2023屆浙江平陽中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)P為拋物線上的一動點(diǎn),,若,則的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.42.定義域為R的偶函數(shù)滿足任意,有,且當(dāng)時,.若函數(shù)至少有三個零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.3.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.4.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.7.若集合,,則=()A. B. C. D.8.已知是等差數(shù)列的前項和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.209.?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④10.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.1911.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.12.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________14.已知數(shù)列的前項和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________.15.已知數(shù)列中,為其前項和,,,則_________,_________.16.設(shè)命題:,,則:__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,,.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.18.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)設(shè),若存在兩個極值點(diǎn),,且,求證:;(2)設(shè),在不單調(diào),且恒成立,求的取值范圍.(為自然對數(shù)的底數(shù)).20.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計情況如下表:同意不同意合計男生a5女生40d合計100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的方程為.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程,并求出直線l與曲線C的交點(diǎn)M,N的極坐標(biāo);(2)設(shè)P是橢圓上的動點(diǎn),求面積的最大值.22.(10分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為,代入得:,由根與系數(shù)的關(guān)系得,,從而得到,同理可得,再利用求得的值,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可知拋物線的焦點(diǎn)為,則直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,代入得:.由根與系數(shù)的關(guān)系得,,所以.又直線CD的方程為,同理,所以,所以.故.過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得.所以,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時,等號成立.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意取最值的條件.2、B【解析】

由題意可得的周期為,當(dāng)時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點(diǎn),畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng),當(dāng),作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個零點(diǎn),則的圖像和的圖像至少有個交點(diǎn),,若,的圖像和的圖像只有1個交點(diǎn),不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點(diǎn),則有,即,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考??嫉臒狳c(diǎn)問題,屬于中檔題.3、C【解析】

畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.4、D【解析】

由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進(jìn)而可知當(dāng)時,;當(dāng)時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.5、C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.6、B【解析】

根據(jù)兩個函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7、C【解析】試題分析:化簡集合故選C.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.8、C【解析】

利用等差通項,設(shè)出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】

利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點(diǎn),,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.10、B【解析】

計算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時,,即,且.故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學(xué)生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.11、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.12、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,將直線進(jìn)行平移,利用的幾何意義,可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值?!驹斀狻坑?,得,作出可行域,如圖所示:平移直線,由圖像知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,截距最小,此時取得最大值。由,解得,代入直線,得?!军c(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。14、20,21【解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時,,.當(dāng)時,,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關(guān)鍵.15、8(寫為也得分)【解析】

由,得,.當(dāng)時,,所以,所以的奇數(shù)項是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列.則,.16、,【解析】

存在符號改任意符號,結(jié)論變相反.【詳解】命題是特稱命題,則為全稱命題,故將“”改為“”,將“”改為“”,故:,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全(特)稱命題.對全(特)稱命題進(jìn)行否定的方法:(1)改寫量詞:全稱量詞改寫為存在量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;(2)否定結(jié)論:對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)45°【解析】

(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導(dǎo)出,從而平面,則,即,進(jìn)而平面,推導(dǎo)四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點(diǎn),在平面中過B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點(diǎn),∴.設(shè)的中點(diǎn)為,連接.設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點(diǎn).易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè).則,,,,顯然平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通??刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進(jìn)行求解.18、(1)(2)32【解析】

利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),等號成立,即,,時,等號成立,∴的最大值為32.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式的靈活運(yùn)用;其中利用構(gòu)造出和為定值即為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯點(diǎn);屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)先求出,又由可判斷出在上單調(diào)遞減,故,令,記,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可;(2)由在上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解,可得,令,分類討論求的最大值,再求解即可.【詳解】(1)已知,,由可得,又由,知在上單調(diào)遞減,令,記,則在上單調(diào)遞增;,在上單調(diào)遞增;,(2),,在上不單調(diào),在上有正有負(fù),在上有解,,,恒成立,記,則,記,,在上單調(diào)增,在上單調(diào)減.于是知(i)當(dāng)即時,恒成立,在上單調(diào)增,,,.(ii)當(dāng)時,,故不滿足題意.綜上所述,【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、(1),有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān);(2)詳見解析.【解析】

(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)

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