2020高考文數(shù)必考題突破講座：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

咼考必考題突破講座(六)1?某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率(收益率=利潤(rùn)甘呆費(fèi)收入)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)試估計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的收益率的平均值；⑵設(shè)每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加x元，對(duì)應(yīng)的銷量為y(單位：萬(wàn)份).從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).x/元2530384552y/萬(wàn)份7.57.16.05.64.8由上表知x與y有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為y=10-bx.1求參數(shù)b的值；2若把回歸方程y=10-bx當(dāng)作y與x的線性關(guān)系，用⑴中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率，試問(wèn)每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)(注：保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入=每份保單的保費(fèi)x銷量).解析(1)收益率的平均值為0.05X0.1+0.15X0.2+0.25X0.25+0.35X0.3+0.45X0.1+0.55X0.05=0.275.25+30+38+45+52190(2)x=5=g=38，—7.5+7.1+6.0+5.6+4.8y=5=31于6.2.由y=10-bx得10-38b=6.2，解得b=0.1.②設(shè)每份保單的保費(fèi)為(20+x)元，則銷量為y=10-0.1x.則這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入為22f(x)=(20+x)(10—0.1x)萬(wàn)元.所以f(x)=200+8x-0.1x=360-0.1(x-40).所以當(dāng)x=40,即每份保單的保費(fèi)為60元時(shí)，保費(fèi)收入最大為360萬(wàn)元.預(yù)計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的最大利潤(rùn)為360X0.275=99(萬(wàn)元).2.A公司某網(wǎng)絡(luò)廣告A公司計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站選擇一個(gè)網(wǎng)站拓展廣告業(yè)務(wù)，為此隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站某月中10天的日訪問(wèn)量n（單位：萬(wàn)次），整理后得到如下莖葉圖.已知A公司要從網(wǎng)站日訪問(wèn)量的平均值和穩(wěn)定性兩方面進(jìn)行考察選擇.甲乙5]8a5122450256R652005斗0（1）請(qǐng)說(shuō)明A公司應(yīng)選擇哪個(gè)網(wǎng)站；（2）現(xiàn)將抽取的樣本分布近似看作總體分布，A公司根據(jù)所選網(wǎng)站的日訪問(wèn)量n進(jìn)行付費(fèi)，其付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表?求A公司每月（按30天計(jì)）應(yīng)付給選定網(wǎng)站的費(fèi)用S.解析（1）由莖葉圖可知212x甲=(15+24+28+25+30+36+30+32+35+45)勻0=30,s$=后X[(15—30)+(2422222222—30)+(28—30)+(25—30)+(30—30)+(36—30)+(30—30)+(32—30)+(35—30)+(45—30)2]=58,1x乙=(18+25+22+24+32+38+30+36+35+40)勻0=30,sl=和X[(18—30)2+(2522222222—30)2+(22—30)2+(24—30)2+(32—30)2+(38—30)2+(30—30)2+(36—30)2+(35—30)2+消費(fèi)次數(shù)收費(fèi)比例第1次第2次第3次第4次5次及以上0.950.900.8510.80該公司從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:消費(fèi)次數(shù)頻數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上55602010假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：（1）估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率；（2）某會(huì)員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；（3）該公司要從這100位里至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人,再?gòu)倪@8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品，求抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率.解析（1）100位會(huì)員中，至少消費(fèi)兩次的會(huì)員有40位，所以估計(jì)一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率為100=0.4.（2）該會(huì)員第1次消費(fèi)時(shí)，公司獲得的利潤(rùn)為200-150=50（元），第2次消費(fèi)時(shí)，公司50+40獲得的利潤(rùn)為200X0.95—150=40（元），所以公司獲得的平均利潤(rùn)為—=45（元）.（3）因?yàn)?0105：=42:1：1，所以用分層抽樣方法抽出的8人中，消費(fèi)2次的有4人，分別設(shè)為A1,A2,A3,A4，消費(fèi)3次的有2人，分別設(shè)為B1,B2,消費(fèi)4次和5次及以上的各有1人，分別設(shè)為C,D，從中抽出2人，抽到A1的有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,AQ,A1D，共7種；去掉A1后，抽到A2的有A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2C,A2D，共6種；……去掉A1,A2,A3,A4,B1,B2后，抽到C的有CD，共1種，總的抽取方法有7+6+5+4+3+2+1=28（種），其中恰有1人消費(fèi)兩次的抽取方法有4+4+4+4=16（種），所以抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率為16=428=7.4.（2018全國(guó)卷I）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)3[0.2,0.3)2[0.3,0.4)4[0.4,0.5)9[0.5,0.6)26[0.6,0.7)5頻數(shù)1使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)?解析(1)頻率分布直方圖如圖所示.⑵根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.1⑶該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為x1=不X(0.05X1+0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.48.該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用1水量的平均數(shù)為x2=X(0.05X1+0.15X5+0.25X13+0.35X10+0.45X16+0.55X5)=5.某小學(xué)為迎接校運(yùn)動(dòng)會(huì)的到來(lái)，在三年級(jí)招募了16名男志愿者和14名女志愿者.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別各有10人和6人喜歡運(yùn)動(dòng)，其余人員不喜歡運(yùn)動(dòng).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表；喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)男女總計(jì)(2)是否有95%的把握認(rèn)為性別與喜歡運(yùn)動(dòng)有關(guān)，并說(shuō)明理由；(3)如果喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中恰有4人懂得醫(yī)療救護(hù)，現(xiàn)從喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中抽取2名負(fù)責(zé)處理應(yīng)急事件，求抽出的2名志愿者都懂得醫(yī)療救護(hù)的概率.2nc,n=a+b+c+d.附：K=(a+b(c+d(a+c(b+d)20.0503.8410.0255.0240.0106.6350.001P(K>ko)ko10.828解析⑴依題意，2X2列聯(lián)表如下喜歡運(yùn)動(dòng)不喜歡運(yùn)動(dòng)總計(jì)16男10668女14總計(jì)161430量.注：年份代別對(duì)應(yīng)年份20Dfi-20l4.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;附注:參考公式:0.99，說(shuō)明y與tAAA回歸方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為解析（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得—=4,7_7—7—二(ti—t)(yi—y)=二.御一t二y=40.17i=1i=1i=1289-4X9?32=2?89，r-0.55X2X2.646^。恥因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.7、ti—tyi—yi=1一932A289A一A一⑵由y=〒~1.331及⑴得b==右?0.103,a=y—bt=1.331遲(ti—tfi=1—0.103X4~0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y=0.92+0.10t.將2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程得y=0.92+0.10X9=1.82.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.82億噸.7.(2019蓉城名校聯(lián)考)成都市現(xiàn)在已是擁有1400多萬(wàn)人口的城市，機(jī)動(dòng)車保有量已達(dá)450多萬(wàn)輛，成年人中約40%擁有機(jī)動(dòng)車駕駛證.為了解本市成年人的交通安全意識(shí)情況，某中學(xué)的同學(xué)利用國(guó)慶假期進(jìn)行了一次全市成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查.先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對(duì)這200人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查?這200人所得的分?jǐn)?shù)都分布在[30,100]范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.擁有駕駛證沒(méi)有駕駛證合計(jì)具有很強(qiáng)安全意識(shí)不具有很強(qiáng)安全意識(shí)合計(jì)58200(1)補(bǔ)全上面的2X2列聯(lián)表，并判斷能否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“’具有很強(qiáng)安全意識(shí)’與是否擁有駕駛證”有關(guān)？⑵若規(guī)定參加調(diào)查的200人中分?jǐn)?shù)在70以上(含70)的為“具有較強(qiáng)安全意識(shí)”，從參加調(diào)查的200人中根據(jù)是否具有較強(qiáng)安全意識(shí)，按分層抽樣的方法抽出5人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，試求抽取的3人中恰有1人“具有較強(qiáng)安全意識(shí)”的概率.附表及公式：K2=n—bc，其中n=a+b+c+d.(a+bj(c+d[a+c]b+d)20.150.100.050.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001P(K>kg)k02.0722.7063.84110.828解析(1)200人中擁有駕駛證的占40%，有80人，沒(méi)有駕駛證的有120人；具有很強(qiáng)安全意識(shí)的占20%，有40人，不具有很強(qiáng)安全意識(shí)的有160人.補(bǔ)全的2X2列聯(lián)表如表所示：擁有駕駛證沒(méi)有駕駛證合計(jì)具有很強(qiáng)安全意識(shí)221840不具有很強(qiáng)安全意識(shí)合計(jì)588010212016020022200X22X102-18X5875有很強(qiáng)安全意識(shí)’與是否擁有駕駛證”有關(guān).(2)5人中不具有較強(qiáng)安全意識(shí)的有3人，分別記為A,B，C,“具有較強(qiáng)安全意識(shí)”的有2人，分別記為d，e,易知這是一個(gè)古典概型.則從5人中隨機(jī)抽取3人構(gòu)成的所有基本事件為(A,B,C),(A,B,d),(A,B,e),(A,C,d),(A,C,e),(A,d,e),(B,C,d),(B,C,e),(B,d,e),(C,d,e),共10種；抽取的3人中恰有1人“具有較強(qiáng)安全意識(shí)”所包含的基本事件為(A,B,d),(A,B,e),(A,C,d),(A,C,e),(B,C,d),(B,C,e),共有6種?所以抽取的3人中恰有1人“具有較強(qiáng)安全意識(shí)”的概率P=10=5.&某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響?對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)x和年銷售量丫訛=620-60C-1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.3436384042444^4?50525456年宣傳費(fèi)/干九xywX(Xi—x)2i=18X(W—w)2i=18—送(xi—x)?i=1(yi—y)8Z(wi—w)?i=1(yi—y)46.65636.8289.81.61469108.81,8表中Wi=Xi,w=■wi.8；=(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx與y=c+d.x哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)⑵根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；⑶已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)⑵的結(jié)果回答下列問(wèn)題:1年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？2年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(U1,Vi)，(U2,V2)，…，(Un,Vn)，其回歸直線V='+缶的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：n'Ui-UVi-"VAJUi-匚2i=13U.解析(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d,x適宜作為年銷售量y關(guān)于宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.⑵令w=\'x，先建立y關(guān)于3的線性回歸方程.8__刀(3—3(yi—y),尸1、A丿108.8A—A—ulA由于d=8==68,c=y—d3=563—68x6.8=100.6,所1.6刀