高一數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)必修第二章平面向量單元總結(jié)復(fù)習(xí)測(cè)試題及含解析

高中高一數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)必修第二章平面向量單元總結(jié)復(fù)習(xí)測(cè)試卷試題及含答案剖析高中高一數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)必修第二章平面向量單元總結(jié)復(fù)習(xí)測(cè)試卷試題及含答案剖析14/14高中高一數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)必修第二章平面向量單元總結(jié)復(fù)習(xí)測(cè)試卷試題及含答案剖析第二章測(cè)試(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要求的)1．有以下四個(gè)表達(dá)式：|a＋b|＝|a|＋|b|；|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2>|a|2；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．2C．3D．4剖析關(guān)于①僅當(dāng)a與b同向時(shí)成立．關(guān)于②左邊|a－b|≥0，而右邊可能≤0，∴不成立．關(guān)于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．關(guān)于④當(dāng)a⊥b時(shí)不成立，綜上知，四個(gè)式子都是錯(cuò)誤的．答案A2．以下命題中，正確的選項(xiàng)是()．a(chǎn)＝(－2,5)與b＝(4，－10)方向相同B．a(chǎn)＝(4,10)與b＝(－2，－5)方向相反C．a(chǎn)＝(－3,1)與b＝(－2，－5)方向相反D．a(chǎn)＝(2,4)與b＝(－3,1)的夾角為銳角剖析在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a與b方向相反．答案B3．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．4剖析∵|a＋3b|2＝(＋3)2＝2＋92＋6·＝1＋9＋6||||cos60°abababab13，∴|a＋3b|＝13.答案C4．已知向量a＝8＋1x，x，＝＋，其中x>0，若∥，2b(x1,2)ab則x的值為()A．8B．4C．2D．0剖析∵a∥b，∴(8＋12x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.答案B5．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿→→→→→等于足AP＝2PM，則AP·＋PC()(PB)44A.9B.344C．－3D．－9→→→→剖析M為BC的中點(diǎn)，得PB＋＝2PM＝，PCAP→→→→∴AP·(PB＋PC)＝AP2.→→→2→2又∵AP＝2PM，∴|AP|＝3|AM|＝3.→→4∴AP2＝|AP|2＝9.答案A6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6B．5C．4D．3剖析8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝(6,3)(3·，x)＝18＋3x.(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.答案C7．向量a＝(－1,1)，且a與a＋2b方向相同，則a·b的取值范圍是(

)A．(－1,1)C．(1，＋∞)

B．(－1，＋∞)D．(－∞，1)剖析

依題意可設(shè)

a＋2b＝λa(λ>0)，1則b＝2(λ－1)a，11∴a·b＝2(λ－1)a2＝2(λ－1)×2＝λ－1>－1.答案

B8．設(shè)單位向量e1，e2的夾角為60°，則向量3e1＋4e2與向量e1的夾角的余弦值為()35A.4B.3725537C.37D.37剖析∵(3e＋4)·＝32＋4·＝3×12＋4×1×1×cos60°＝1e2e1e1e1e25，|3e1＋4e2|2＝9e21＋16e22＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e1＋4e2|＝37.設(shè)3e1＋4e2與e1的夾角為θ，則55cosθ＝37×1＝37.答案D9．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E為線段OD→→→的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若AC＝a，BD＝b，則AF＝()11A.4a＋2b

21B.3a＋3b11C.2a＋4b

12D.3a＋3b剖析

以下列圖，

→→→AF＝AD＋DF，由題意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.→1→∴DF＝3AB.→1111121∴AF＝2a＋2b＋3(2a－2b)＝3a＋3b.答案B10．已知點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,1)，B點(diǎn)坐13，則C點(diǎn)坐標(biāo)為()標(biāo)為2，2A．(1，－3)B.－5，544C．(4,2)D．(－2,4)→→剖析設(shè)C(x，y)，則由AB＝BC，得13132－－3，2－1＝x－2，y－2，17∴x－2＝2，x＝4，∴．?31y＝2，C(4,2)y－2＝2，答案C．已知＝≠，且關(guān)于x的方程2＋|a|x＋a·b＝0有實(shí)根，11|a|2|b|0x則a與b夾角的取值范圍是()ππA.0，6B.3，πC.π2πD.π，36，π3剖析設(shè)a與b的夾角為θ，∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，|a|2a·b|a|21∴a·b≤4，∴cosθ＝|a||b|≤4|a||b|＝2.π∵θ∈[0，π]，∴θ∈3，π.答案B→→→→12．在△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若是PA＋PB＋PC＝AB，則△PAB與△ABC的面積之比是()11A.3B.223C.3D.4剖析→→→→→→→→→由于PA＋＋＝＝－，所以＋＝，PBPCABPBPA2PAPC0PC→→＝－2PA＝2AP，所以點(diǎn)P是線段AC的三均分點(diǎn)(以下列圖)．所以△1PAB與△ABC的面積之比是3.答案A二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．將答案填在題中橫線上)13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a與b共線，θ∈[0,2π)，則θ＝________.剖析由a∥b，得

2

3cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，3

π

7π∴tanθ＝3，又θ∈[0,2π)，∴θ＝6或6.7答案6或6π14．假設(shè)|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，則a＝________.剖析設(shè)a＝(x，y)，則有x2＋y2＝20.①a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32，y＝－2，∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)．答案(32，2)或(－32，－2)→→15．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若AB·AC→→BA·BC＝2，那么c＝__________.剖析由題知→→→→AB·AC＋BA·BC＝2，→→→→→→→→→AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2?c＝|AB|＝2.答案216．關(guān)于平面向量a，b，c，有以下三個(gè)命題：①若a·b＝a·c，則b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角60°.其中真命題的序號(hào)為________．(寫出所有真命題的序號(hào))剖析當(dāng)a＝0時(shí)，①不成立；關(guān)于②，若a∥b，則－2k＝6，∴k＝－3，②成立；關(guān)于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，則以|a|，|b|為鄰邊的平行四邊→形為菱形，如圖．∠BAD＝60°，AC＝a＋b，由菱形的性質(zhì)可知，a與a＋b的夾角為∠BAC＝30°.答案②三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，c與d垂直？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，c與d共線？(1)令c·d＝0，則(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，29解得m＝14.29故當(dāng)m＝14時(shí)，c⊥d.(2)令c＝λd，則3a＋5b＝λ(ma－3b)(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，∵a，b不共線，53－λm＝0，λ＝－3，∴解得5＋3λ＝0，9m＝－5.9故當(dāng)m＝－5時(shí)，c與d共線．18．(12分)以下列圖，在△ABC中，∠C為直角，CA＝CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE.證明

設(shè)此等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為

a，則→→→→→→AD·CE＝(AC＋CD)·(CA＋AE)→→→→→→→→AC·CA＋CD·CA＋AC·AE＋CD·AE＝－a2222a222＋0＋a·3a·＋·a·2232＝－a2＋23a2＋13a2＝0，→→∴AD⊥CE，∴AD⊥CE.19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，→AD為BC邊上的高，求|AD|與點(diǎn)D的坐標(biāo)．→解設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則AD＝(x－2，y＋1)，→→BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)，→→∵D在直線BC上，即BD與BC共線，→→∴存在實(shí)數(shù)λ，使BD＝λBC，(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．x－3＝－6λ，∴∴x－3＝2(y－2)，y－2＝－3λ，x－2y＋1＝0.①→又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0，(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②x＝1，由①②可得y＝1.→∴|AD|＝1－22＋22＝5，→即|AD|＝5，D(1,1)．．分在直角坐標(biāo)系中，已知→→→＝(4，－4)，OB＝(5,1)，OB20(12)OA→→→OA方向上的射影數(shù)量為|OM|，求MB的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x，y)．→→

→∵OB在OA方向上的射影數(shù)量為

|OM|

，→→→→∴OM⊥MB，∴OM·MB＝0.→→OM＝(x，y)，MB＝(5－x,1－y)，∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.→→又點(diǎn)O，M，A三點(diǎn)共線，∴OM∥OA.xy∴＝.4－4x5－x＋y1－y＝0，x＝2，∴xy解得4＝，y＝－2.－4→→→∴MB＝OB－OM＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一點(diǎn)P→關(guān)于斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)是這樣定義的；若OP＝xe1＋ye2(其中e1，e2分別為與x軸，y軸同方向的單位向量)，則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x，y)．(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2，－2)，求點(diǎn)P到O的距離|OP|；(2)求以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程．→→(1)由于點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2，－2)，故OP＝2e1－2e2，|OP|2(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，→∴|OP|＝2，即|OP|＝2.→(2)設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則OM＝xe1＋ye2，→|OM|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.故所求方程為x2＋y2＋xy－1＝0.．分如圖，在四邊形中，→→λ∈，→22(12ABCD＝λADR)＝)BC(|AB|→，→→，且△是以為斜邊的直角三角形．＝－CD＝3BCDBC|AD|2|CB|2(1)求λ的值；→→(2)求CB·BA的值．→→(1)由于BC＝λAD，所以BC∥AD，→→|BC|＝λ|AD|.→→由于|AB