江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖中學(xué)2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.12.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C.- D.-4.已知a>b>0,c>1,則下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.a(chǎn)c<bc D.5.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.6.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.7.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.20178.在三棱錐中,,且分別是棱,的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論:①;②平面;③三棱錐的體積的最大值為;④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號(hào)是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④9.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.11.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.12.已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過(guò)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若正實(shí)數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x214.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____.16.設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.19.(12分)已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)的直線分別交橢圓于和,且,問(wèn)是否存在常數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)與,軸交于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為.若射線與,交于,兩點(diǎn),求,兩點(diǎn)間的距離.21.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,22.(10分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2.B【解析】

先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當(dāng)時(shí),,又,所以為偶函數(shù),從而等價(jià)于,因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.3.A【解析】分析:計(jì)算,由z1,是實(shí)數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實(shí)數(shù),所以,即.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定,故錯(cuò)誤;對(duì)B,因?yàn)閥=cx為增函數(shù),且a>b,所以ca>cb,正確對(duì)C,因?yàn)閥=xc為增函數(shù),故,錯(cuò)誤;對(duì)D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù),故,錯(cuò)誤故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.5.A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點(diǎn)睛:本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題,另外通過(guò)二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).6.C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知,.作BC中點(diǎn)Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角,關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.7.D【解析】

依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.8.D【解析】

①通過(guò)證明平面,證得;②通過(guò)證明,證得平面;③求得三棱錐體積的最大值,由此判斷③的正確性;④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則,,又,所以平面,所以,故①正確;因?yàn)?,所以平面,故②正確;當(dāng)平面與平面垂直時(shí),最大,最大值為,故③錯(cuò)誤;若與垂直,又因?yàn)椋云矫?,所以,又,所以平面,所以,因?yàn)?,所以顯然與不可能垂直,故④正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.9.A【解析】

首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】

根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因?yàn)?,所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面,所以平?在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為,用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.11.B【解析】

,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當(dāng),即時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,涉及到二倍角公式的應(yīng)用,是一道中檔題.12.C【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.8【解析】

分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個(gè)整體,之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點(diǎn)睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類問(wèn)題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.14.18【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時(shí),,函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸為,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?則,整理得,又因?yàn)?則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.15.【解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解:雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,解得,即.又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

根據(jù)漸近線得到,,計(jì)算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),利用可得,故可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).(2)利用分組求和法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,①,②所以,即,又因?yàn)椋?,所以,所以是首?xiàng),公比為的等比數(shù)列,故.(2)由得:數(shù)列為等差數(shù)列,公差,,,.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式,如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯(cuò)位相減法;如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差,那么用裂項(xiàng)相消法;如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項(xiàng)求和法.18..【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式可得,可得,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式,所以,所以.因?yàn)椋?,所?【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解,是基礎(chǔ)題.19.(1);(2)存在,.【解析】

(1)由條件建立關(guān)于的方程組,可求得,得出橢圓的方程;(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求得,求得,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出線段,再由得出線段,根據(jù)等差中項(xiàng)可求得,得出結(jié)論.【詳解】(1)由條件得,所以橢圓的方程為:;(2),①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,此時(shí),②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè),聯(lián)立消元得,設(shè),,直線的斜率為,同理可得,所以,綜合①②,存在常數(shù),使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)公式的相關(guān)問(wèn)題,當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時(shí),可能通過(guò)斜率的代換得出另一條線段的弦長(zhǎng),屬于中檔題.20.(1),;(2)1.【解析】

(1)利用正弦的和角公式,結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡(jiǎn)為極坐標(biāo)即可;(2)先求出的直角坐標(biāo),據(jù)此求得中點(diǎn)的直角坐標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得兩點(diǎn)的極坐標(biāo),則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標(biāo)方程為(2)由(1)可得的直角坐標(biāo)方程為,故容易得,,∴,∴的極坐標(biāo)方程為,把代入得,.把代入得,.∴,即,兩點(diǎn)間的距離為1.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及在極坐標(biāo)系中求兩點(diǎn)之間的距離,屬綜合基礎(chǔ)題.21.(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;(2)

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