2014研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文B

PAGEPAGE24一、問(wèn)題的重述考慮航天器在僅受到地球萬(wàn)有引力、航天器自身發(fā)動(dòng)機(jī)作用力的作用下作平面運(yùn)動(dòng)，將地球和航天器視為質(zhì)點(diǎn)，建立航天器運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。顯然這樣的數(shù)學(xué)模型在精度上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需要的，在其他要求精確制導(dǎo)等有關(guān)高科技的實(shí)際問(wèn)題中，我們都面臨著類似的問(wèn)題：我們必須建立高精度的數(shù)學(xué)模型，必須高精度地估計(jì)模型中的大批參數(shù)，因?yàn)橹挥羞@樣的數(shù)學(xué)模型才能解決實(shí)際問(wèn)題，而不會(huì)出現(xiàn)差之毫厘，結(jié)果卻失之千里的情況。由于航天器的問(wèn)題太復(fù)雜，本題僅考慮較簡(jiǎn)單的確定高精度參數(shù)問(wèn)題。假設(shè)有一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)，其中含有兩種生物，即：A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假設(shè)時(shí)刻捕食者A的數(shù)目為，被捕食者B數(shù)目為，它們之間滿足以下變化規(guī)律：初始條件為：其中為模型的待定參數(shù)。通過(guò)對(duì)此生態(tài)系統(tǒng)的觀測(cè)，可以得到相關(guān)的觀測(cè)數(shù)據(jù)。要利用有關(guān)數(shù)據(jù)，解決以下問(wèn)題：1)在觀測(cè)數(shù)據(jù)無(wú)誤差的情況下，若已知，求其它5個(gè)參數(shù)？2)若也未知，至少需要多少組觀測(cè)數(shù)據(jù)，才能確定參數(shù)？3)在觀測(cè)資料有誤差（時(shí)間變量不含有誤差）的情況下，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解，并與仿真結(jié)果比較，進(jìn)而改進(jìn)數(shù)學(xué)模型。4)假設(shè)連觀測(cè)資料的時(shí)間變量也含有誤差，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解。二、航天器運(yùn)動(dòng)模型的建立考慮航天器在僅受到地球萬(wàn)有引力、航天器自身發(fā)動(dòng)機(jī)作用力的作用下作平面運(yùn)動(dòng)，將地球和航天器視為質(zhì)點(diǎn)，由理論力學(xué)可知，一個(gè)剛體在空間的運(yùn)動(dòng)可以看作質(zhì)心的移動(dòng),因此可以應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)研究剛體質(zhì)心的移動(dòng)規(guī)律。以地球中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，航天器繞地球飛行，可以出現(xiàn)在該直角坐標(biāo)系中四個(gè)象限的任意一個(gè)之內(nèi)。平面直角坐標(biāo)系如圖1。符號(hào)說(shuō)明如下:——航天器在x方向的速度——航天器在y方向的速度——萬(wàn)有引力，——航天器發(fā)動(dòng)機(jī)作用力，為控制變量——萬(wàn)有引力與x軸正方向的夾角——航天器發(fā)動(dòng)機(jī)作用力與x軸正方向的夾角——初始時(shí)刻，——航天器初始位置——航天器x方向初速度——航天器y方向初速度航天器受的萬(wàn)有引力方向指向地球中心（原點(diǎn)），航天器受推力的方向與x軸正方向成角。將和投影到該直角坐標(biāo)系上，見(jiàn)圖1圖1航天器受力分解圖其中，初始條件為，都是關(guān)于時(shí)間的位置函數(shù)，航天器在x方向的分速度即對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，航天器在y方向的分速度即對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，航天器在x方向的加速度即對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)，航天器在y方向的加速度即對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)，根據(jù)牛頓第二定律有方程（3）和（4）。由此建立的航天器模型如下：顯然這樣的數(shù)學(xué)模型在精度上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需要的，在其他要求精確制導(dǎo)等有關(guān)高科技的實(shí)際問(wèn)題中，我們都面臨著類似的問(wèn)題：我們必須建立高精度的數(shù)學(xué)模型，必須高精度地估計(jì)模型中的大批參數(shù)，因?yàn)橹挥羞@樣的數(shù)學(xué)模型才能解決實(shí)際問(wèn)題，而不會(huì)出現(xiàn)差之毫厘，結(jié)果卻失之千里的情況。這時(shí)所建立數(shù)學(xué)模型的精度就成了數(shù)學(xué)模型的生命線。例如上述問(wèn)題中的航天器還要受到地球質(zhì)量分布不均勻所引起的攝動(dòng)力，大氣阻力，日、月及其它星球的攝動(dòng)引力的影響，以及航天器發(fā)動(dòng)機(jī)為調(diào)整航天器自身姿態(tài)運(yùn)作時(shí)作用力的影響。這樣不但數(shù)學(xué)模型十分復(fù)雜，而且在這些數(shù)學(xué)模型中還要涉及到許多重要的參數(shù)，如地球的引力場(chǎng)模型就有許多待定參數(shù)。不僅如此，在對(duì)航天器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，還涉及到觀測(cè)站的地理位置以及設(shè)備的系統(tǒng)誤差等參數(shù)。為此人們要設(shè)法利用長(zhǎng)期積累的豐富的觀測(cè)資料，高精度確定這些重要的參數(shù)。由于航天器的問(wèn)題太復(fù)雜，下面本題僅考慮較簡(jiǎn)單的確定高精度參數(shù)問(wèn)題。三、捕食者與被捕食者生態(tài)系統(tǒng)問(wèn)題的分析題中假設(shè)有一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)，含有兩種生物，A生物和B生物，A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假設(shè)時(shí)刻捕食者A的數(shù)目為，被捕食者B數(shù)目為，它們之間滿足以下變化規(guī)律：初始條件為：該模型中，捕食者獨(dú)自存在時(shí)死亡率，；被捕食者對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力；是被捕食者的獨(dú)立生存增長(zhǎng)率，；是捕食者掠取被捕食者的能力，。[2]這個(gè)方程就是生態(tài)系統(tǒng)中被捕食者與捕食者的volterra模型，為模型的待定參數(shù)。對(duì)于該模型理論上不存在解析解，因此我們不能通過(guò)參數(shù)擬合確定模型的參數(shù)。Volterra模型在給定參數(shù)和初始值的情形下可以采用數(shù)值積分獲得任意時(shí)間點(diǎn)的數(shù)值解。根據(jù)volterra模型進(jìn)行一些公式推導(dǎo)如下：兩個(gè)方程相除得：移項(xiàng)得：兩邊積分：得到相軌方程：移項(xiàng)得：該式右邊為只與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)，令易知，將（5）式代入（4）式得到式中方程兩邊同除以C，得：在（7）式中，令，，，得到這一方程體現(xiàn)了Volterra模型中兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，我們稱此方程為相軌方程。進(jìn)一步研究相軌方程，可以發(fā)現(xiàn)Volterra模型中兩個(gè)變量呈現(xiàn)周期性變化。第一問(wèn)，對(duì)來(lái)說(shuō)，相軌方程是一個(gè)4未知數(shù)的方程，DATA1中有6組數(shù)據(jù)，用6組數(shù)據(jù)確定4個(gè)可以采用極小范數(shù)最小二乘解。又因?yàn)橐阎?，C可求，從而可求，由于各觀測(cè)值真實(shí)準(zhǔn)確，，可取DATA1中任意一組數(shù)據(jù)，不失一般性，我們?nèi)〉谝唤M數(shù)據(jù)為初始值。第二問(wèn)，我們可以證明參數(shù)C與系統(tǒng)周期成反比，由參考資料可以知道volterra模型中的含義，從而確定C的正負(fù)性，在未知的情況下，求C可以從C與時(shí)間的關(guān)系入手，我們先在DATA1的6組數(shù)據(jù)中取4組算出，然后設(shè)計(jì)一個(gè)的新生態(tài)系統(tǒng)，以無(wú)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)DATA1為準(zhǔn)，設(shè)計(jì)搜索算法找到與DATA1中x，y值極為接近的數(shù)值點(diǎn)，找到對(duì)應(yīng)的觀測(cè)時(shí)間，得到觀測(cè)間隔，這個(gè)觀測(cè)間隔與DATA1中已知的觀測(cè)間隔一起可以求出C，從而得到，，同第一問(wèn)。第三問(wèn)，用所有數(shù)據(jù)求得極小范數(shù)最小二乘解，可以確定。經(jīng)過(guò)與第二問(wèn)類似的方法獲得C。進(jìn)一步求出，，可取DATA2中觀測(cè)初始時(shí)間的值，這一套就是我們所求的最小二乘意義下的最優(yōu)解。將這一組參數(shù)帶入volterra模型，獲得各觀測(cè)點(diǎn)上的仿真結(jié)果。通過(guò)與觀測(cè)結(jié)果比較，我們發(fā)現(xiàn)誤差普遍較大。于是我們改進(jìn)了參數(shù)估計(jì)模型，改為求取均方誤差意義下的最優(yōu)解。獲得了較好的效果。第四問(wèn)，我們采取了第三問(wèn)中的改良算法，以求取使x,y,t三者均方誤差最小的參數(shù)組為目標(biāo)，進(jìn)行計(jì)算，然而誤差較大。經(jīng)過(guò)判斷，我們認(rèn)為這是由于時(shí)間和數(shù)據(jù)均存在誤差導(dǎo)致搜索結(jié)果不夠精確，我們改進(jìn)搜索算法，結(jié)果大為改善。四、模型的建立及求解問(wèn)題一，已知，求其它5個(gè)參數(shù)結(jié)合DATA1.TXT中6組無(wú)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)（包括了觀測(cè)時(shí)刻、A生物數(shù)目、B生物數(shù)目），（7）式含有4個(gè)未知數(shù)，而題中提供了6組數(shù)據(jù)，寫(xiě)為矩陣形式即：記為矩陣形式，其中，，，矛盾方程組的惟一極小范數(shù)最小二乘解為，采用極小范數(shù)最小二乘解，得到的值，如表1所示表1最小二乘的的值0.14471560254457-0.01447146313960-0.868317924024250.07236037259773因?yàn)?，由題意，而從volterra模型本身出發(fā)，是捕食者掠取被捕食者的能力，所以利用DATA1中數(shù)據(jù)算出的，所以C<0，這一問(wèn)中，把C代入，，得到表2已知，的值對(duì)于，來(lái)說(shuō)，，，由觀測(cè)數(shù)據(jù)，已知，而未知，所以，，可以是觀測(cè)數(shù)據(jù)中任意一組，的值。不失一般性我們?nèi)?，由DATA1知道，，所以，。問(wèn)題二，未知，至少需要幾組數(shù)據(jù)才能確定的值1.的求解由問(wèn)題一的分析可知，為了求取，至少需要四個(gè)方程，即四組觀測(cè)數(shù)據(jù)。列為線性方程可以解得，，，2.觀測(cè)系統(tǒng)時(shí)間變換分析對(duì)于同樣系統(tǒng)的觀測(cè)，當(dāng)選取的觀測(cè)時(shí)間起點(diǎn)和觀測(cè)時(shí)間單位不同時(shí)，得到同一物理系統(tǒng)的兩種不同時(shí)間觀測(cè)結(jié)果。不失一般性，我們將兩種觀測(cè)之間的時(shí)間變換關(guān)系表示為，其中表示兩種觀測(cè)系統(tǒng)的時(shí)間單位數(shù)量，反映了兩個(gè)觀測(cè)系統(tǒng)時(shí)間起點(diǎn)上的差異，而反映了兩個(gè)觀測(cè)系統(tǒng)觀測(cè)時(shí)間單位的比例，線性關(guān)系是由時(shí)間的均勻性確定的。定理一：對(duì)于參數(shù)完全相同的生態(tài)系統(tǒng)，其系統(tǒng)常數(shù)與觀測(cè)時(shí)間單位長(zhǎng)度存在反比例關(guān)系，即。證明：在volterra模型中：把，代入得：（8）構(gòu)建對(duì)于上述生態(tài)過(guò)程的兩個(gè)觀測(cè)系統(tǒng)，其時(shí)間軸變換關(guān)系為，為常數(shù)。（8）即為（9）對(duì)（9）進(jìn)行推導(dǎo)（10）所以，，為常數(shù)，結(jié)合，得到，這就證明了在參數(shù)完全相同的生態(tài)系統(tǒng)，其系統(tǒng)常數(shù)與觀測(cè)時(shí)間間隔參數(shù)存在反比例關(guān)系，即。在volterra模型中，對(duì)的推導(dǎo)與上面相同，結(jié)論也相同。3．求解在確定的情況下，我們只要得到系統(tǒng)常數(shù)就可以確定生態(tài)系統(tǒng)參數(shù)。對(duì)于一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)，當(dāng)確定時(shí)，由方程可知相軌線是完全確定的。對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)中的相鄰兩組數(shù)據(jù)和，其演變過(guò)程遵循系統(tǒng)方程即選擇作為起始點(diǎn)根據(jù)系統(tǒng)方程演化到。當(dāng)值不同時(shí)，從演化到的過(guò)程不同。下面我們?cè)诙ɡ硪恢凶C明值和演化時(shí)間存在反比關(guān)系。我們首先用DATA1中的4組數(shù)據(jù)確定表3的值0.14471560254457－0.01447146313960－0.868317924024250.072360372597731，模型的建立與求解龍格-庫(kù)塔方法求解微分方程對(duì)于Volterra模型，沒(méi)有顯式的符號(hào)解，因此我們采用四階龍格－庫(kù)塔方法求解常微分方程組的數(shù)值解。求解方法介紹如下：volterra模型可寫(xiě)為（11）令下標(biāo)表示步數(shù)，則解此方程組的歐拉方法為（12）引進(jìn)向量記號(hào)，，，則式（11）與式（12）可分別寫(xiě)成此時(shí)，常用的四階龍格－庫(kù)塔方法取形式采用龍格－庫(kù)塔方法，我們可以求出微分方程的數(shù)值解，數(shù)值解十分密集，在圖2上表現(xiàn)為連續(xù)曲線。圖2龍格-庫(kù)塔數(shù)值解與DATA1數(shù)據(jù)對(duì)照2，模型的建立我們的目標(biāo)是使用最少數(shù)目的觀測(cè)數(shù)據(jù)組，即目標(biāo)：約束：為DATA1中無(wú)誤差觀測(cè)間隔，為已知，為新系統(tǒng)觀測(cè)間隔，這個(gè)新觀測(cè)間隔由后面介紹的搜索算法可以獲得，，所以C可求，由DATA1中任意4組數(shù)據(jù)解出，由C已求出，則可求，驗(yàn)證的精度是用求出的再建立新模型v_new，采用DATA1觀測(cè)間隔得到觀測(cè)值，q為該觀測(cè)值與DATA1觀測(cè)值的相對(duì)誤差，這在結(jié)果驗(yàn)證中詳細(xì)介紹。3，搜索算法我們采用一種搜索算法尋找與DATA1中無(wú)誤差數(shù)據(jù)極為接近的高精度，，以此確定新的觀測(cè)間隔。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)無(wú)誤差，我們可以選擇DATA1中任意一組數(shù)據(jù)作為微分方程的初值，根據(jù)四階龍格-庫(kù)塔算法求解得到微分方程的數(shù)值解。不失一般性，我們選取第一組數(shù)據(jù)作為初值，即。以DATA1中的為起點(diǎn)進(jìn)行龍格-庫(kù)塔數(shù)值解的搜索。搜索算法：第一步：預(yù)估生態(tài)系統(tǒng)的周期；第二步：在預(yù)估周期附近搜索真實(shí)周期；第二步：以為步長(zhǎng)，生成1000組數(shù)據(jù)，搜索其中與目標(biāo)點(diǎn)距離最近的點(diǎn)；在此點(diǎn)前后兩點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間內(nèi)重復(fù)上述搜索。隨搜索深度上升，獲得點(diǎn)的精度隨之上升，我們?cè)谟?jì)算中考慮到精度和效率，選擇搜索深度為三，即精確到4，問(wèn)題的求解為了計(jì)算，首先在龍格-庫(kù)塔數(shù)值解基礎(chǔ)上搜索出第一組x，y值，得到觀測(cè)時(shí)間，然后繼續(xù)搜索第二組x，y值，得到對(duì)應(yīng)的觀測(cè)時(shí)間，這時(shí)兩觀測(cè)時(shí)間間隔可求，如表4，表4新系統(tǒng)觀測(cè)間隔9.788112399999599.787980399999489.788139999999559.788111599999599.78790879999960記表4中各個(gè)觀測(cè)間隔為，它為后一觀測(cè)時(shí)間減去前一觀測(cè)時(shí)間的值。在已知數(shù)據(jù)DATA1中，各個(gè)觀測(cè)值與觀測(cè)間隔如表5所示，表5DATA1中無(wú)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)及觀測(cè)間隔none10.60.0.111.7508406503045180.13744802663822160.13.41333672578491767.1087059961201290.1000000000000000420.809218814387980.42515950828994240.099999999999999965.2319824819454810.71823849314138270.126.92522160481810226.706603701525214記表5中各個(gè)觀測(cè)間隔為，它為后一觀測(cè)時(shí)間減去前一觀測(cè)時(shí)間的值。由定理一，我們從理論上知道，結(jié)合表4，表5，又因?yàn)?，，，，結(jié)合表2，的值即可確定，因?yàn)槲覀兊闹蹬c無(wú)誤差觀測(cè)值有極小差距，我們的用表示。表6(即)的值－14.164836461043451.4164741404531484.99139811968647－7.08266991315792對(duì)于，來(lái)說(shuō)，，，由觀測(cè)數(shù)據(jù)，已知，而未知，所以，，可以是觀測(cè)數(shù)據(jù)中任意一組，的值。我們?nèi)?，由DATA1知道，，，所以，。由此，我們通過(guò)構(gòu)建一個(gè)新的觀測(cè)系統(tǒng)找到了C與觀測(cè)間隔t的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且除了確定需要的DATA1中的4組數(shù)據(jù)之外，沒(méi)有再需要DATA1中的其它數(shù)據(jù)，因此，至少需要4組數(shù)據(jù)就可以確定的值。5，結(jié)果驗(yàn)證為了驗(yàn)證我們的結(jié)果，對(duì)于得到的表6中的的值，加上，，可以再重新構(gòu)建一個(gè)volterra模型（模型v_new），將DATA1中的觀測(cè)時(shí)間代入模型v_new，得到，表7模型v_new中取與DATA1相同觀測(cè)間隔對(duì)應(yīng)的x，y值NAN10600.111.750933046976590.137451352070610.13.413376988757657.108234559668320.1000000000000000420.809288951375380.425167798549810.099999999999999965.232025537817290.718176598277300.126.9252566485123026.70655846347881定義相對(duì)誤差，其中x，y為DATA1中無(wú)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到相對(duì)誤差表如表8所示。表8，值與DATA1的相對(duì)誤差表（單位：）0.049972095034430.011604495058510.078629840047040.241941078854410.11795781068136-0.663181811240250.033704767117530.194991754885340.08229360851517-0.861759216174480.01301519248942-0.01693889904760

由此可見(jiàn)我們得到的，值具有5個(gè)數(shù)量級(jí)以上的精度，它與無(wú)誤差觀測(cè)值是極為接近的。所以我們得到的的值是高精度的，如果需要我們可以加大搜索深度，提高數(shù)據(jù)精度。問(wèn)題三，在觀測(cè)資料有誤差（時(shí)間變量不含有誤差）的情況下，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解，并與仿真結(jié)果比較，進(jìn)而改進(jìn)模型。1，誤差數(shù)據(jù)預(yù)處理：當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)有誤差時(shí)，我們可以進(jìn)行如下數(shù)據(jù)預(yù)處理以部分去除數(shù)據(jù)中誤差的干擾。S1：根據(jù)全體數(shù)據(jù)對(duì)，按照極小范數(shù)最小二乘求解生態(tài)系統(tǒng)參數(shù)S2：因?yàn)橹灰慕M數(shù)據(jù)就可以求解方程組，從而得到一組系統(tǒng)參數(shù)。但是由于誤差的影響，使得這些參數(shù)與總體參數(shù)的偏差程度不同。我們可以設(shè)定偏差門(mén)限，從而去除含有較大誤差的數(shù)據(jù)組。S3：對(duì)于剩余的數(shù)據(jù)對(duì)，選擇一組作為初始值采用前面提到的搜索算法搜索相鄰的下一組值，得到觀測(cè)時(shí)間間隔；S4：計(jì)算上一步計(jì)算得到的觀測(cè)時(shí)間間隔的中位數(shù)，根據(jù)預(yù)先設(shè)定比例門(mén)限，去除時(shí)間間隔不屬于中位數(shù)某一定義的鄰域的數(shù)據(jù)對(duì)。經(jīng)過(guò)以上步驟，在一定程度上去除了含有較大誤差的數(shù)據(jù)組，減少了數(shù)據(jù)量，對(duì)于后續(xù)的優(yōu)化過(guò)程具有重要作用。2，模型的建立及求解（1）DATA2系統(tǒng)由第二問(wèn)求解過(guò)程，我們知道的求解只與數(shù)據(jù)點(diǎn)有關(guān)。我們可以利用第一步數(shù)據(jù)預(yù)處理后的全體數(shù)據(jù)方程做極小范數(shù)最小二乘解，得到。由定理一參數(shù)C與系統(tǒng)觀測(cè)間隔成反比，而DATA2系統(tǒng)有給定的觀測(cè)間隔，所以與第二問(wèn)類似，建立的虛擬系統(tǒng)。假設(shè)DATA2中觀測(cè)時(shí)間相鄰的兩點(diǎn)在同一周期內(nèi)（第一點(diǎn)為初始值），則讓新系統(tǒng)采用與DATA2系統(tǒng)相同的初始值，經(jīng)過(guò)與第二問(wèn)類似的龍格-庫(kù)塔計(jì)算及搜索，搜索的目標(biāo)是x，y在新舊系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)值的均方差最小，DATA2系統(tǒng)的相鄰兩點(diǎn)的第二點(diǎn)反映到新系統(tǒng)內(nèi)就得到定理一中所示的新系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于DATA2系統(tǒng)的觀測(cè)時(shí)間，從而得到新系統(tǒng)觀測(cè)間隔，即：表9新系統(tǒng)與DATA2系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系DATA2系統(tǒng)新系統(tǒng)第一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)間隔觀測(cè)值x，y觀測(cè)間隔搜索值第二個(gè)觀測(cè)點(diǎn)根據(jù)定理一，經(jīng)過(guò)DATA2中150組數(shù)據(jù)的運(yùn)算，C可求（），對(duì)這150組數(shù)據(jù)采用最小二乘解，可求。DATA2中150組數(shù)據(jù)點(diǎn)和龍格-庫(kù)塔數(shù)值解的相軌圖如圖3，圖3DATA2中150組數(shù)據(jù)點(diǎn)和DATA2系統(tǒng)的龍格-庫(kù)塔數(shù)值解我們的目標(biāo)是讓x，y的均方誤差最小，由此建立目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)：約束：通過(guò)這個(gè)模型，我們可以直接求出滿足它的C值，，這個(gè)值是沒(méi)有經(jīng)過(guò)優(yōu)化的，DATA2系統(tǒng)可直接解出它的極小范數(shù)最小二乘解：，，根據(jù)，最優(yōu)解如表7所示，（我們將記為），我們定DATA2中的初始點(diǎn)表10DATA2系統(tǒng)的最優(yōu)解，，，，（2）DATA3系統(tǒng)DATA3中對(duì)建立與之相同的目標(biāo)規(guī)劃模型，也直接求出滿足它的C值，，這個(gè)值是沒(méi)有經(jīng)過(guò)優(yōu)化的，DATA3系統(tǒng)也可直接解出它的極小范數(shù)最小二乘解：，，根據(jù)，最優(yōu)解如表8所示，（我們將記為），我們同樣定DATA3中的初始點(diǎn)表11DATA3系統(tǒng)的最優(yōu)解3，所求模型與仿真結(jié)果比較DATA2中，對(duì)求出的最優(yōu)建立生態(tài)系統(tǒng)，把無(wú)誤差的觀測(cè)時(shí)間代入該系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)在無(wú)誤差觀測(cè)時(shí)間下x，y的值與DATA2中x，y的值有較大誤差，目標(biāo)＝7.37696260317394，同樣，對(duì)DATA3，對(duì)求出的最優(yōu)建立生態(tài)系統(tǒng)，把無(wú)誤差的觀測(cè)時(shí)間代入該系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)在無(wú)誤差觀測(cè)時(shí)間下x，y的值與DATA3中x，y的值的均方差＝33.47612623110470，也非常大，所以表7，表8中的值是非常不精確的，下面設(shè)計(jì)改良模型的方法。4，模型的改良（1）DATA3系統(tǒng)首先將DATA3中的初始點(diǎn)固定，修正新系統(tǒng)的C，取區(qū)間，采用二分法進(jìn)行搜索，當(dāng)二分法的搜索精度保證C精確到時(shí)就停止搜索，找到滿足該搜索目標(biāo)的作為改良的C值，這時(shí)的均方差＝1.19206591140184，確定值，反過(guò)來(lái)再修正，這里就包含了迭代的思想，由于C一定，且不變，則一定，我們認(rèn)為的修正值在DATA3的初始值附近，給定的（同C）為區(qū)間，對(duì)于各個(gè)不同的——與構(gòu)成不同系統(tǒng)，尋找使最小的系統(tǒng)，這通過(guò)對(duì)調(diào)用MATLAB語(yǔ)句做最小二乘曲線擬合來(lái)實(shí)現(xiàn)，這個(gè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的初值就是的修正值。，＝1.18427007187202綜上可見(jiàn)：未優(yōu)化的均方差＝33.47612623110470首先優(yōu)化C值，優(yōu)化后＝1.19206591140184，然后優(yōu)化初值，優(yōu)化后，＝1.18427007187202P值在第一次優(yōu)化之后的顯著下降，在第二次優(yōu)化之后進(jìn)一步下降，從而可以知道這種優(yōu)化方法是非常好的。至此，我們可以建立改良模型如下：目標(biāo)：約束：（2）DATA2系統(tǒng)DATA2系統(tǒng)采用與DATA3系統(tǒng)相同的優(yōu)化方法，計(jì)算得，＝0.25392540697850問(wèn)題四，假設(shè)連觀測(cè)資料的時(shí)間變量也含有誤差，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解。當(dāng)觀測(cè)資料的時(shí)間變量也含有誤差時(shí)，使得觀測(cè)時(shí)間的間隔含有更大的誤差。如上所述，求解時(shí)，相當(dāng)于求解相軌線方程，這與時(shí)間變量沒(méi)有關(guān)系，因此這四個(gè)參數(shù)的求解精度僅受觀測(cè)數(shù)據(jù)誤差的影響。同問(wèn)題三的求解過(guò)程，我們?cè)诘玫綍r(shí)，選取的新的觀測(cè)系統(tǒng)，則這是一個(gè)除初值外均確定的系統(tǒng)。設(shè)為搜索得到的時(shí)間間隔，該時(shí)間間隔與這兩組數(shù)據(jù)有關(guān)，搜索結(jié)果為時(shí)間間隔與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果時(shí)間沒(méi)有誤差，我們可以直接計(jì)算，但是由于時(shí)間誤差的存在，直接計(jì)算將會(huì)把時(shí)間上的誤差以倒數(shù)形式傳遞到上，當(dāng)較小時(shí)即使很小的時(shí)間誤差都會(huì)對(duì)結(jié)果造成巨大的影響。因此我們對(duì)以上常數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一下新的計(jì)算方法以降低誤差的影響。新的常數(shù)計(jì)算方法為。即選取連續(xù)若干組數(shù)據(jù)，每次均是從前一組搜索相鄰下一組數(shù)據(jù)，從上式可以看出經(jīng)過(guò)這樣的處理后，分母上是一段比較長(zhǎng)的時(shí)間間隔，兩個(gè)時(shí)間的誤差對(duì)間隔的影響將會(huì)大大降低，從而使得計(jì)算得到的常數(shù)更加穩(wěn)定。實(shí)際處理中還可以多次分組，對(duì)已經(jīng)比較穩(wěn)定的常數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合以進(jìn)一步降低誤差水平，提高數(shù)據(jù)精度。通過(guò)以上方法確定了常數(shù)，下面考慮優(yōu)化初值，方法同問(wèn)題三求解過(guò)程中的循環(huán)優(yōu)化方法。因?yàn)闀r(shí)間，觀測(cè)值均含有誤差，因此我們進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化高精度求解的目標(biāo)不應(yīng)該僅僅包含觀測(cè)數(shù)據(jù)的均方誤差，還應(yīng)該包含時(shí)間的均方誤差，即均方誤差和為，為DATA4系統(tǒng)時(shí)間觀測(cè)值，為觀測(cè)時(shí)間的估計(jì)值。根據(jù)以上分析，我們建立時(shí)間含有誤差下的單目標(biāo)非線性規(guī)劃模型目標(biāo)：約束：其中為DATA4系統(tǒng)時(shí)間觀測(cè)值，為新系統(tǒng)時(shí)間觀測(cè)值時(shí)間含有誤差情形下時(shí)間估計(jì)算法：S1：對(duì)于給定的數(shù)據(jù)組DATA4，進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理；S2：利用預(yù)處理結(jié)果數(shù)據(jù)計(jì)算；S3：預(yù)估數(shù)據(jù)周期；S4：搜索時(shí)間間隔，并估計(jì)；S5：對(duì)和初值進(jìn)行優(yōu)化；S5：代入?yún)?shù)和初始值計(jì)算均方誤差；DATA4系統(tǒng)可直接解出它的極小范數(shù)最小二乘解：（（，，））通過(guò)這個(gè)模型，我們可以直接求出滿足它的C值。經(jīng)過(guò)優(yōu)化獲得因?yàn)橛?jì)算時(shí)間問(wèn)題，我們沒(méi)有進(jìn)行初始值優(yōu)化。最終以第一組參數(shù)為初始值獲得的仿真數(shù)據(jù)中，兩變量和時(shí)間的均方差分別為Pxy=0.54933666827330，P=0.00711664554174綜合為P=0.77691196210573該值為取第一組參數(shù)為初始值條件下最優(yōu)。五、模型精度分析及評(píng)價(jià)模型精度分析：對(duì)于問(wèn)題一，我們利用全部六組無(wú)誤差觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)極小范數(shù)最小二乘解求解，在已知時(shí)簡(jiǎn)單的比例運(yùn)算得到模型參數(shù)。此過(guò)程誤差只能來(lái)自矩陣求逆過(guò)程和矩陣乘法運(yùn)算的截?cái)嗾`差，提高計(jì)算過(guò)程中數(shù)據(jù)精度就能夠提高模型參數(shù)的精度，直接來(lái)自真實(shí)的觀測(cè)數(shù)據(jù)精度得到自然保證；對(duì)于問(wèn)題二，利用四組數(shù)據(jù)得到，其精度依賴于數(shù)據(jù)運(yùn)算中的數(shù)據(jù)精度。在求解的過(guò)程中，我們采用了在微分方程數(shù)值解中搜索觀測(cè)數(shù)據(jù)從而確定時(shí)間間隔的方法。其精度受到微分方程數(shù)值解中步長(zhǎng)和搜索算法的影響，減小步長(zhǎng)，提高搜索深度均能夠提高的精度，從而提高的精度，直接來(lái)自