上海中學自主招生數學試題帶答案

word.word.2014年上海中學“創(chuàng)新素養(yǎng)培育項目”數學測試卷一、填空題(8X9=72)111

+—=—

ba+b111.已知aba+—=則一、填空題(8X9=72)111

+—=—

ba+b111.已知aba+—=則ab

4變式】+—=—

aba+b已知：變式】已知：11aba+bba+—=則abba則ab變式】已知：114+a2ba2+b，則變式】已知：丄+1=」b+田=\ab*a+b則7ab2?有個實數x，可以使得J】20-低為整數.【變式】x為1,2,3,……，2014，使得J】00-長為有理數的x有【變式】x為1,2,3,……，2014，使得伍為有理數的x有個.【變式】有個整數x，可以使得J12°-2低為整數.個.3.如圖，在AABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含ZA的式子表示ZEDF，應為ZEDF=.D【變式】如圖，在等腰直角AABC中，ZA=900,AB=AC，CD=BF，BD=CE，則ZEDF=.D【變式】如圖，在等腰直角AABC中，ZA=900,AB=AC=1,D、E、F分別是邊

BC、CA、AB上的點，且CD=BF，BD=CE，則SADEF面積最大值為.y=x2+mx一m2(m>0)4.在在直角坐標系中，拋物線4與x軸交于A、B兩點，若A、B兩點112到原點的距離分別為OA、OB，且滿足OBOA3，則m=.5?定圓A的半徑為72,動圓B的半徑為r，丫V72且r是一個整數，動圓B保持內切于圓A且沿著圓A的圓周滾動一周,若動圓B開始滾動時切點與結束時的切點是同一點，則r共有個可能的值.6.學生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不滿，則學生共有人.7?對于各數互不相等的正整數組("1'"2''(n是不小于2的正整數)，如果在iVj時有/\"i>"j，則稱《與"j是該數組的一個“逆序”，例如數組，2,3丄4丿中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”,“3,1”，其逆序數為4,現(xiàn)若各數互不相同的正整數組("1’""3"5,?)的逆序數為2,則

a丿a1的逆序數為(a,a,a,a,a,a丿a1的逆序數為6543211n10<<-8.若n為正整數，則使得關于x的不等式21x+n19有唯一整數解的n的最大值為.11n10<<-【變式】若“為正整數，則使得關于兀的不等式21x+n19有唯一整數解的n的最小值為二、選擇題(4X10=40)9.已知x2+ax-12能分解成兩個整系數的一次因式的積，則符合條件的整數a的個數為()A.3個B.4個C.6個D.8個10.如圖，D、E分別為AABC的底邊所在直線上的兩點，DB二EC，過A作直線1，作DM//BA交1于M，作EN//CA交1于N，設AABM面積為S1，AACN面積為S2，則()11.設P1，P11.設P1，P2,q1，q2為實數,若方程，甲：P1P=2(q+q)12x2+px+q=011122232a=+++10072+,b1222=+--32+10072+12.設13520133572015，則以下四個選項中最接近a-b的整數為()A.252B.504?.C.1007D.2013???=x2+px+q=0m/、乙：22，則()A.甲必有實根，乙也必有實根C.甲、乙至少有一個有實根B.甲沒有實根，乙也沒有實根D.甲、乙是否總有一個有實根不能確定三、解答題(38分，13題18分，14題20分)13.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜邊AC(BD位于AC的兩側)，M、N分別是AC、BD的中點，且M、N不重合，線段MN與BD是否垂直？證明你的結論.若上BAC=300，ZCAD=45。,AC=4，求MN的長.14.是否存在m個不全相等的正數ai，a2，，am(m-7)，使得它們能全部被擺放在一個圓周上，每個數都等于其相鄰兩數的乘積？若存在，求出所有這樣的m值，若不存在，說明理由.a+b=1n(a+b)2答案：1aba+b'ab二1,baa2+b2+—=abab(a+b)2-2ab(a+b)2ab-2=1-2=-1ab事實上，這道題是一道錯題：a+b1nla+

a+b'ab件就錯了，同樣結果也錯了，-1ZA2.11,3.AEDF=90°2ab+(a+b)2>4ab，已知條4.2,5.11,6.44,7.13.8.220,9．C10.B,11C.12.B.13.(1)MN丄BD(2)a=x，14.【解析】設1一個周期為6的數列，=y，=1=——,x=——,y顯然是(1)當m三0(mod6)(2)(3)(4)(5)a1

am=a2=a1?am?am-1xx=y?-yx1—=x?—〔yyx>0Iasa1、a當m三1(mod6)ma1am當m三2(mod6)當m三3(mod6)當m三4(mod6)=a?a2m=a?a1m-1=a?a2m=a?a1m-1a=a?as1、ama1

am2m=a?a1m-1=a2=a1?am?am-1x=y?xxnx=y=1x=x?-y與不全相等矛盾；X=y