工程力學(xué)(上)電子教案第八章

第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)第二節(jié)點(diǎn)的速度合成定理教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、深刻理解三種運(yùn)動(dòng)、三種速度和三種加速度的定義，運(yùn)動(dòng)的合成與分解以及運(yùn)動(dòng)相對(duì)性的概念。2、對(duì)具體問題能恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡、速度分析。。3、會(huì)推導(dǎo)速度合成定理，并能熟練地應(yīng)用該定理。教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)難點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的選擇和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的分析。教學(xué)方法：板書+PowerPoint教學(xué)步驟：一*、概念前面研究了動(dòng)點(diǎn)對(duì)于一個(gè)參考坐.標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。而在不同的參考坐標(biāo)系中對(duì)同一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的描- U述得到的結(jié)果是不一樣的，例如：為了研宄方便，把所研宄的點(diǎn)稱為動(dòng)點(diǎn)，把其屮一個(gè)坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系（一般固連于地球上）；而把另一個(gè)相對(duì)于靜坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系稱為動(dòng)坐稱系。為了區(qū)分動(dòng)點(diǎn)對(duì)于不同坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)，規(guī)定：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜坐粘系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)絕標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)都是指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而牽連運(yùn)動(dòng)是指參考體的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上是剛體的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的軌跡、速度和加速度稱為絕對(duì)軌跡、絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。動(dòng)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的軌跡、速度和加速度稱為相對(duì)軌跡、相對(duì)速度和相對(duì)加速度。在某一瞬吋，動(dòng)華標(biāo)系上和動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)(瞬吋牽連點(diǎn))相對(duì)靜坐標(biāo)系的速度和加速度稱為該瞬時(shí)的牽連速度和牽連加速度。I和久分別表示絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。用圮和屯分別表示牽連速度和牽連加速度。1003轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤半徑為/，繞V軸以角速度U'緣沁和點(diǎn)的牽連速度和加速度。解：靜系取在地面上，動(dòng)系取在桿上，則ei=(/-r)a)a eiV/2+r269ve2= ae2=yjl2

+r2a)2二、點(diǎn)的速度合成定理T面研允點(diǎn)的絕對(duì)速度、牽連速度和相對(duì)速度的關(guān)系。如圖，由圖中矢量關(guān)系可得：將上式兩端同除At，并令A(yù)t->0,取極限，得rMM, MMAzJiffCAz巾速度的定義:rM'M'

limAHO

MM,_△ r—Vr例1、在凸輪頂桿機(jī)構(gòu)中已知凸輪以速度P直線平動(dòng)，已知半徑為/?,求圖示p角時(shí)頂桿度。AB的速度。解：1選動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系：動(dòng)點(diǎn)A，動(dòng)系凸輪。三種運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：直線平動(dòng)速度分析:va=ve+vre求解：V⑽ =vct（ p=vctgcpe思考：如選AB桿為動(dòng)系，凸輪上的點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，怎樣分析？A2如圖車A150m的圓弧道路以勻速v=45Z:m//2B沿直線道路以勻A60Am/A30m,求：（1）AB車的速度；（2）B車相對(duì)A車的速度解：（1）以車A為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在車B上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖2^= 45 0.6vrl75%=36.9C(2)以車B為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在車A上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。=45x10’60=

Q.QS3rad/3600x150 sr2ve=180x0.083=15m/s=54km/v X=S0.12km/hr2sina2

vr2

80.72

=0.669例3曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，設(shè)04二/，以勻角速度吟轉(zhuǎn)動(dòng)圖中0,0=/。求04丄0,0時(shí)，搖桿0,5的角速度解：1選動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系：動(dòng)點(diǎn)0，動(dòng)系6^5。三種運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)直線相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線牽連運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)速度分析:=ve+vr：vesin0}B：思考：如選0A桿為動(dòng)系，0,31的點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，怎樣分析？例4圖示平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)，頂桿可沿導(dǎo)軌上下平動(dòng)，偏心凸輪以等角速度軸轉(zhuǎn)動(dòng)，~軸位于頂桿的軸線上，工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半為尼偏心距OC=e, 與水平線的夾角為6Z,試求當(dāng)6^=45°吋，頂桿的速度。解：以凸輪圓心C為動(dòng)點(diǎn)，靜系収在地面上，動(dòng)系収在頂桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖由圖可得：ve=vacosa=e69cos45 eco課堂小結(jié)：由上述例題，可將應(yīng)用速度合成定理求解問題的大致步驟總結(jié)如下：1、選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系。動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的正確選擇是求解點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵。在選収時(shí)必須注意：動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系必須分屬三個(gè)不同的物體，否則三種運(yùn)動(dòng)中就缺了一種運(yùn)動(dòng)，而不成其為復(fù)合運(yùn)動(dòng)。此外動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系的選擇，應(yīng)使相對(duì)運(yùn)動(dòng)比較簡(jiǎn)單明顯。2以便于畫出速度平行四邊形。3中至少已知四個(gè)才可解。必須注意，作圖時(shí)要使絕對(duì)速度成為平行四邊形的對(duì)角線。4、 根據(jù)速度平行叫邊形的幾何關(guān)系求解未知量。作業(yè)布置：1、課本思考題8-22、課本習(xí)題8-3、8-4、8-5、8-6、8-7、8-8、8-9、8-10。教學(xué)后記:第三節(jié)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)R標(biāo)：1、對(duì)具體問題能恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系，進(jìn)行加速度分析。2、會(huì)推導(dǎo)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理，并能熟練地應(yīng)用該定理。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：牽連點(diǎn)、牽連速度、牽連加速度的概念教學(xué)方法：板書+PowerPoint教學(xué)步驟：一、關(guān)于速度合成定理上一節(jié)課剩余的例題c\5兩直桿分別以巧、的速度沿垂直于桿的方向平動(dòng)，其交角為a,M速度。c\解：以小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地而上，動(dòng)系取在AB桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢fi圖如圖。于是有：va=vd+v于是有：va=vd+vrl(1)于是有：v,=ve2+vH(2)Be} rI -v cosa+v sina=Be} rI 比較(1)、(2)式，可得:ve,+vrl=ve2+vr2建立如圖的投影軸，將上式投影到投影軸上，得:V1Ac即： vrl=---------------(velCOS6K-V^)= (V,COS6Z-V2)sin^z sin^z2=^a=^+ ^(v,COS￡Z-V)22于是可得： ~Sln=-- --JV2+Vo-2v,voCOS6T二、牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理。牽連加速度：牽連點(diǎn)相對(duì)靜系的加速度5,.如圖，沒為平動(dòng)參考系，動(dòng)點(diǎn)J/相對(duì)于動(dòng)系的相對(duì)坐粘為x，>，’，z’，則動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和加速度為相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程F 二x了+zr?I ?—?ei?vr=xi+yj+zkI ?—???—*t??ar=xi+yj+zk將前式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，并和上式比較，有：一*“/了/ “廠r=xi+yjZK -ar

fZ—?由點(diǎn)的速度合成定理有：vw=v,+vr兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：之 ?e o 由于ci=vave o r于是可得：aa=ae4-ar即：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。這就是牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理。上式力牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式力：aTa^a^=aTe+ane+aTr+anr具體應(yīng)用時(shí)，只有分析清楚三種運(yùn)動(dòng)，才能確定加速度合成定理的形式。例1圖示曲柄滑桿機(jī)構(gòu)，曲柄忪似-r,當(dāng)曲柄與鉛帝線成0時(shí)，曲柄的角速度為仍，角()//////nrrnrrrm

//////r解：以滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地血上，動(dòng)系取在BC桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸,由瓦=1+圮，將各矢量投影到投影軸上，得vacos<9=QBP ve=cos3=Q

cos3該速度即為沉'的速度aX建立如圖的投影坐標(biāo)軸巾元+氏，將各矢量投影到 faX-aracos6-a"sind=ae于是nJ得：ae=-(￡0co6+sin0)該加速度即為及;的加速度。2r0轉(zhuǎn)動(dòng)。3(T,A與凸輪相接觸，點(diǎn)々與ft輪的的速度為P， 加速度為。求在圖示瞬時(shí)J點(diǎn)的速度和加速度。并求似桿的角速度和角速度。///////V/////

…/z解：以桿端/I為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在凸輪上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸A07,由圮=圮+圮，將各矢量投影到投影軸上，得cosv 3=v-vcos3cosa c ra v sin0-vsina 解得：Va=Vr= 2^3~2(r~43~^崎的角速度為 =///////V//////動(dòng)點(diǎn)的加速度合成矢量圖如圖///////V//////nn 9 y n vr vn其中建立如圖的投影軸，由圮+%=氏+<+將各矢量投影到投影軸上，得aracos30°+anacos60=aecos60-af'.i 2所以<=^^-2<-<)=y-(a-y)故側(cè)桿的角加速度=——=—(a )OA3rr例3鉸接四邊形機(jī)構(gòu)中，0}A=02B=\Ocm,O,O2=AB, 以勻角速度仍二之/^^6；C60°時(shí)，CD桿的速度和加速度。解：以滑套C為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如閣。由于ve=vA=0}Aco=10x2=2C77?/5所以=vecos(p=20cos60°=10cm/s10x22cos30°=34.6cm/?課堂小結(jié)：上節(jié)得到的速度合成定理，對(duì)于任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)都是適用的。但是在加速度的合成W題中，對(duì)于不同形式的牽連運(yùn)動(dòng)，將有不同的結(jié)果。本節(jié)就牽連運(yùn)動(dòng)力平動(dòng)的情況進(jìn)行討論。所以大家在進(jìn)行加速度合成時(shí)，一定要首先判斷牽連運(yùn)動(dòng)的形式。作業(yè)布置：1、課本思考題8-32、課本習(xí)題8-16、8-17、8-18、8-21、8-23。教學(xué)后記：動(dòng)點(diǎn)的加速度合成矢量閣如閹所示。由于a=a=r)2所以woS30Wcos3(r第四節(jié)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、對(duì)具體問題能恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系，進(jìn)行加速度分析。并能正確計(jì)算科K加速度的大小并確定它的方向。2、弄懂牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理。并能熟練地應(yīng)用該定理。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：牽連點(diǎn)、牽連速度、牽連加速度及科氏加速度的概念教學(xué)方法：板書+PowerPoint教學(xué)步驟：1、牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理為方便，可將動(dòng)系oryz的坐標(biāo)原點(diǎn)選在轉(zhuǎn)軸上，即在圖巾設(shè)點(diǎn)不動(dòng)，此時(shí)牽連速度、e牽連加速度可表示為：ve=dxrea=axr+a)=ve^vr=a)

xr+xi+yj+zk在靜系中，c將式(b)對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，有—T一_ dr?T

*

7**

1? ?1? 11didididia二at、xr+69x-------+xiyj+zk+x——+y^-+z——、 e edt dtdtdtr=F-r.,oF.r=F-r.,oF.dto一 — 一*

xl—=x/'

—=a)xkdt e dt dt e式(c)的后三項(xiàng)可表示為黽xU7+yJ+zY)=承,xPre將式(d)(e)代入式(c)=axre：e其中氏xF’+屯+?=aee令么=2叫><1稱為哥氏加速度所以牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理為a=a+a+aa e r k2、么的計(jì)算及產(chǎn)生的原因分析：參看圖=2叫,xPrsin沒當(dāng)屯丄么時(shí)有^=^2%vr時(shí)。產(chǎn)生的原因分析：M0A的速度v,勻速運(yùn)動(dòng)，而桿又以勿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。在靜系中觀察，I的方向發(fā)生了改變，其中變化率lim-^1

=lim

V/△汐=v/y方向垂直與0A桿，AZ->OAzA/->0Az產(chǎn)生原因：由于牽連運(yùn)動(dòng)改變了的方向所致。當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置的時(shí)候時(shí)，牽連速度的大小發(fā)生了變化，其變化率為tllT-.-- =lim------=vcotA/^0 A/->0方向垂直于0A桿產(chǎn)生原因：由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)改變了牽連點(diǎn)，改變了牽連點(diǎn)，牽連速度的大小而所致?？傊怯捎跔窟B運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相互影響而造成的。例如：在北半球，沿經(jīng)線流動(dòng)的江河，若順著河水流動(dòng)的方向看，河的左半岸被沖刷得較為厲害。這時(shí)因?yàn)椋哼x河水為動(dòng)點(diǎn)，地球?yàn)閯?dòng)系，地心系（地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)軸指叫三顆恒星）為靜系。若設(shè)河水叫北流，如團(tuán)。則河水的哥氏加速度么指叫左側(cè)（如圖），有動(dòng)力學(xué)知，河的右岸對(duì)水作用了向左的力。根據(jù)作用于反作用定律，河水對(duì)右岸必作用反力，因而右岸被左岸沖刷厲害。在北緯沒角位置。河水的哥氏加速度為人二2仙;.sin沒{co赤道上^=90°24x3600Am,n北極（南極akmax=2o） r例1直角折桿^^繞0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)套在其上的小環(huán)#沿固定直桿似滑動(dòng)，如圖。己知:z7y5=10cm,折桿的角速度69=0.5raz//*?。求當(dāng)識(shí)=60°時(shí)，小環(huán).!/的速度和加速度。B解：以小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在折桿上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由圮=1+1將各矢量投影到投影軸上，得B二vrcos30 0=-ve+vrsin30因?yàn)?OM-） =e解之得vr20

co-—x0.5=10cm!scos60° 0.5va=10V3cm/s動(dòng)點(diǎn)的加速度合成矢y:閣如閣。其中 ae=ane=OM-692=5cm/sak=2covrsin90=2x0.5x20=20cm/s建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由屺=^+a,.+么將各矢量投影到投影軸上，得aacos60=-aesin30+ak所以a=-a4-=_5

=35cm!s2aecos60°故小環(huán)#的速度加速度為

0.5 'VM=va=IOA/3cm!saM=aa=35cm/s2例2偏心凸輪以勻角速度繞0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使頂桿沿鉛直槽運(yùn)動(dòng)，軸0在滑槽的軸線上，偏心距凸輪半徑r=^， 試求ZOC4=9(f的圖示位置時(shí)，頂桿J7的速度和加速度解：由幾何關(guān)系可得a=(p=30°解一：以桿端J為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系収在輪上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。建如圖的投影坐標(biāo)軸由 1=么+圮將各矢量投影到投影軸上，得因?yàn)関e=OAa)=2eo),于是可解得A2^3 4/3Av3n ------ecovr= ecov3a ? 3動(dòng)點(diǎn)的加速度合成矢量圖如圖。ak=2a,r=^建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由=^+5j+5;/+ 么將各矢量投影到投影軸上，得（l e r a cos30=-acos30-a（l e r 故頂桿的加速度為 ％=人一（＜一人）/cos30°=-2e） 2/9可見，氏的實(shí)際方向鉛直向下。解二：以桿端J為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取過凸輪中心的平動(dòng)坐標(biāo)系（如圖）。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。動(dòng)點(diǎn)的加速度合成矢量圖如圖。f為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在頂桿上（如圖）量圖和加速度合成矢量圖如圖。0A3/I帶動(dòng)連桿運(yùn)0A

絡(luò)廠軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圖示瞬時(shí)，

O， ZAEO=30°丄0丄求此時(shí)套筒⑺的角加速度。解：以鉸J為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取⑶上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。由圖可得r z v=v.cos30=由圖可得r

73=——Rcora2=v,=