反比函數(shù)圖像上四種三角形的面積知識(shí)點(diǎn)分析人教版

反比函數(shù)圖像上四種三角形的面積反比例函數(shù)的圖像經(jīng)常與三角形的面積聯(lián)系在一起，下面就舉例說明。一、三角形面積的四個(gè)結(jié)論結(jié)論1、過反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，向x軸作垂線，則以圖像上這個(gè)點(diǎn)、垂足，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于反比例函數(shù)k的絕對(duì)值的一半。如圖1所示，設(shè)P（a，b）是反比例函數(shù)y=（k≠0）圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥x軸，垂足為A，三角形PAO的面積是S，則|k|=2S。結(jié)論2、過反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，向y軸作垂線，則以圖像上這個(gè)點(diǎn)、垂足，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于反比例函數(shù)k的絕對(duì)值的一半。如圖2所示，設(shè)P（a，b）是反比例函數(shù)y=（k≠0）圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PB⊥y軸，垂足為B，三角形PBO的面積是S，則|k|=2S。結(jié)論3、正比例函數(shù)y=k1x（k1＞0）與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作AC⊥x軸，垂足是C，三角形ABC的面積設(shè)為S，則S=|k|，與正比例函數(shù)的比例系數(shù)k1無關(guān)。如圖3所示。證明1：因?yàn)椋壤瘮?shù)y=k1x（k1＞0）與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，所以，，所以，x=±，當(dāng)x=時(shí)，y=k1x=，所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，），當(dāng)x=-時(shí)，y=k1x=-，所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-，-），所以，OC的長(zhǎng)度是，三角形ABC的面積=三角形AOC的面積+三角形BOC的面積=×OC×AC+×OC×BD=××+××|-|=k+k=k。所以，與k1無關(guān)。證明2、根據(jù)結(jié)論1，知道三角形AOC的面積是k，三角形BOC的面積=×OC×BD××|-|=k，所以，三角形ABC的面積=k。結(jié)論4、正比例函數(shù)y=k1x（k1＞0）與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作AC⊥x軸，過B點(diǎn)作BC⊥y軸，兩線的交點(diǎn)是C，三角形ABC的面積設(shè)為S，則S=2|k|，與正比例函數(shù)的比例系數(shù)k1無關(guān)。如圖4所示。因?yàn)?，正比例函?shù)y=k1x（k1＞0）與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，所以，，所以，x=±，當(dāng)x=時(shí)，y=k1x=，所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，），當(dāng)x=-時(shí)，y=k1x=-，所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-，-），所以，OC的長(zhǎng)度是，三角形ABC的面積=三角形AOE的面積+三角形BOD的面積+矩形ODCE的面積=×OE×AE+×OD×BD+OD×DC=××+×|-|×|-|+×|-|=k+k+k=2k。所以，與k1無關(guān)。二、結(jié)論的具體應(yīng)用這些結(jié)論，在解答中考數(shù)學(xué)中選擇題、填空題都是非常有效的。下面就舉例說明。例1、如圖5，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，的面積為3，則．（08年巴中市）分析：根據(jù)結(jié)論1，知道面積S與k之間有如下的關(guān)系：|k|=2S，S=3，所以，|k|=6，所以，k=6或者k=-6，因?yàn)閳D像分布在二、四象限，所以，k＜0，所以k=-6.解：-6.例2、兩個(gè)反比例函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象，如圖6所示，點(diǎn)P在y=的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交y=的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在y=的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)．（08年湖北省咸寧市）分析：因?yàn)?，點(diǎn)A、B都在反比例函數(shù)y=的圖像上，根據(jù)結(jié)論1和結(jié)論2，知道;ODB與△OCA的面積相等,所以，①是正確的；如圖7所示，連接OP，根據(jù)結(jié)論1知道，三角形POC的面積為k，是個(gè)常數(shù)，三角形OAC的面積是，所以，三角形PAO的面積是k-，是個(gè)常數(shù)，根據(jù)結(jié)論2知道，三角形POD的面積為k，是個(gè)常數(shù)，三角形OBD的面積是，所以，三角形PBO的面積是k-，是個(gè)常數(shù)，所以，四邊形PBOA的面積等于三角形PAO的面積+三角形PBO的面積=k-+k-=k-1，是一個(gè)定值，所以②是正確的；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），因?yàn)椋c(diǎn)P在的圖象上，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)，因?yàn)?，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，所以，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，所以，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，）；因?yàn)椋琍D⊥y軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，所以，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為n，所以，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，n），PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=，分?jǐn)?shù)的分子是相同的，但是，分母不同，只有當(dāng)m=n時(shí)，PA=PB才能成立，所以，即③是不正確的；當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，有PA=AC即=，所以，mn=2，即k=2，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），所以，點(diǎn)B是PD的中點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)．即④是正確的；因此，一定正確的是①②④.解：正確的結(jié)論是①②④.如圖8，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B，P為AB上一點(diǎn)且PC為△AOB的中位線，PC的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)的圖象于Q，，則k的值和Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為_________________________.簡(jiǎn)析：根據(jù)結(jié)論1知道：因?yàn)閗是大于0的，所以，k=2S=2×=3，即y=，設(shè)Q的坐標(biāo)為（m，n），則mn=3，因?yàn)椋淮魏瘮?shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B，所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2），所以，線段OA=4,因?yàn)?，PC為△AOB的中位線，所以，點(diǎn)C是線段OA的中點(diǎn)，所以，OC=2,即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m=2，所以，n=，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）。例4、如圖9，反比例函數(shù)y=