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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,則當(dāng)取得最大值時,直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.2.已知實數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C. D.3.設(shè)為非零向量,則“”是“與共線”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.845.己知集合,,則()A. B. C. D.6.己知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,點分別在拋物線上,且,直線交于點,,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.67.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.118.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.10.下列選項中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件11.如圖所示,為了測量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)處,此時測得在的北偏西的方向上,再開回處,由向西開百海里到達(dá)處,測得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實數(shù),則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲,乙兩隊參加關(guān)于“一帶一路”知識競賽,甲隊有編號為1,2,3的三名運動員,乙隊有編號為1,2,3,4的四名運動員,若兩隊各出一名隊員進(jìn)行比賽,則出場的兩名運動員編號相同的概率為______.14.已知,,則與的夾角為.15.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實數(shù)的值是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù).(Ⅰ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(參考數(shù)據(jù):)18.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.19.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點(不在棱的端點處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點,當(dāng)四邊形為菱形時,求長.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.22.(10分)某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動,當(dāng)天各店鋪銷售額破十億,為了提高各店鋪銷售的積極性,采用搖號抽獎的方式,抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎勵.如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.(1)求抽取的這家店鋪,元旦當(dāng)天銷售額的平均值;(2)估計抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家;(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案,銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究,求抽取的店鋪銷售額在中的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
過作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,,則當(dāng)取得最大值時,最大,此時與拋物線相切,易知此時直線的斜率存在,設(shè)切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及到拋物線的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.2、C【解析】
利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對于實數(shù),,不成立對于不成立.對于.利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法.3、A【解析】
根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若,則與共線,且方向相同,充分性;當(dāng)與共線,方向相反時,,故不必要.故選:.【點睛】本題考查了向量共線,充分不必要條件,意在考查學(xué)生的推斷能力.4、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5、C【解析】
先化簡,再求.【詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
作,垂足為,過點N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進(jìn)而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點,即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過點N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因為,所以為線段的中點,所以F到l的距離為.故選:D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時候為過點的時候,解得所以,此時故選A項【點睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡單題.8、A【解析】
根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,因為對任意,,都有,所以函數(shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.9、A【解析】
選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.10、D【解析】
對于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對于C當(dāng)m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項C當(dāng)m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡單題.11、B【解析】
先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度,再根據(jù)正弦定理計算出的長度,最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因為,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.12、A【解析】
對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡,由于為純虛數(shù),則化簡后的復(fù)數(shù)形式中,實部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù),所以,得所以.故選A項【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,純虛數(shù)的概念,屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
出場運動員編號相同的事件顯然有3種,計算出總的基本事件數(shù),由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】甲隊有編號為1,2,3的三名運動員,乙隊有編號為1,2,3,4的四名運動員,出場的兩名運動員編號相同的事件數(shù)為3,出現(xiàn)的基本事件總數(shù),則出場的兩名運動員編號相同的概率為.故答案為:【點睛】本題考查求古典概率的概率問題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)已知條件,去括號得:,15、【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數(shù)為.16、1【解析】
把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用,綜合了基本不等式,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo),得,已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,又在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,令,求得,討論得,而,故,進(jìn)而得解;(Ⅱ)可通過必要性探路,當(dāng)時,由知,又由于,則,當(dāng),,結(jié)合零點存在定理可判斷必存在使得,得,,化簡得,再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;【詳解】(Ⅰ)的定義域為.易知單調(diào)遞增,由題意有.令,則.令得.所以當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增,而,,因此必存在使得,即.且當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;則.綜上,的最大值為3.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值,屬于中檔題18、(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項公式;(2)求(1)得,然后對和式兩兩并項后利用等差數(shù)列的前項和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式,考查并項求和法及等差數(shù)列的項和公式.本題求數(shù)列通項公式所用方法為基本量法,求和是用并項求和法.?dāng)?shù)列的求和除公式法外,還有錯位相關(guān)法、裂項相消法、分組(并項)求和法等等.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).【解析】
(1)由平面與平面沒有交點,可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(2)由四邊形是平行四邊形,且,則不可能是矩形,所以與不垂直;(3)先證,可得為的中點,從而得出是的中點,可得.【詳解】(1)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個平面沒有交點,則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(2)因為,兩點不在棱的端點處,所以,又四邊形是平行四邊形,,則不可能是矩形,所以與不垂直;(3)如圖,延長交的延長線于點,若四邊形為菱形,則,易證,所以,即為的中點,因此,且,所以是的中位線,則是的中點,所以.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題,和線段長的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,屬中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點為坐標(biāo)原點,以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點為坐標(biāo)原點,以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.21、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點M,連接ME,證明
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