2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題五立體幾何中熱點(diǎn)問題課件

專題五立體幾何中熱點(diǎn)問題題型一平面圖形的翻折問題

平面圖形翻折為空間圖形問題，重點(diǎn)考查平行、垂直關(guān)系，解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化，根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征.[例1](2021年中衛(wèi)模擬)如圖5-1，四邊形ABCD中，分別是線段AD，CD的中點(diǎn).以EF為折痕把△DEF折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，G為線段PB的中點(diǎn).

圖5-1(1)證明：平面GAC∥平面PEF；(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直線AG與平面PAC所成角的正弦值.

(1)證明：連接

CE，由題意知，四邊形ABCE為正方形，連接BE交AC于O，連接OG，所以O(shè)為BE中點(diǎn)，如圖5-2所示，圖5-2又因為G為PB中點(diǎn)，所以O(shè)G∥PE，因為E，F(xiàn)分別為AD，CD中點(diǎn)，所以AC∥EF，因為OG∩AC＝O，PE∩EF＝E，AC，OG?平面GAC，PE，EF?平面PEF，所以平面GAC∥平面PEF.(2)解：建立如圖5-3所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：圖5-3【題后反思】三步解決平面圖形翻折問題【互動探究】(1)(2)

圖5-4(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PA的中點(diǎn)，求二面角P-BC-M的余弦值.(1)證明：如圖D63，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO.圖D63因為在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，因為AC∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，所以PO⊥平面ABC，因為PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

(2)由(1)可知，PO⊥OB，PO⊥AC，OB⊥AC，以O(shè)C，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(－1,0,0)，P(0,0,1)，題型二探索性問題

[例2](2021年上饒模擬)如圖5-5所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).圖5-5

(2)由題意可得D1D⊥平面ABCD，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖5-6所示的空間直角坐標(biāo)系，圖5-6則D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1,0)，【題后反思】

(1)解決探索性問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論成立或?qū)ο蟠嬖?，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，則說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；否則不成立，即不存在.

(2)在棱上探尋一點(diǎn)滿足各種條件時，要明確思路，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用共線向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求點(diǎn)坐標(biāo)用λ表示，再根據(jù)條件代入，注意λ的范圍. (3)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將空間中的探索性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題進(jìn)行處理.【互動探究】

2.如圖5-7所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.圖5-7(1)求證：EF⊥平面BCF；

(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.(1)證明：設(shè)

AD＝CD＝BC＝1，∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3，∴AB2＝AC2＋BC2，則BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，CF，BC?平面BCF，∴AC⊥平面BCF.∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.

(2)解：以

C

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖D64所示的空間直角坐標(biāo)系，圖D64

題型3立體幾何的綜合應(yīng)用

[例3]如圖5-8(1)所示，正方形的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖5-8(2)所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上.(1)(2)圖5-8

(1)若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；

(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°？若存在，求此時二面角M-EC-F的余弦值；若不存在，說明理由.解：(1)因為直線MF?平面ABFE，

故點(diǎn)O在平面ABFE內(nèi)也在平面ADE內(nèi)，所以點(diǎn)O在平面ABFE與平面ADE的交線上，如圖5-9所示，圖5-9

因為AO∥BF，M為AB的中點(diǎn)，

所以△OAM≌△FBM，

所以O(shè)M＝MF，AO＝BF，所以點(diǎn)O在EA的延長線上，且AO＝2，

連接DF交EC于點(diǎn)N，因為四邊形CDEF為矩形，所以N是EC的中點(diǎn)，

連接MN，因為MN為△DOF的中位線，

所以MN∥OD，平面EMC，所以直線

又因為MN?平面EMC，ODOD∥平面EMC.

(2)假設(shè)存在，則由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE，

取AE的中點(diǎn)H，過H作HG⊥FB于點(diǎn)G，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以HA，HG，HD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖5-10所示的空間直角坐標(biāo)系，圖5-10所以t2－4t＋3＝0，解得t＝1或t＝3，所以假設(shè)成立，即存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°.取ED的中點(diǎn)Q，因為EF⊥平面ADE，QA?平面ADE，所以QA⊥EF，【題后反思】

(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).

(2)平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.

【互動探究】

3.如圖5-11(1)所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于點(diǎn)，將EADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如圖5-11(2)所示.(1)(2)圖5-11(1)證明：因為A1D⊥BE，DE⊥BE，A1D∩DE＝D，A1D，DE?平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE