立體幾何基本方法總結(jié)

立體幾何基本方法總結(jié)

、平行冋題

判定定理

證明方法

兒何法

向量法

線線

平行

中位線性

質(zhì)

平行四邊

形性質(zhì)平行線傳遞性線面平行性質(zhì)

面面平行性質(zhì)

中位線法平行四邊形法平行線傳遞性法

線面平行性質(zhì)法面面平行性質(zhì)法

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求兩直線方向向量

3、 證明兩向量平行

4、 說明兩直線不同

5、 得結(jié)論

線面

平行

圖形語言

1、 證明平面外的直線與平面內(nèi)的條直線平行（線線平行）

2、 列出一線在平面內(nèi)和一線在平面外

（必須列）兩個條件

3、 得結(jié)論（線面平行）

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求直線方向向量坐標(biāo)

和平面法向量坐標(biāo)

3、 證明兩向量垂直

4、 說明直線不在平面內(nèi)

5、 得結(jié)論

符號語言

面面

平行

圖形語言

1、證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另 一個平面平行（兩個線面平行）

2、 列兩直線相交條件

3、 得結(jié)論（面面平行）

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求兩平面的法向量

3、 證明兩法向量平行

4、 說明兩平面不同

5、 得結(jié)論

符號語言

三個平行互相轉(zhuǎn)化圖

線面平行性質(zhì)

面面平行性質(zhì)

圖形語言

符號語言

注總:

、垂直問題

判定定理

證明方法

幾何法

向量法

線面

垂直

圖形語言

1、 證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直（兩個線線垂直）

2、 列線線相父條件

3、 得結(jié)論（線面垂直）

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求已知直線方向向量和平面內(nèi)兩條相父直線的方向向量

3、 證明已知直線的方向向量和平面內(nèi)兩相交直線的方向向量都垂直

（數(shù)量積為零）

4、 列線線相交條件

5、 得結(jié)論

符號語言

面面

垂直

圖形語言

1、 證明其中一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面

（線面垂直）

2、 列出直線含于平面的條件

3、 得結(jié)論（面面垂直）

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求兩平面的法向量

3、 證明兩法向量垂直

4、 得結(jié)論

符號語言

線線

垂直

1、 勾股定

理

2、 線面垂

用三垂線證明線線垂直的書寫

要點(diǎn)：

1、證明線面垂直

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求兩直線方向向量

3、 證明兩方向向量垂直

直定義

3、三垂線

定理及逆定

理（

2、 指出斜線面內(nèi)射影

3、 證明平面內(nèi)的直線和斜線垂直或和射影垂直

4、 說明直線在平面內(nèi)

5、 得結(jié)論

4、得結(jié)論

三個垂直互相轉(zhuǎn)化及平行垂直轉(zhuǎn)化

線面垂直性質(zhì)

面面垂直性質(zhì)

圖形語言

符號語言

注意:

三、空間角

求法

兒何法及其

他方法

向量法

1、取點(diǎn)找平

1、建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

行

2、求兩直線方向向量

2、證平行定

3、代入公式求角

異面直線所成角

角

4、得結(jié)論

范圍：

3、三角形求

公式：

角

cos〃=|cos<a,b>|=幻

4、取舍得結(jié)

其中:

論

2

、

b

分別是兩直線的方向向量。

斜線與平面所成角：

斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的銳角范圍：

1、 看清線與

面，

2、 取點(diǎn)找射

影；

3、 證線面垂

直，

4、 定角再求

角

1、 建系寫點(diǎn)和相關(guān)向量坐標(biāo)

2、求直線方向向量和平面法向 量

3、 代入公式求角

4、 得結(jié)論

公式：

—e■■e

sin〃=|cosva.n>|=丄3上」?? |a|.|川其中：

為直線方向向量，

n

為平面法向量

二面角

二面角平面角的作法：

直接法：（略）

"厶

三垂線法：如商，作PH丄B,PE丄1連EH,山三垂線定理逆定理知EH丄1,故ZPEH為二面角的平面角；或作PH丄B過H作HE丄1,連PE,山三垂線定理知，PE丄1,故ZPEH為二面角的平面角。

垂面法：若平面丫垂直于二面角 a-1-

P的棱1,（或丫與a、B都垂直）且與

ci、B分別交于0A、0B則ZAOB即為

二面角a-1-P的平面角。

幾何法：

1、 認(rèn)準(zhǔn)兩面禾口一棱，

2、 取點(diǎn)找棱兩垂線，

3、 注意分別

在兩面；

4、 證兩個線

線垂直，

5、 即可定出

平面角，

6、 之后求角得結(jié)論。

1、 建系寫點(diǎn)和相關(guān)向量坐標(biāo)

2、 求兩平面的法向量

3、 代入公式求角

4、根據(jù)圖形判斷是銳二面角還 是鈍二面角，從而取值。

公式：

|cos01=]cos<ayn>|= ?

|a|?M|

其中：

為直線方向向量，

n

為平面法向量

范圍：

法：coso=s

射

S

S射表示一個面內(nèi)某多邊形在另一個面內(nèi)的射影多邊形面

積；

S表示原多邊形的面積

四、空間距離

求法

兒何法及其他方法

向量法

兩點(diǎn)間距離

通常在二角形中求相應(yīng)線段長，

常用余弦定理和勾股定理

|AB|=|

AB

&

點(diǎn)面距（過點(diǎn)作平面的垂線，

點(diǎn)與垂足連線的線段長度即為點(diǎn)面距離）

找點(diǎn)在面內(nèi)的射影的方法：

1、利用兩個結(jié)論找射影

（1）P是平面外一點(diǎn)，A、B是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，若PA二PB,則，p在平面內(nèi)的射影在線段AB的

t■ ■■，r、.

一、 兒何法：

1、 觀察點(diǎn)在面內(nèi)的射影，作出相關(guān)垂線

2、 證明線面垂直，從而確定距離

3、 在二角形中求出距離

二、 等體積法：

求P到平面ABC的距離d

VP-ABC=VA-PBC

二VB-APC=VC-APB

1、 建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

2、 求平面內(nèi)任一

點(diǎn)與已知點(diǎn)連線的方向和平面法向量

3、 代入公式求點(diǎn)面距

公式：

垂:直平分線上。

（2）ZAOB在平面a內(nèi)，直線

OP在平面a夕卜，若ZP0A二ZPOB,則，P在平面a內(nèi)的射影一定在角AOB的角平分線上。

2、利用面面垂直找射影：

從而有：

SAABC?d二SZXPBC?hA=..…

（SAABC、SAPBC、hA易求）

—1訶

1?1

其中：

—A

已知點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)連線的方向向

量,

n

為平面法向量。

線面距（直線與平面平行）

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距

面面距（兩平面平行）

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距

點(diǎn)線距（過點(diǎn)作與直線垂直相交的直線，點(diǎn)與垂足連線的線段長度）

轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距

離

線線

距

平行線間距離

轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離

轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距

離