；第n行最后一個(gè)數(shù)為n2，數(shù)字個(gè)數(shù)是n2－(n－1)＝n2－n＋1.(2)∵第44行最后一個(gè)數(shù)是442＝1936，第45行第一個(gè)數(shù)字是45，而最后一個(gè)數(shù)字是452＝2025，45＜2019＜2025，∴2019最先出現(xiàn)在第45行．7.解：(1)∵第1個(gè)式子為：32－12＝(2×1＋1)2－(2×1－1)2＝8×1；第2個(gè)式子為：52－32＝(2×2＋1)2－(2×2－1)2＝8×2；第3個(gè)式子為：72－52＝(2×3＋1)2－(2×3－1)2＝8×3；∴第4個(gè)式子為：(2×4＋1)2－(2×4－1)2＝92－72＝8×4＝32；即第4個(gè)式子為：92－72＝32；(2)由(1)的推理過程可得，第n個(gè)式子為：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n；證明：∵左邊＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n＝右邊，∴所寫等式成立；(3)8＋16＋24＋…＋792＋800＝32－12＋52－32＋72－52＋…＋2012－1992＝2012－1＝40400.8.解：【問題提出】10，20；【規(guī)律探索】1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝eq\f(4×5×6,6)；【問題解決】eq\f(n（n＋1）（n＋2）,6).9.解：【規(guī)律探究】2n＋1，eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,2)，eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)；【解法提示】第n－1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n－1，2，n，則n－1＋2＋n＝2n＋1；3(12＋22＋32＋…＋n2)＝(1＋2＋3＋…＋n)(2n＋1)＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,2)；12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,2)·eq\f(1,3)＝eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6).【解決問題】1345.【解法提示】eq\f(12＋22＋32＋…＋20172,1＋2＋3＋…＋2017)＝eq\f(\f(2017×（2017＋1）（2×2017＋1）,6),\f(2017×（2017＋1）,2))＝eq\f(2×2017＋1,3)＝1345.類型二圖形規(guī)律探索1.解：(1)完成表格如下：第n個(gè)圖形1234…n“”的個(gè)數(shù)36912…3n“△”的個(gè)數(shù)13610…eq\f(n（n＋1）,2)(2)11.【解法提示】根據(jù)題意知eq\f(n（n＋1）,2)＝2×3n，解得n＝0(舍去)或n＝11,∴當(dāng)n＝11時(shí)，“△”的個(gè)數(shù)是“”的個(gè)數(shù)的2倍．2.解：(1)圖①有2枚“”，2＝2×12，圖②有8枚“”，8＝2×22，圖③有18枚“”，18＝2×32，…圖⑤有2×52＝50，∴第五個(gè)圖形有50枚“”；(2)由(1)可得第n個(gè)圖形有(2n2)枚“”，令2n2＝2018，此方程無整數(shù)解，∴沒有哪個(gè)圖形有2018枚“”．3.解：(1)19；【解法提示】根據(jù)題意知a4＝1＋2＋3＋4＋5＋4＝19.(2)eq\f(1,2)n2＋eq\f(5,2)n＋1；【解法提示】an＝1＋2＋3＋…＋n＋n＋1＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)＋2n＋1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(5,2)n＋1.(3)當(dāng)eq\f(1,2)n2＋eq\f(5,2)n＋1＝43時(shí)，解得：n＝7(負(fù)值舍去)，∴第7個(gè)圖形中的小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為43個(gè).4.解：(1)eq\f(12×5,2)，30，2n，eq\f(3n（n＋1）,2)；(2)由題意得，eq\f(3n（n＋1）,2)＝165，解得n1＝10，n2＝－11(舍去)，即最上面有10個(gè)圓圈．5.解：(1)56，eq\f(n（n＋1）,2)＋1(或eq\f(n2＋n＋2,2))；【解法提示】觀察發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)圖案有1＋1＝2個(gè)小正方形；第2個(gè)圖案有1＋2＋1＝4個(gè)小正方形；第3個(gè)圖案有1＋2＋3＋1＝7個(gè)小正方形；第4個(gè)圖案有1＋2＋3＋4＋1＝11個(gè)小正方形；…∴第10個(gè)圖案有1＋2＋3＋4＋…＋10＋1＝56個(gè)小正方形；第n個(gè)圖案有1＋2＋3＋4＋…＋n＋1＝eq\f(n（n＋1）,2)＋1個(gè)小正方形.(2)存在．理由如下：令eq\f(n（n＋1）,2)＋1＝37，解得n＝－9(舍去)，或n＝8，∴存在有37個(gè)小正方形的圖案，是第8個(gè)圖案．6.解：(1)1＋2＋3＋4＝eq\f(（1＋4）×4,2)＝10；(2)10＋15＝52；(3)由(1)(2)可知，eq\f(n（n－1）,2)＋eq\f(n（n＋1）,2)＝n2.【解法提示】可以將(2)中點(diǎn)陣圖分為兩部分，一部分與(1)的點(diǎn)陣圖完全相同，剩余部分與(1)中前一部分的點(diǎn)陣圖完全相同，因此可以得出(2)中第n個(gè)點(diǎn)陣圖等于(1)中第n個(gè)點(diǎn)陣圖和n－1個(gè)點(diǎn)陣圖之和，∴n2＝eq\f(n（n－1）,2)＋eq\f(n（n＋1）,2).7.解：(1)填寫下表：正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)1234…n分割成的三角形的個(gè)數(shù)46810…2n＋2【解法提示】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部