全國2021年4月自學(xué)考試04184線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

全國2021年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題5分，共10分。在每小題列出的備選項中只有一項是最符合題目要求的，請將其選出。1．已知4階行列式的某一行元素及其余子式都為，則（A）1-5A．0 B．C． D．【解析】在中劃去元素所在的第行和第列后剩下的行和列元素，按原來的相對順序組成一個階行列式，記為，即，稱為元素的余子式。所以題目中4階行列式的某一行元素及其余子式都為，即余子式為，可得由行列式的性質(zhì)3推論可得，行列式中有兩行相同，此行列式的值等于零，故.2．設(shè)3階矩陣可逆，則（A）2-10A． B．C． D．【解析】伴隨矩陣行列式由逆矩陣公式可得把看成一個整體則兩邊同時左乘可得即所以。3．設(shè)向量長度依次為2和3，則向量與的內(nèi)積（D）5-6A．13 B．6C．5 D．－5【解析】根據(jù)向量長度的定義：，則，由向量內(nèi)積的性質(zhì)可得：4．齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是矩陣的（B）4-2A．列向量組線性相關(guān) B．列向量組線性無關(guān)C．行向量組線性相關(guān) D．行向量組線性無關(guān)【解析】設(shè)矩陣齊次線性方程組僅有零解，即相當(dāng)于當(dāng)且僅當(dāng)時成立，其中為的列向量組所以的列向量組線性無關(guān)。5．設(shè)矩陣，則與的關(guān)系為（C）6-2A．相似但不合同 B．合同但不相似C．合同且相似 D．不合同也不相似【解析】矩陣的特征值為求矩陣的特征值：解得：由于矩陣與都是對稱矩陣，且特征值相同，所以矩陣與相似。（教材第184頁）將矩陣化為二次型化為標準型為可得正慣性指數(shù)為1矩陣的正慣性指數(shù)為1且矩陣與都有相同的秩故矩陣與合同。（對稱矩陣與合同當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)）二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分。6．設(shè)行列式中元素的代數(shù)余子式為，則_____.1-2解：0【解析】由代數(shù)余子式的公式，（為元素的余子式）可得，所以7．設(shè)3階矩陣滿足，則_____.2-5解：36【解析】由方陣行列式的性質(zhì)2可得：由方陣行列式的性質(zhì)3可得：又因為矩陣的逆的行列式為行列式的逆：故8．設(shè)向量與正交，則數(shù)_____.5-8解：2【解析】由向量正交的定義得即解得9．設(shè)矩陣，則_____.2-1解：【解析】10．設(shè)矩陣，則_____.2-7解：【解析】，由逆矩陣公式可得11．設(shè)是3階非零矩陣，，且，則_____.4-2解：1【解析】滿足，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧邢蛄拷M都是的解設(shè)，則方程組最多有個線性無關(guān)的解，所以且，所以，又因為是3階非零矩陣，所以12．設(shè)向量組，，，若存在不全為零的常數(shù)，使得，則數(shù)_____.3-5解：32【解析】由題可知向量組線性相關(guān)，根據(jù)個維列向量線性無關(guān)由此可得線性相關(guān)必有故，解得13．設(shè)3階矩陣的各行元素之和均為0，，齊次線性方程組通解為_____.4-3解：，為任意常數(shù)【解析】由3階矩陣的各行元素之和均為0，可得：，所以向量是它的一個基礎(chǔ)解系。又由于的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)為故齊次線性方程組通解為，為任意常數(shù)。14．若矩陣滿足，則必有一個特征值為_____.5-2解：【解析】假設(shè)有一個特征值為，則必存在某個維非零列向量滿足：為方程組的非零解，則為階方陣，有為階方陣題目已知，由行列式性質(zhì)得解得15．設(shè)二次型正定，則的取值范圍為_____.6-7解：【解析】由題可得二次型矩陣為正定二次型，即的所有順序主子式，解得：，解得：綜上，有：三、計算題：本大題共7小題，每小題9分，共63分。16．計算4階行列式.1-5解：（4分）（9分）【解析】17．己知向量，求（1）；（2）.2-1解：（1）（5分）（2）（9分）【解析】（1）（2）由于18．已知矩陣，矩陣滿足關(guān)系式，求.2-9解：由可得由，故可逆.從而（5分）故（9分）【解析】由可得由，由階矩陣為可逆矩陣，故可逆.兩邊同時左乘得：由逆矩陣公式可得故19．求向量組，，，的秩和一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用所求的極大線性無關(guān)組表出.3-9解：對矩陣進行初等行變換，（6分）所以向量組的秩為3，為一個極大線性無關(guān)組，（9分）（答案不惟一）【解析】構(gòu)造矩陣所以向量組的秩為3，為一個極大線性無關(guān)組，20．設(shè)線性方程組當(dāng)為何值時，方程組無解？有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解（要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.4-8解：對增廣矩陣做初等行變換：（4分）（1）當(dāng)時，，，，方程組無解。（6分）（2）當(dāng)時，，方程組有無窮多解。故非齊次線性方程組的通解為，為任意常數(shù)（9分）【解析】對非齊次線性方程組的增廣矩陣做初等行變換：（1）當(dāng)時，，，，方程組無解。（2）當(dāng)時，，方程組有無窮多解。即得同解方程組為令得一組特解：導(dǎo)出組的同解方程組：當(dāng)和時，得一組基礎(chǔ)解系：，故非齊次線性方程組的通解為，為任意常數(shù)。21．求矩陣的特征值與特征向量.5-1解：由得的特征值為，（4分）當(dāng)時，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系，對應(yīng)的全部特征向量，是不全為零的任意常數(shù)。（7分）當(dāng)時，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，對應(yīng)的全部特征向量，為非零任意常數(shù)。（9分）【解析】的特征方程為，即解得：，當(dāng)時，求解齊次線性方程組即：對系數(shù)矩陣做初等行變換，有：同解齊次線性方程組為：令和得基礎(chǔ)解系，對應(yīng)的全部特征向量，是不全為零的任意常數(shù)。當(dāng)時，求解齊次線性方程組即，同解齊次線性方程組為：令得基礎(chǔ)解系，對應(yīng)的全部特征向量，為非零任意常數(shù)。22．已知二次型經(jīng)正交變換化為標準形，求正交矩陣.6-3解：二次型矩陣，有題設(shè)知，特征值為（4分/r