2022年山西省汾陽市第二高級中學、文水縣第二高級中學高三數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)在的圖象大致為A． B．C． D．3．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中左視圖中三角形為等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是（）A． B．C． D．4．關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，再統(tǒng)計，能與構成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．5．若復數(shù)（為虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．6．設，，則（）A． B．C． D．7．已知復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A． B． C．- D．-8．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或09．設是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．311．已知，若則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，則___________．14．（5分）有一道描述有關等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列，后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列，且前三個和尚的身高之和為cm，中間兩個和尚的身高之和為cm，則最高的和尚的身高是____________cm．15．已知圓C：經(jīng)過拋物線E：的焦點，則拋物線E的準線與圓C相交所得弦長是__________.16．點到直線的距離為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點為噴泉，圓心為的中點，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞．（1）若當時，，求此時的值；（2）設，且．（i）試將表示為的函數(shù)，并求出的取值范圍；（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．18．（12分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若為的中點，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.19．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點.（1）證明：；（2）設點是線段上的動點，當直線與直線所成的角最小時，求三棱錐的體積.20．（12分）已知函數(shù)，，.函數(shù)的導函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.21．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.22．（10分）在開展學習強國的活動中，某校高三數(shù)學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組，其中黨員學習組有4名男教師、1名女教師，非黨員學習組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參加學校的挑戰(zhàn)答題比賽.（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式，解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解方程可得或，不妨設A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因為，，由平面向量垂直的坐標表示可得，，因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.2、A【解析】

因為，所以排除C、D．當從負方向趨近于0時，，可得.故選A．3、C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖，可得直觀圖為直三棱柱，并且底面為等腰直角三角形，即可求得外接球的半徑，即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖，上下底面為腰長為的等腰直角三角形，三棱柱的高為4，其外接球半徑為，所以體積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意球心的確定.4、B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.5、C【解析】

利用復數(shù)的除法，以及復數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實部與虛部相等，，解得.故選:C【點睛】本題主要考查復數(shù)的除法運算，復數(shù)的概念運用.6、D【解析】

由不等式的性質及換底公式即可得解.【詳解】解：因為，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點睛】本題考查了不等式的性質及換底公式，屬基礎題.7、A【解析】分析：計算，由z1，是實數(shù)得，從而得解.詳解：復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數(shù)，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復數(shù)共軛的概念，屬于基礎題.8、C【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，只需，即，令，利用導數(shù)求其單調區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當時，根據(jù)函數(shù)的單調性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當時，由得，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調遞增.∵，∴；當時，，函數(shù)在上單調遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應用，屬于中檔題.9、D【解析】

利用向量運算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關性質，難度一般.10、C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．11、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因為，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因為，所以，即，可化為，因為，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題，12、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結果．【詳解】設，則，所以是奇函數(shù)，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．14、【解析】

依題意設前三個和尚的身高依次為，第四個(最高)和尚的身高為，則，解得，又，解得，又因為成等比數(shù)列,則公比，故.15、【解析】

求出拋物線的焦點坐標，代入圓的方程，求出的值，再求出準線方程，利用點到直線的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長的一半，進而求出弦長．【詳解】拋物線E:的準線為，焦點為（0，1），把焦點的坐標代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標為，半徑為5，則圓心到準線的距離為1，所以弦長．【點睛】本題考查了拋物線的準線、圓的弦長公式．16、2【解析】

直接根據(jù)點到直線的距離公式即可求出?！驹斀狻恳罁?jù)點到直線的距離公式，點到直線的距離為?！军c睛】本題主要考查點到直線的距離公式的應用。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)(i)，；(ii).【解析】

（1）在中，由正弦定理可得所求；（2）（i）由余弦定理得，兩式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根據(jù)的最大值不小于可得關于的不等式，解不等式可得所求．【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求關系式為，．（ii）當觀賞角度的最大時，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因為的最大值不小于，所以，解得，經(jīng)驗證知，所以．即兩處噴泉間距離的最小值為．【點睛】本題考查解三角形在實際中的應用，解題時要注意把條件轉化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進行求解．解題時要注意三角形邊角關系的運用，同時還要注意所得結果要符合實際意義．18、(1)見解析(2)【解析】

（1）設EC與DF交于點N，連結MN，由中位線定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中點為G，連結BG，EG，則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，從而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入體積公式即可計算出體積．【詳解】（1）證明：設與交于點，連接，在矩形中，點為中點，∵為的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）取中點為，連接，，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的長即為四棱錐的高，在梯形中，，∴四邊形是平行四邊形，，∴平面，又∵平面，∴，又，，∴平面，.注意到，∴，，∴.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】（1）連結AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則①，因為底面，則②，由①②知平面，所以.（2）以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設，，則，所以，設，則，所以當，即時，取最大值，從而取最小值，即直線與直線所成的角最小，此時，則，因為，，則平面，從而M到平面的距離，所以.【點睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內容較多，計算量較大，解決此類問題最關鍵是準確寫出點的坐標，是一道中檔題.20、；4；12.【解析】

由題意可知，，求導函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設，則，所以在上單調遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，①當，即時，恒成立，所以在上單調遞增，不符題意；②當時，令，解得：，當時，，單調遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當時，，