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文檔簡介
第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽初賽試卷(初一組)一、選擇題(每小題10分,共60分,以下每題的四個選項中,僅有一個是正確的,請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內.)代數(shù)和—lx2008+2X2007-3x2006+4x2005+L-1003x1006+1004x1005的個位數(shù)字是()A.7B.8C.9D.0【答案】B【解析】只需考察每個組合的個位數(shù)的乘積,發(fā)現(xiàn)這2015個的組合中,個位數(shù)的乘積每十個一循環(huán),觀察這個循環(huán)中的乘積和:—1x8+2x7—3x6+4x5—5x4+6x3—7x2+8x1—9x0+0x9=0,因此每個循環(huán)的個位數(shù)和為0,觀察最后循環(huán)外的幾個數(shù)的乘積和:—1x8+2x7—3x6+4x5=8。因此最后得到的個位數(shù)為8已知-1vavbv0,則下列不等式成立的是()A.a<a3<ab2<abB.a<ab2<ab<a3C.avabvab2va3D.a3vab2vavab【答案】A【解析】a,a3,ab2,ab中易知只有ab>0,故ab最大,排除B,C;另外由于—1<a<0得a2<1,即a<a3,排除D,所以選A3.在數(shù)軸上,點A和點B分別表示數(shù)a和b,且在原點O的兩則,若a—b2016,AO=2BO,則a+b=()A.6048B.—6048C.+672D.0【答案】C【解析】由|a—b\=2016且A,B在0點兩側以及”|=2\b\知a,b的解有兩種可能性:21i.a>0,b<0則可解得a=3x2016=1344,b=—3x2016=—672,a+b=672ii.a<0,b>0同樣可得a+b=—672
4.如右圖所示,三角形ABC是直角三角形,Z4.如右圖所示,三角形ABC是直角三角形,ZABC=60o,若在直線AC或BC上取一點P,使得三角形PAB為等腰三角形,那么這樣的點P的個數(shù)為(A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】考察不同的等腰三角形的頂角:若P為頂角,則P必位于AB的中垂線上,而AB中垂線與直線AC,AB的交點有兩個,故這樣的等腰三角形有2個;若A為頂角,則AB為其中一條腰,將線段AB繞A點旋轉,與直線AC,AB的交點有三個,但是由于ZABC=60。,此旋轉后的直線與BC延長線的交點與以P為頂點的一個三角形重合,故這樣不同的等腰三角形有2個;若B為頂角,同樣AB為其中一條腰,將線段AB繞B點旋轉,與直線AC,AB的交點同樣有三個,同樣與P為頂點的一個三角形重合,故不同的三角形只有2個;綜上這樣的點P的個數(shù)為6個。5.如右圖,乙是主河流甲的支流,水流流向如箭頭所示。主流和支流的水流速度相等,船在主流和支流中的靜水速度也相等。已知AC=CD,船從A處經(jīng)C開往B處需用6小時,從B經(jīng)C到D需用8小時,從D經(jīng)C到B需用5小時。則船從B經(jīng)C到A,再從A經(jīng)C到D需用()小時。11用()小時。11A.13-B.12-33答案】B解析】設AC=CD=a,CB=b,ab+=6v-sv+sab+=8v—sv—sab+-5v+sv+s由后兩個式子可以得到C.111D.10133靜水速度為v,水流速度為s。由題意得代入第一個式子化簡得到b=2aa+b船從B經(jīng)C到A,再從A經(jīng)C到D需用時:ba2a一.8521a+8bv++=(2a+b)+a=一sv+sv一sa+ba+ba+b將b=2a代入得到21a+8b21a+16a37a+ba+2a33
6.甲、乙、丙、丁四種商品的單價分別為2元,3元,5元和7元,現(xiàn)從中選購了6件共花費了36元。如果至少選購了3種商品,則買了()件丁商品。A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】由于至少選購了3中產(chǎn)品,故丁產(chǎn)品最多買4件,如果丁產(chǎn)品少于4件,則6件總花費<7x3+5x2+3xl=33元,矛盾,故丁必須買4件;同時如果丁買4件,丙與乙各買一件,總花費正好是36元。綜上丁買了4件、填空題(每小題10分,共40分)7.如右圖,在平行四邊形ABCD中,AB二2AD,點O為平行四邊形內一點,它到直線AB,BC,CD的距離分別為a,b,c,且它到AD和CD的距離相等,貝^a-b+c=?!敬鸢浮?【解析】考察平行四邊形的兩條高,AB為底邊的高為a+c,AD為底邊的高為b+c,由面積不變定理有S=AB\(a+c)=AD(b+c),得b+c=2(a+c),即2a+c—b=08.如右圖所示,韓梅家的左右兩側各擺了3盆花,韓梅每次按照以下規(guī)貝往家中搬一盆花:先選擇左側還是右側,然后搬該側離家最近的,要把所有的花搬到家里,共有種不同的搬花順序。答案】20解析】韓梅每次只能選擇搬左側或者右側的花,左側和右側分別只能選擇三次,我們將三個左和三個右組成的排列(例如:左左右左右右是一種排列)分別對應一種搬花的順序,并且不同的排列對應不同的搬花的順序。所以三個左和三個右組成的排列的個數(shù)與搬花順序的個數(shù)相同。故只需考慮所以三個左和三個右組成的排列的個數(shù)。對于這種排列只需要考慮在6個位置中選擇三個為左的個數(shù),這樣的個數(shù)一共有C3=20。6
9.如右圖,在等腰梯形ABCD中,ABIICD,AB=6,CD=14,【答案】84【解析】ZAEC=90。,CE=CB,則AE2=.【答案】84【解析】DGFCAG=BF=h,CG=10,CF=4AC2=AG2+CG2=h2+100CE2=BC2=BF2+CF2=h2+16AE2=AC2-CE2=8410.已知四位數(shù)x是完全平方數(shù),將其4個數(shù)字各加1后得到的四位數(shù)仍然是完全平方數(shù),貝yx=。【答案】2025【解析】設x=a2/
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