高中數(shù)學(xué)選修4-4-極坐標(biāo)與參數(shù)方程-知識點與題型

-.z.選做題局部極坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、極坐標(biāo)系1．極坐標(biāo)系與點的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系：如圖4－4－1所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線O*，叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從O*到OM的角度θ來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標(biāo)．其中ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角．2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點M直角坐標(biāo)(*，y)極坐標(biāo)(ρ，θ)互化公式題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1、點P的極坐標(biāo)為，則點P的直角坐標(biāo)為〔〕A.〔1，1〕B.〔1，-1〕C.〔-1，1〕D.〔-1，-1〕2、設(shè)點的直角坐標(biāo)為，以原點為極點，實軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點的極坐標(biāo)為〔〕A．B．C．D．3．假設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為*軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________．4．在極坐標(biāo)系中，過點(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝15．曲線C的直角坐標(biāo)方程為*2＋y2－2*＝0，以原點為極點，*軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________．6.在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝2cosθ與直線θ＝eq\f(π,4)(ρ>0)所表示的圖形的交點的極坐標(biāo)．題型二極坐標(biāo)方程的應(yīng)用由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解．1.在極坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過點P(eq\r(2)，eq\f(π,4))，圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)與極軸的交點，求圓C的直角坐標(biāo)方程．2.圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，圓心為C，點P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，則|CP|＝________.3.在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，圓的半徑為1.(i)則圓C的極坐標(biāo)方程是________；(ii)直線l被圓C所截得的弦長等于________．4.在極坐標(biāo)系中，圓C：ρ＝4cosθ被直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝a截得的弦長為2eq\r(3)，則實數(shù)a的值是________．二、參數(shù)方程1．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．(2)如果知道變數(shù)*，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如*＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，則，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝ft，,y＝gt))就是曲線的參數(shù)方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(*－*0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝*0＋tcosα,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓*2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝rcosθ,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝acosφ,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))題型一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】把以下參數(shù)方程化為普通方程：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝3＋cosθ，,y＝2－sinθ；))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t.))題型二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用1、直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝1＋t，,y＝4－2t))(參數(shù)t∈R)，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝2cosθ＋2，,y＝2sinθ))(參數(shù)θ∈[0,2π])，求直線l被圓C所截得的弦長．2、曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=acosθ〔a＞0〕，直線l的參數(shù)方程為：〔1〕求曲線C與直線l的普通方程；〔2〕假設(shè)直線l與曲線C相切，求a值．3、在直角坐標(biāo)系*oy中，曲線C1的參數(shù)方程為，〔α為參數(shù)〕，以原點O為極點，*軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．〔Ⅰ〕求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；〔Ⅱ〕設(shè)P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離最小值．綜合應(yīng)用1、曲線與坐標(biāo)軸的交點是〔〕ABCD3、參數(shù)方程〔為參數(shù)〕化為普通方程為〔〕A．B．C．D．3．判斷以下結(jié)論的正誤．(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系()(2)假設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(1，－eq\r(3))，則點P的一個極坐標(biāo)是〔2，－eq\f(π,3)〕()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的()(4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線()4.參數(shù)方程為表示的曲線是〔〕A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線5．與參數(shù)方程為等價的普通方程為〔〕A．B．C．D．15.參數(shù)方程所表示的曲線是〔〕 A．直線 B．兩條射線 C．線段 D．圓16.以下參數(shù)方程〔t是參數(shù)〕與普通方程表示同一曲線的方程是：() A． B． C．D．3.由參數(shù)方程給出曲線在直角坐標(biāo)系下的方程是。4.假設(shè)直線的參數(shù)方程是〔t是參數(shù)〕，則過點〔4，－1〕且與l平行的直線在y軸上的截距是。5.方程〔t是參數(shù)〕表示的是過點，傾斜角為直線。8.在極坐標(biāo)系有點M(3,)，假設(shè)規(guī)定極徑＜0,極角[0,2]，則M的極坐標(biāo)為；假設(shè)規(guī)定極徑＜0，極角(-,)，則M的極坐標(biāo)為.9.的一個頂點在極點O，其它兩個頂點分別為，則的面積為。6．(2013·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsinθ＝2的距離等于________．7、平面直角坐標(biāo)系中,將曲線為參數(shù))上的每一點橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€,以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立的極坐標(biāo)系中,曲線的方程為(Ⅰ)求和的普通方程:(Ⅱ)求和公共弦的垂直平分線的極坐標(biāo)方程.8、曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是〔t為參數(shù)〕.〔1〕求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；〔2〕假設(shè)直線與曲線交于兩