北理工理論力學(xué)講義第03章

1第3章復(fù)合運動9學(xué)時絕對運動、相對運動、牽連運動變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)點的復(fù)合運動的分析解法（不要求）動點的運動方程動點的速度和加速度

的解析表達式4.點的復(fù)合運動的矢量解法速度加速度5.剛體的復(fù)合運動（定理定理重點內(nèi)容，簡單介紹）剛體平面運動的角速度 定理剛體平面運動可分解為平移和轉(zhuǎn)動某類剛體的平面運動分解為兩個轉(zhuǎn)動作業(yè)3.6

3.7

3.8

3.9

3.11

3.15

3.18

3.19

3.21

3.22

速度分析

加速度分析2第3章復(fù)合運動本章主要內(nèi)容：物體的運動具有相對性。對于同一物體，若選取的參考空間不同，則其運動狀態(tài)也就不同。面的章節(jié)中，對物體運動的研究都是在同一個參考空間中進行的。本章將在兩個不同的參考空間中

同一物體的運動，并給出物體在這兩個參考空間中的運動量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。物體相對

間的運動可視為其相對于乙空間的運動和乙空間相對間運動的復(fù)合運動。本章介紹復(fù)合運動的基本知識。學(xué)習(xí)本章的意義：復(fù)合運動是研究剛體復(fù)雜運動的重要基礎(chǔ)。3第3章復(fù)合運動絕對運動相對運動牽連運動§3.11.

基本概念定參考系（定系）動參考系（動系）絕對運動相對運動牽連運動2.

舉例說明直升飛機車輪運動車輪上的點的運動吊車飛機螺旋槳偏心凸輪43.

復(fù)合運動研究對象在不同的參考空間中的運動狀態(tài)是不同的。這種差別是由于動系相對于定系有運動，即存在牽連運動所導(dǎo)致的。如果沒有牽連運動，研究對象的絕對運動和相對運動就沒有任何差別。如果物體作相對運動的同時還存在牽連運動，兩種運動的結(jié)果就是在定系中所看到的運動。換言之，當(dāng)已知研究對象的相對運動及牽連運動，則研究對象的絕對運動必為某一確定的運動。這說明研究對象的絕對運動可視為其相對運動和牽連運動的

運動，通常將這種

運動稱為復(fù)合運動。結(jié)論：物體（點或剛體）的相對運動與其隨同動系的牽連運動為物體的絕對運動，或者說，物體的絕對運動可分解為物體的相對運動和其隨同動系的牽連運動。分解（絕對運動）（相對運動）（牽連運動）注意：物體運動的

與分解是在兩個有相對運動的不同的參考空間中進行的，因此，必須明確研究對象、動參考系和定參考系。4.

運動

與分解的應(yīng)用12某些工程機構(gòu)，只有用上述方法才能求出機構(gòu)中各構(gòu)件的運動關(guān)系；實際問題需要在不同的參考空間研究物體的運動。這種利用動系和定系來分析運動的方法（或運動的與分解），不僅在工程技術(shù)上有廣泛應(yīng)用，而且還是在非慣性參考系中研究動力學(xué)問題的基礎(chǔ)。56§3.2

變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)目的：為了給出絕對與相對速度、加速度的關(guān)系，需要在兩個相對運動著的參考空間中

同一個變矢量的變化率。為此，本節(jié)引入矢量的絕對導(dǎo)數(shù)變矢量A和相對導(dǎo)數(shù)的概念，并研究它們之間的關(guān)系。其變化依賴于所選取的參考空間。定義其中一個空間為定系，另一個空間為動系。定系動系A(chǔ)eAA~t

t時刻A(t

t)A

(

t

)

A

(

t

)規(guī)定：絕對增量相對增量：A~

：Ae變矢量A

相對定系的增量。：A動系相對于定系發(fā)生方位的改變，A的方位改變而產(chǎn)生的增量。t

時刻A

(

t

)變矢量A相對動系的增

量。遷移

增量~A

A

Ae7絕對導(dǎo)數(shù)：dA~相對導(dǎo)數(shù)：dAdt絕對增量A相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為絕對導(dǎo)數(shù)。dt

相對增量~A相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為相對導(dǎo)數(shù)。推導(dǎo)絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：限于所學(xué)知識，僅 動系相對定系作平面運動情形，對于更復(fù)雜的運動，所得結(jié)論依然正確。

~

A

A

Ae增量。其中A是e由于動系相對定系發(fā)生方位改變，造成A的方向改變而產(chǎn)生的在這一變化過程中，矢量

A

的大小保持時刻t的值不發(fā)生變化，因此，當(dāng)

t足夠小，即動系作平面運動的角位移足夠小時，由附錄I.1知Ae

A則

~

A

A

AAt

t

tA

A

~

8A~tt0

t0t

tlim

A

lim

A

(

lim

)

t0t

lim

動系相對定系在t時刻的角速度矢量。t0

~

dt

dtdA

dA

A(3.1)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式上式表明：同一變矢量相對不同的參考空間其變化率一般不同，這種差別是由動系方位變化所引起的。動系作平移的特殊情況：當(dāng)動系作平移時，由于動系無方位改變，其角速度

0，因此在這特一殊情況下，變矢量A的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)相等，即dt

dt

~

dA

dA(3.2)9§3.4點的復(fù)合運動的矢量解法3.4.1

動點的運動方程(1)

確定參考點：O

定系中任一確定點O

動系中任一確定點(2)

動點M

的變化規(guī)律：rrOrOOM絕對運動方程

相對運動方程r

r(t)r

r(t)rO

rO(t)

點O相對點O的矢徑牽連運動方程在任意時刻t

r

(t)

rO

(t)

r

(t)(3.3)給出了動點的絕對運動方程、相對運動方程以及牽連運動為平面運動時的牽連運動方程。根據(jù)點的運動學(xué)知識，由此完全可求出該點相對于定系或動系的軌跡、速度、加速度及其在這兩個參考系中這些量之間存在的關(guān)系。103.4.2

動點的速度和加速度絕對速度：va動點M

相對于定系的速度

drva

(3.18)絕對加速度：aadt

dvaaa

dt(3.19)相對速度：vr動點M

相對于定系的加速度

dt~

dr

vr(3.20)相對加速度：動點M

相對于動系的加速度~dvar

r

dt(3.21)絕對導(dǎo)數(shù)絕對導(dǎo)數(shù)在動系中的相對導(dǎo)數(shù)在動系中的相對導(dǎo)數(shù)ar動點M

相對于動系的速度矢量解法的優(yōu)點：與第二章相類似，對于能構(gòu)成復(fù)合運動的機構(gòu)，如果需要求系統(tǒng)在某一瞬時的運動學(xué)量，這時用分析法求解則比較麻煩，如果用點的速度 定理和加速度定理所給出的矢量公式進行求解則很方便。113.4.3速度定理rrOrOOM已知：動點M

r

r

(t)r

(t)r

rOrO

(t)

動點M

相對定系的絕對矢徑為動點M

相對動系的相對矢徑為動空間參考點O的絕對矢徑為則

r

(t)

rO

(t)

r

(t)(3.3)其中3.18對時間

t求絕

對導(dǎo)數(shù)

，得dr

drO

dr

dt

dt

dt

vavOdrdtdrO動點M

的絕對速度動系參考點O相對定系的絕對速度dtdtdr（相對矢徑的絕對速度）dAdt

dt

~

dA3.1

Ae3.1dt~re

dr

r

3.20

vr動系的角速度12

va

vO

e

r

vr(3.32)定義牽連速度：在動空間中對動點M

的絕對運動產(chǎn)生直接影響的是此瞬時動系上與動點相重合的點N

。定義重合點N

相對定系的絕對速度為牽連速度，記作ve。則重合點N

的絕對速度為當(dāng)牽連運動為平面運動時，其角速度為e，

ve

vN

vO

e

r

(3.33)

va

ve

vr(3.34)于是速度

定理（矢量方程式，在任意瞬時均成立）速度

定理：在任一瞬時，動點的絕對速度等于其相對速度與牽連速度的矢量和。速度速度定理的適用范圍：定理雖然是在牽連運動為平面運動時推導(dǎo)所得，但當(dāng)牽連運動為其他形式的剛體運動時，依然成立。133.4.4

加速度定理加速度關(guān)系的推導(dǎo)：

（3.34）

d

vreva

v

vrd

va

d

vedtdt

dt

dt d

vO

aa

a

edt

edt

v

r

d

v（3.33）ddtdt

dt

r

d

r

d

d

vO

e

d

r

e

aO

e

r

e

A~

dtdt

dtdA

3.1

dA

eO

e

e(3.1)

dt

~

d

r

r

r

a

aO

e

r

e

vr

ee

r

定義牽連加速度：當(dāng)動系作平面運動時，動系上與動點重合點N

的絕對加速度，定義為牽連加速度。

ae

aO

e

r

e

e

r

(3.35)則dtd

ve

ae

e

vr(3.36)牽連速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于牽連加速度。14dtre

rdt

~ r

d

v（3.1）dve

rr

v

a

v(3.37)相對速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于相對加速度。

e

vr

的產(chǎn)生原因：

e

vr

的產(chǎn)生時由于相對運動和牽連運動同時存在的結(jié)果。在式(3.36)

中，由于相對運動的存在，在定系中看到的重合點不是動系中的固定不變點，由于重合點的改變而產(chǎn)生了該項附加加速度。在式(3.37)

中，由于牽連運動使得相對速度的方向在定系中發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加加速度。定義科氏加速度：法國人科里奧利（G.G.Coriolis

1792~1843）在1835年提出，(3.38)加速度aC

2e

vr定理：

aa

ae

ar

aC(3.39)加速度

定理的矢量公式，在任意瞬時均成立。15加速度 定理：任一瞬時動點的絕對加速度等于其相對加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和。適用于

的牽連運動。3.38

科氏加速度aC的大小和方向：aC

2e

vrC

ea

2(1)

大小、方向：

v

sin

revrCa

為e的正向與vr正向的夾角；

)。沿e和vr組成平面的法向，指向由右手法則決定((2)

特殊情況：當(dāng)

90時，

e

vraC

2evrevraC方向由vr

順e的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90?得到。16er

//

vCa

0

一般情況下，當(dāng)

0或

180

時，(3)

綜合上述：ervaCvr

rv

將vr

正交分解，得到vr

，

vr

，C

e

r大小

a

2

v

其方向為vr順e的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過

90?（如圖所示）時所指方向。17思考M

N

M

N

IIIO

OM

N

III動點：水管中的水滴M

，動系：與水管固連。絕對運動：未知曲線運動，相對運動：直線運動，牽連運動：隨水管的定軸轉(zhuǎn)動的圓周運動。rvveva以作勻速定軸轉(zhuǎn)動水管中的水滴M為動點，請分析對應(yīng)于式(3.39)中每一項的物理含義。aenea

0M

N

taraC大小方向r?2vrr2//

OM

OM

//

OM

OM0(3.39)

aaaa

ae

ar

aCan

atn

t

ae

ae

ar

aC

a

?v2aa

taa

n?

//

va

va18動，套筒B

和與其剛性連接的桿BD

又可繞B

軸轉(zhuǎn)動。已知OA

=BD

=r

，圖示瞬時桿OA

處于鉛垂位置，桿AC

與水平線的夾角

=30?，試求此時點D

的速度和加速度。例3.7

圖a

所示機構(gòu)中，曲柄

OA

以勻角速度0作定軸轉(zhuǎn)動，帶動桿

AC

在套筒

B

內(nèi)滑中動點為桿AC

上的點A

；動系與BD固連。如果改變動點和動系，又會如何呢？0OABC解法一(1)

運動分析：動點：桿AC

上的點B

；動系：與BD固連。(2)

速度分析：

vB

vA

vBAvB

va

va

ve

vr大小方向vAACvBA

vA

vBAr0

AB

AC

?

OA

ACvr

ve

vr0

?//ACD19沿

軸方向投影0OABCvAACvBAvrD

vA

sin

vBA

00AC

r

1

2r

0214AC

0(

)BD

4BD

AC

1

0(

)vDvD

BD

BD0

0

r

1

1

r4

4(方向

BD

)ve

vrvBAvA

沿

軸方向投影vA

cos

vr2vr

3

r0(3)

加速度分析：

n

taB

aA

aBA

aBA

aa

aB

aa

ae

ar

aC大小方向0OAB2C0DaA0//OAACBAanAC

naA

aBAr2

AB

2//BAACBAa

ttaBAar

AB

AC?

AB//BAaC

ae

ar

aC0

?

2BD

vr

AB沿

軸方向投影

aA

cos

at

aBA

C22 3

2r

AC

2BDvr0

r

283

AC

0(

)0832BD

AC

(

)Da

naDBDt210OCDaAACaBAnACA

aBAtar

aCBDDBanaDtBDDan

BD

22041

r

(

)20161

r(方向//BD)BDD

BD

at8320

r

(2083)

r(方向

BD)22解法二0OAB(1)運動分析：動點：套筒上的點B

；動系：與桿AC

固連。(2)

速度分析：

AB

AvA大小

0方向va

ve

vr

v

v

v

eva

vA

r0

O

AACvBAAB

AC

?

ACvBAvrC

vr?//ACD沿軸方向投影0

vA

sin

vBA

AC

0

4(

)沿軸方向投影rA0

v

cos

v

0r2v

3

r(

//AC

)23(3)

加速度分析：0OAD

ae

aA

aBA

aBA

n

taa

ae

ar

aC大小方向aa

aA0

Aaa

nBAACn

taBAr2

AB

20//OA

//BAAC

aBAAB

AC?

ABaBAt//AC

ar

aC?

2AC

vr

AB沿軸方向投影0

aA

cos

at

aB

AC0AC

rAC

32

2r

2

v0

r20

382

AC(

)BD083

2BD

AC

(

)

aDaCB

arCnaDt240OAD

Aaa

nBAACaBAtBD

aDaCB

arCnaDtBDDan

BD

22041

r

(

)20161

r(方向//BD)BDD

BD

at8320

r

(

)2083

r(方向

BD)25§3.5

剛體的復(fù)合運動3.5.1

剛體平面運動的角速度公式設(shè)剛體相對于地面固連的空間作平面運動，以剛體的平面圖形S代表剛體。x12xi2Ox1x21ee2Oi1SABareare1

2定系：

Ox

x

，

動系：

Ox

x

。1

2動系相對于定系作平面運動，圖形S相對于動系作平面運動。平面運動方位角隨時間的變化規(guī)律為r

r

ta

ae

e

t

t任一瞬時各方位角之間有如下關(guān)系a

r

e(3.40)對時間求導(dǎo)數(shù)

a

r

e

a

e

r(3.41)角速度轉(zhuǎn)向絕對角速度相對角速度牽連角速度a

ar

re

e26用矢量表示角速度aa

i3

rre3

eei3因為在運動過程中i3

e3r

ae(3.42)稱為剛體平面運動的角速度定理。對式(3.42)求導(dǎo)

a

e

r(3.43)dt

dter~d

d

d

d

a

e

r

dt r

d

rdt

dt

0rere

r

得到角加速度的關(guān)系273.5.2

剛體平面運動可分解為平移和轉(zhuǎn)動動系原點

與O圖形S上的點A鉸接，使動系與點A以相同的規(guī)律作平移。圖形S的絕對運動：圖形S的相對運動：圖形S的牽連運動：圖形S的平面運動繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動平面運動；繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動；與A同規(guī)律的平面平移。分解

與A同規(guī)律的平面平移。注意：點A的選取具有任意性。e

0由于牽連運動為平移，所以e

0，

a

r

a

r平面圖形S上任一點B的速度、加速度可由復(fù)合運動方法得到：x12xi1i2Ox1OSe2Ax2Bar

e1

28點B的相對運動：點B的牽連運動：以A為圓心，以AB為半徑的圓周運動；以A同規(guī)律的平移。點B的速度為(3.34)

va

ve

vr

點B的加速度為(3.39)

aa

ae

ar

aC

ABaB

aA

AB

vB

vA

vBA(2.21)

(2.24)

t

naB

aA

aBA

aBA以上兩式正是在第二章中得到的平面圖形上兩點速度與加速度關(guān)系，這些關(guān)系現(xiàn)在從復(fù)合運動的途徑得到的。通過上述的推導(dǎo)可進一步理解公式(2.21)和(2.24)中各項的物理含義。

vB

vA

AB

由于剛體的平面運動可以由平移和定軸轉(zhuǎn)動

得到，因此， 通常把平移和定軸轉(zhuǎn)動稱作剛體運動的基本形式。293.5.3

某類剛體的平面運動可分解為兩個轉(zhuǎn)動如果平面圖形S在運動過程中，其上有一點A到定系中某一固定點O的距離始終保持不變，那么點A在定系中的軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓周曲線。對于滿足上述條件的平面運動，引入動系和定系：Ox1x2

與O,A兩點連線固連；定系為Ox1x2，動系：x12xe11xx2i12e2i

OSAaBre動系相對于定系繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動，圖形S相對于動系繞A軸作定軸轉(zhuǎn)動。剛體的平面運動分解相對于動系繞A軸的 隨同動系繞O軸的定軸轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動（相對運動）

動（牽連運動）。由于軸O和A相互平行，因此又稱這樣的平面運動為繞兩平行軸轉(zhuǎn)動的

。30轉(zhuǎn)動偶在任意時刻(3.