點(diǎn)線(xiàn)面之間的位置關(guān)系

第點(diǎn)線(xiàn)面之間的位置關(guān)系

篇一：空間點(diǎn)線(xiàn)面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)

高中空間點(diǎn)線(xiàn)面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章空間幾何體

（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體——由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體.

旋轉(zhuǎn)體——把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線(xiàn)

稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。

（2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征

1.1棱柱——有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2圓柱——以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2.1棱錐——有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。2.2圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。

3.1棱臺(tái)——用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái).3.2圓臺(tái)——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).

4.1球——以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.（二）空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖

1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖——正視圖；側(cè)視圖；俯視圖；是觀(guān)察者從三個(gè)不同位置觀(guān)察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形；畫(huà)三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3.直觀(guān)圖：直觀(guān)圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。

4.斜二測(cè)法：在坐標(biāo)系xoy中畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，已知圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線(xiàn)段保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半。重點(diǎn)記憶：直觀(guān)圖面積=原圖形面積(三)空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積

①棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

②圓柱的表面積S=2πrl+2πr2③圓錐的表面積Srlr2

④圓臺(tái)的表面積S

rlr2RlR2⑤球的表面積S4R2

⑥扇形的面積公式S扇形nR236012

lr（其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示半徑）2、空間幾何體的體積

①柱體的體積VSh②錐體的體積V1

底3

S底h

③臺(tái)體的體積

V1

S上

S下)h④球體的體積

V43

3

R3

第二章直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

DC

2.1.1

1平面含義：平面是無(wú)限延展的

AB2平面的畫(huà)法及表示

（1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)符號(hào)表示為

A∈L

B∈αA∈α

LB∈α

公理1作用：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

AB符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)=有且只有一個(gè)平面α，·C·

·使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2

作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。符號(hào)表示為：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：

共面直線(xiàn)

相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)

a∥b

c∥b

=a∥c

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：

①a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上；②兩條異面直線(xiàn)所成的角θ∈③當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作2，)；

a⊥b；④兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

（2）直線(xiàn)與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線(xiàn)在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用aα來(lái)表示

2.3直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線(xiàn)與平面垂直的判定1、定義

如果直線(xiàn)L與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線(xiàn)L叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

α

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線(xiàn)與平面平行的判定

1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。2、判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；符號(hào)表示：

aαb)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。bβ∥

α

2.3.2平面與平面垂直的判定a∥

b

1、二面角的概念：表示從空間一直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。A梭β

符號(hào)表示：aβbβ2α-l-β或α-AB-βa∩β

∥α

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。a∥α

b∥α2.3.3—2.3.4直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

2、判斷兩平面平行的方法有三種：1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。（1）用定義；2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。2.2.3—2.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖1

、定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。

簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。

符號(hào)表示：

a∥αaβ∥b

α∩β作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。符號(hào)表示：

α∥βα∩γ∥b

β∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行

一、公式：

1.若直線(xiàn)的傾斜角為(90)，則直線(xiàn)的斜率k=tan。2.過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直線(xiàn)的斜率為：

y2y1

x2x1

3.若不平行于y軸的兩直線(xiàn)l1//l2，則k1k2；若兩直線(xiàn)l1l2，則k1k2；4.直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：yy0k(xx0)5.直線(xiàn)的斜截式方程：ykxb

6.直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程：yy1xx1

yy

21x2x1

7.直線(xiàn)的截距式方程：xay

b

1

8.直線(xiàn)的一般式方程：AxByC0，此時(shí)，斜率為AB，截距為C

B

.9.對(duì)于兩直線(xiàn)l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20（1）若A1B2A2B10，兩直線(xiàn)相交；（2）若A1B2A2B10，兩直線(xiàn)平行或重合；（3）若A1A2B1B20，若兩直線(xiàn)垂直。

10.點(diǎn)(xx2y1y1,y1)和(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)是

（x122

2

)11.若P和

P1(x1,y1)2(x2,y2)，則：PP

1212.點(diǎn)(x)到直線(xiàn)

AxByC00,y0二、基本注意點(diǎn)：

1.過(guò)點(diǎn)(a,b)，且平行于x軸的直線(xiàn)方程是：yb；2.過(guò)點(diǎn)(a,b)，且平行于y軸的直線(xiàn)方程是：xa；三、典型習(xí)題：

解：①截距不為0時(shí)，設(shè)兩軸上的截距都為a,則有直線(xiàn)方程為：xy

aa

1，

將(2,3)帶入上式可得：a5，所以直線(xiàn)方程為：xy

55

1，

即：xy50；

②兩軸上的截距都為0時(shí)，則直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，由兩點(diǎn)式可得：

y0x300

20

，即：3x2y0綜上所述：滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程為：xy50或3x2y0.

（注：做本題時(shí)要分截距為0和截距不為0兩種情況，切不可直接將方程設(shè)為

xay

b

1，因?yàn)橛迷摲匠虝r(shí)，要求截距不為0。）2.已知直線(xiàn)l1:xmy60，l2:(m2)x3y2m0，求滿(mǎn)足下列條件的m值：（1）l1和l2相交；（2）l1l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合；解：（1）l1和l2相交，A1B2A2B10，

即：13(m2)m0解得:m1且m3（2）l1l2，A1A2B1B20，即：1(m2)3m0解得：m1

2

（3）（4）A1B2A2B10,

即：13(m2)m0解得:m1或m3

檢驗(yàn)：m1時(shí)，l1:xy60,l2:3x3y20,此時(shí)，兩直線(xiàn)平行，所以，m3時(shí)，l1:x3y60,l2:x3y60,此時(shí)，兩直線(xiàn)重合綜上所示：m1時(shí)兩直線(xiàn)平行；m3時(shí)兩直線(xiàn)重合.

圓與方程

2、1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.

特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2

y2

r2

.

2、2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

1.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上

d=r；(2)點(diǎn)在圓外

d＞r；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)

d＜r．

2.給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M(fèi)在圓C內(nèi)(x0a)2(y20b)r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r22、3圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

當(dāng)D2

E2

4F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心CD,E

D2E24F

2

2，半徑r

2

.

當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)

D2

,E

2.當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程無(wú)圖形（稱(chēng)虛圓）.

注：（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0且AC0且D2E24AF0.圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

2、4直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：直線(xiàn)AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種

（1）若d

AaBbC，dr相離0；

A2

B

2

（2）dr相切0；（3）dr相交0。還可以利用直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立方程組

AxByC0

x2

y2

DxEyF0

求解，通過(guò)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：

（1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線(xiàn)與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線(xiàn)與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)（直線(xiàn)與圓只有1個(gè)交點(diǎn)），直線(xiàn)與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒(méi)有公共解時(shí)（直線(xiàn)與圓沒(méi)有交點(diǎn)），直線(xiàn)與圓相離；

即：將直線(xiàn)方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線(xiàn)l的距離為d,則直線(xiàn)與圓的相切d=rΔ＝0（2）相交drΔ0；（3）相離drΔ0。2、5兩圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d。

（1）dr1r2外離4條公切線(xiàn)；（2）dr1r2外切3條公切線(xiàn)；（3）r1r2dr1r2相交2條公切線(xiàn)；（4）dr1r2內(nèi)切1條公切線(xiàn)；（5）0dr1r2內(nèi)含無(wú)公切線(xiàn)；

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、6圓的切線(xiàn)方程：圓x2y2r2的斜率為k的切線(xiàn)方程是ykxk2r過(guò)圓x2y2DxEyF0上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為：x0xy0yD

xx02Eyy0

2

F0.一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過(guò)圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為x0xy0yr2.

y若點(diǎn)(x

1y0k(x1x0)

0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則by1k(ax1)，聯(lián)立求出k切線(xiàn)方程.

R

R21

篇二：點(diǎn)線(xiàn)面之間的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中空間點(diǎn)線(xiàn)面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第二章直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無(wú)限延展的2平面的畫(huà)法及表示

（1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成45，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)符號(hào)表示為

A∈L

B∈αA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)=有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3符號(hào)表示為：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

DA

B

C

L·C·

·

AB

2.1.2空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：

共面直線(xiàn)

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)a∥b。

2公理4c∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：

①a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上；②兩條異面直線(xiàn)所成的角θ∈(0，)；

=a∥c

2

③a⊥b；④兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線(xiàn)在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線(xiàn)與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線(xiàn)在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用aα來(lái)表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線(xiàn)與平面平行的判定

1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行。符號(hào)表示：

aα

bβ

αa∥

b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：

aβbβ

a∩b=Pαa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。符號(hào)表示：

a∥α

aβbα∩β=b

作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。

符號(hào)表示：

α∥β

α∩γ=aabβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行2.3直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線(xiàn)與平面垂直的判定

1、定義

如果直線(xiàn)L與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線(xiàn)L叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

Lp

α

2、判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A

梭

B

2α-l-β或α-AB-β

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3—2.3.4直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。\

異面直線(xiàn)所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)所成的銳角（或直角）.一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.

[例1]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)OM().

A.是AC和MN的公垂線(xiàn).B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.與AC、MN都不垂直.

錯(cuò)解:B.

錯(cuò)因：學(xué)生觀(guān)察能力較差，找不出三垂線(xiàn)定理中的射影.正解：A.[例2]如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，分別是BC,CD上的點(diǎn),且GC

BG

G,H交于

DH

HC

2,求證:直線(xiàn)EG,FH,AC相

一點(diǎn).

錯(cuò)解：證明：E、F分別是AB,AD的中點(diǎn),

1

EF∥BD,EF=2BD,

BGGC

又

DHHC

2,GH∥BD,GH=3BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,

HC

2,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).

直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn)

正解：證明：E、F分別是AB,AD的中點(diǎn),

EF∥BD,EF=2BD,

又GC

BG

DHHC

2,

GH∥BD,GH=3BD,

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,EG平面ABC,FH平面ACD,

T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,TAC,直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.

[例3]在立方體ABCD－A1B1C1D1中，

出平面AC的斜線(xiàn)BD1在平面AC內(nèi)的射影；線(xiàn)BD1和直線(xiàn)AC的位置關(guān)系如何？線(xiàn)BD1和直線(xiàn)AC所成的角是多少度？解：(1)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)O

（1）找（2）直（3）直

DD1平面AC,BD就是斜線(xiàn)BD1在平面AC上的射影.

(2)BD1和AC是異面直線(xiàn).

(3)過(guò)O作BD1的平行線(xiàn)交DD1于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則∠MOA或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AC和BD1所成的角.不難得到MA＝MC，而O為AC的中點(diǎn)，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴異面直線(xiàn)BD1與AC所成的角為90°

.

[例4]a和b為異面直線(xiàn)，則過(guò)a與b垂直的平面().A．有且只有一個(gè)B．一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)C．可能不存在D．可能有無(wú)數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.正解：C.

[例5]在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)．求證：EF垂直平面BB1O．

證明：如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)．∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，∴EF∥AC．∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線(xiàn)，∴AC⊥平面BB1O(線(xiàn)面垂直判定定理)∵AC∥EF，∴EF⊥平面BB1O．

[例6]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE平面ACD1．

分析：本題考查的是線(xiàn)面垂直的判定方法．根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定方法，要證明OE平面ACD1，只要在平面ACD1內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)與OE垂直．證明：連結(jié)B1D、A!D、BD，在△B1BD中，∵E,O分別是B1B和DB的中點(diǎn)，∴EO∥B1D．∵B1A1面AA1D1D，

∴DA1為DB1在面AA1D1D內(nèi)的射影．又∵AD1A1D，

篇三：點(diǎn)線(xiàn)面之間的位置關(guān)系定理

一、四個(gè)公理：1；兩點(diǎn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)；兩點(diǎn)決定一條直線(xiàn)

2：兩平面有交點(diǎn)，必有交線(xiàn)，所有交點(diǎn)（公共點(diǎn)）在交線(xiàn)上

3：不共線(xiàn)三點(diǎn)決定一個(gè)平面：a直線(xiàn)和線(xiàn)外一點(diǎn)b兩條相交直線(xiàn)c兩條平行直線(xiàn)決定一個(gè)平面4：兩條直線(xiàn)平行于第三條直線(xiàn),這兩條直線(xiàn)平行

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等

二、異面直線(xiàn)的定義：不可能找到一個(gè)平面同時(shí)包含這兩條直線(xiàn)；不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)

除定義外，還可以用下列定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。

三、異面直線(xiàn)所成角的范圍：0＜≤90度；過(guò)空間任一點(diǎn)o，做a1∥a，b∥b1，把a(bǔ)1