2021-2022學年上海市控江中學高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．3．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸4．已知定義在R上的函數(shù)（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A． B． C． D．5．點為的三條中線的交點，且，，則的值為()A． B． C． D．6．設(shè)雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．7．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．10．“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．911．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．12．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域為__________．14．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.15．在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為______.16．如圖，的外接圓半徑為，為邊上一點，且，，則的面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點，.（1）當時，求的面積；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，當為中點時，求的值.18．（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.19．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，分別為，的中點．（1）求證：．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.22．（10分）已知函數(shù)，設(shè)的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實數(shù)a，b，使得，？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.3．A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可求出m＝0，從而f（x）＝﹣1，根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數(shù)；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故選B．【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞）上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小．5．B【解析】

可畫出圖形，根據(jù)條件可得，從而可解出，然后根據(jù)，進行數(shù)量積的運算即可求出．【詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，，.故選：B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.6．B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.7．A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．8．D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因為，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.9．D【解析】

運用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當時，的最小值，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.10．B【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結(jié)論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結(jié)論．11．B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.14．【解析】

根據(jù)二項展開式的通項公式即可得結(jié)果.【詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當時，，則.故答案為：【點睛】本題考查求二項展開式指定項的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.15．【解析】

取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面，，由勾股定理求得，可得為三棱錐外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中，取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.由，得，，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.16．【解析】

先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進一步得到B=C，最后利用面積公式計算即可.【詳解】依題意可得，由正弦定理得，即，由圖可知是鈍角，所以，，在三角形ABD中，，，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，，故，，，故的面積為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，要靈活運用正弦定理公式及三角形面積公式，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）或【解析】

（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得交點的橫坐標，由此求得三角形的面積.（2）法一：根據(jù)的坐標求得的坐標，將的坐標都代入橢圓方程，化簡后求得的坐標，進而求得的值.法二：設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得點的坐標，進而求得的值.【詳解】（1）設(shè)，，若，則直線的方程為，由，得，解得，，設(shè)直線與軸交于點，則且.（2）法一：設(shè)點因為，，所以又點，都在橢圓上，所以解得或所以或.法二：設(shè)顯然直線有斜率，設(shè)直線的方程為由，得所以又解得或所以或所以或.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.19．（1）見解析（2）【解析】

（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法示二面角．【詳解】（1）證明：連接，，．，，平面．平面，平面平面．，為的中點，．平面平面，平面．平面，．為斜邊的中點，，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則．以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則．易知平面的法向量為．記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角．在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時，可以建立空間直角坐標系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過程，通過計算求解．20．（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導(dǎo)出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當時，則必有，∴，∴是一個單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當時，，∵，中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.21．（Ⅰ）當時，<0，單調(diào)遞減；當時，＞0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【