(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

高中數(shù)學(xué)擺列組合問題常用的解題方法省濱?？h五汛中學(xué)王玉娟擺列組合是高中數(shù)學(xué)的要點(diǎn)和難點(diǎn)之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。擺列組合問題往常聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)風(fēng)趣，而且能夠鍛煉同學(xué)們的邏輯推理能力和思想的周密性，但題型多樣，思路靈巧，不易掌握。實(shí)踐證明，備考有效方法是題型與解法歸類、辨別模式、嫻熟運(yùn)用，現(xiàn)將高中階段常用的擺列問題和組合問題的解題方法概括以下：一、相鄰問題捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組（看作一個(gè)元素）參加擺列.例1五人并排站成一排，假如甲、乙一定相鄰且乙在甲的右側(cè)，那么不一樣的排法種數(shù)有種。剖析：把甲、乙視為一人，而且乙固定在甲的右側(cè)，貝吐匕題相當(dāng)于4人的全擺列，A424種。二、相離問題插空法元素相離（即不相鄰）問題，可先把無地點(diǎn)要求的幾個(gè)元素全擺列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩頭.例2七個(gè)人并排站成一行，假如甲乙兩個(gè)一定不相鄰，那么不一樣排法的種數(shù)是。剖析：除甲乙外，其余5個(gè)擺列數(shù)為A種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A種,不一樣的排法種數(shù)是A5A63600種三、定序問題縮倍法在擺列問題中限制某幾個(gè)元素一定保持必定次序，可用減小倍數(shù)的方法.例3A、BC、DE五個(gè)人并排站成一排，假如B一定站A的右側(cè)（A、B可不相鄰），那么不一樣的排法種數(shù)有。剖析：B在A的右側(cè)與B在A的左側(cè)排法數(shù)同樣，所以題設(shè)的排法不過5個(gè)元素全擺列數(shù)的一半，即-Af60種。2四、標(biāo)號(hào)排位問題分步法把元素排到指定的地點(diǎn)上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，這樣持續(xù)下去，挨次即可達(dá)成.例4將數(shù)字-2、3、4填入標(biāo)號(hào)為-2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不同樣的填法有。剖析：先把1填入方格中，切合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其余三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3X3X1=9種填法。五、有序分派問題逐分法有序分派問題是指把元素按要求分紅若干組，可用逐漸下量分組法。例5有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人擔(dān)當(dāng)，乙丙各需1人擔(dān)當(dāng)，從10人中選出4人擔(dān)當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù)，不一樣的選法總數(shù)有。剖析：先從10人中選出2人擔(dān)當(dāng)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承當(dāng)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從此外的7人中選1人擔(dān)當(dāng)丙項(xiàng)任務(wù)，不一樣的選法共有1/5G20C8C；2520種。六、多元問題分類法元素多，拿出的狀況也有多種，可按結(jié)果要求，分紅不相容的幾類狀況分別計(jì)算，最后總計(jì)。例6由數(shù)字0，1，2，3，4，5構(gòu)成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，此中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有個(gè)。剖析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0,1,2,3,4共5種狀況，分別有A個(gè)，A；A3A3,A3A1A3,A2A3A3,A；A3個(gè)，歸并總計(jì)300個(gè)。例7從1,2,3,100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)次序)共有多少種？剖析：被取的兩個(gè)數(shù)中起碼有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)構(gòu)成的會(huì)合視為全集I,能被7整除的數(shù)的會(huì)合記做A7,14,21,98共有14個(gè)元素，不可以被7整除的數(shù)構(gòu)成的會(huì)合記做A1,2,3,4，,100共有86個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有C：，從A中任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C114C86，兩種情況共切合要求的取法有G24C；4C；61295種。例8從1,2,100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)次序)有多少種？剖析：將I1,2,3,100分紅四個(gè)不訂交的子集，能被4整除的數(shù)集A4,8,12，100;能被4除余1的數(shù)集B1,5,9，97，能被4除余2的數(shù)集C2,6，,98，能被4除余3的數(shù)集D3,7,11，99，易見這四個(gè)會(huì)合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)切合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也切合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也切合要求；別的其余取法都不切合要求；所以切合要求的取法共有c25C25C；5C；5種。七、交錯(cuò)問題會(huì)合法某些擺列組合問題幾部分之間有交集，可用會(huì)合中求元素個(gè)數(shù)公式n(AB)n(A)n(B)n(AB)。例9從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4X100m接力賽，假如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒，共有多少種不一樣參賽方法？剖析：設(shè)全集1=｛6人中任取4人參賽的擺列｝,A=｛甲第一棒的擺列｝,B=｛乙跑第四棒的擺列｝,依據(jù)求會(huì)合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I)-n(A)-n(B)+n(AnB)=P；P；pP：二252(種).2/5八、定位問題優(yōu)先法某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定地點(diǎn)，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其余例101名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像紀(jì)念，若老師不在兩頭，則有不一樣的排法有_________中。剖析：老師在中間三個(gè)地點(diǎn)上選一個(gè)有A1種,4名同學(xué)在其余4個(gè)地點(diǎn)上有A4種方法；所以共有A1A472種。九、多排問題單排法把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段辦理。例116個(gè)不一樣的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不一樣的排法種數(shù)是。剖析：前后兩排可當(dāng)作一排的兩段，所以本題可當(dāng)作6個(gè)不一樣的元素排成一排，共A6720種。例128個(gè)不一樣的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，此中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？剖析：當(dāng)作一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)地點(diǎn)中選排2個(gè)，有A2種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)地點(diǎn)中選一個(gè)有A；種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)地點(diǎn)上有A種，故共有A4A2A55760種排法。十、“起碼”問題間接法對(duì)于“起碼”種類組合問題，用間接法較方便。例13從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任拿出3臺(tái)，此中起碼要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不一樣取法共有種。剖析1:逆向思慮，起碼各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不一樣的取法共有C3C43C70種。剖析2：起碼要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種狀況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái);甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不一樣的取法有C；C：C5C：70種。十一、選排問題先取后排法從幾類元素中拿出切合題意的幾個(gè)元素，再安排到必定地點(diǎn)上，可用先取后排法。例14四個(gè)不一樣的球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_________種剖析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C2種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A種，故共有C4A3144種。3/5例159名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，此中男5名，女4名，此刻要進(jìn)行混淆雙打訓(xùn)練，有多少種不一樣分組法？剖析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有c；c：種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A中排法，故共有C；C：A2120種。十二、部分合條件問題清除法在選用總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。例16以一個(gè)正方體極點(diǎn)為極點(diǎn)的四周體共有個(gè)。剖析：正方體8個(gè)極點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C8四周體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)極點(diǎn)共面都不可以構(gòu)成四周體，所以四周體實(shí)質(zhì)共有C841258個(gè)。例17四周體的極點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在此中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不一樣的取法共有種。剖析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有G：種，此中四點(diǎn)共面的有三種狀況：①在四周體的四個(gè)面上，每面四點(diǎn)共面的狀況為G4，四個(gè)面共有4c4個(gè)；②過空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的狀況的種數(shù)是G4。4c6436141種。十三、復(fù)雜擺列組合問題結(jié)構(gòu)模型法例18馬路上有編號(hào)為1,2,39九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉此中的三盞，但不可以關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不可以關(guān)掉兩頭的兩盞，求知足條件的關(guān)燈方案有多少種？剖析：把此問題看作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)縫隙中插入3盞不亮的燈C；種方法。所以知足條件的關(guān)燈方案有10種。說明：一些不易理解的擺列組合題，假如能轉(zhuǎn)變?yōu)槭炝?xí)的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題簡(jiǎn)單解決。十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)變法對(duì)應(yīng)思想是教材中浸透的一種重要的解題方法，它能夠?qū)?fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單問題辦理。例19圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦訂交于圓的交點(diǎn)有多少個(gè)？剖析：由于圓的一個(gè)接四邊形的兩條對(duì)角線訂交于圓一點(diǎn)，一個(gè)圓的接四邊形就