初中幾何輔助線技巧大全

中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)初中幾何輔助線技巧大全初中幾何常見(jiàn)輔助線口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算切線長(zhǎng)度的計(jì)算是直徑，成半圓圓周角邊兩條弦要想作個(gè)外接圓如果遇到相交圓弦心距來(lái)中間站。勾股定理最方便想成直角徑連弦直徑和弦端點(diǎn)連各邊作出中垂線不要忘作公共弦。圓上若有一切線要想證明是切線弧有中點(diǎn)圓心連弦切角邊切線弦還要作個(gè)內(nèi)接圓內(nèi)外相切的兩圓圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算切線長(zhǎng)度的計(jì)算是直徑，成半圓圓周角邊兩條弦要想作個(gè)外接圓如果遇到相交圓弦心距來(lái)中間站。勾股定理最方便想成直角徑連弦直徑和弦端點(diǎn)連各邊作出中垂線不要忘作公共弦。圓上若有一切線要想證明是切線弧有中點(diǎn)圓心連弦切角邊切線弦還要作個(gè)內(nèi)接圓內(nèi)外相切的兩圓切點(diǎn)圓心半徑連。半徑垂線仔細(xì)辨垂徑定理要記全同弧對(duì)角等找完內(nèi)角平分線夢(mèng)圓經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。廿曰若是廿曰若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。注意點(diǎn)輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。Ff圖1-1Ff圖1-1BDC切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。二由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1,ZAOC=ZBOC，如取OE=OF,并連接DE、DF,則有△OED竺△OFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1?如圖1-2,AB//CD,BE平分ZBCD,CE平分ZBCD,點(diǎn)E在AD上,求證：BC二AB+CD。愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2?已知：如圖1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB，求證DC丄AC分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段C相等。其它問(wèn)題自已證明。C例3?已知：如圖1-4，在△ABC中，ZC=2ZB,AD平分ZBAC,求證：AB-AC=CD圖1-4分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明圖1-4中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)已知在△ABC中，AD平分ZBAC,ZB=2ZC,求證：AB+BD=AC已知：在厶ABC中，ZCAB=2ZB，AE平分ZCAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE

已知：在厶ABC中，AB>AC,AD為ZBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC已知：。是4ABC的ZBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1?如圖2-1,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BCO求證：ZADC+ZB=180分析：可由C向ZBAD的兩邊作垂線。近而證ZADC與ZB之和為平角。例2?如圖2-2，在△ABC中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBDO求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DE丄BC于E,則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3?已知如圖2-3，^ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：ZBAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！如果PC=4，則PD=()A4B3C22.已知在厶ABC中，ZC=90如果PC=4，則PD=()A4B3C22.已知在厶ABC中，ZC=90,AD平分ZCAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。3.已知：如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE丄AB,1AE=2（AB+AD）.求證：ZD+ZB=180。4?已知：如圖2-6，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn),F為BC上的點(diǎn)，ZFAE二ZDAE。求證：AF二AD+CF。已知：如圖2-7，在RtAABC中，ZACB=90,CD丄AB，垂足為D，AE平分ZCAB交CD于F，過(guò)F作FH//AB交BC于H。求證CF=BHOB圖2-6FDE三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另邊相交）。例1?已知：如圖3-1，ZBAD=ZDAC，AB>AC,CD丄AD于D,H是BC中點(diǎn)。求證：DH=分析：例2?B圖3-2中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)BC的平分線，CE丄BE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在厶ABC中，AD、AE分別ZBAC的內(nèi)、外角平分線,E過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。E求證：AM二ME。分析：由AD、AE是ZBAC內(nèi)外角平分線，可得EA丄AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例4?已知：如圖3-4，在厶ABC中，AD平分ZBAC，AD二AB，CM丄AD交AD延長(zhǎng)線于m。求證：am=2（ab+ac）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作AABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，然后只需證DM=】EC，另外2由求證的結(jié)果AM二丄（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可2嘗試作AACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1?已知：在厶ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是ZBAC的平分線，且CE丄AE于E,連接DE,求DE。2?已知BE、BF分別是△ABC的ZABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF于F，AE丄BE于E，連接EF分別交AB、也于眼N求證MN=2BC四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。B圖4-2例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證:AB－AC>BD－CD。B例5如圖，BC>BA,BD平分ZABC，且AD=CD,求證：ZA+ZC=180。例6例6如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分ZBAD各ZADE，求證：AD二AB+CD。練習(xí)：已知，如圖，ZC=2ZA，AC=2BC。求證：AABC是直角三角形。中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)1）愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)1）愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)2．C2．C已知：如圖，AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC丄AC3．3．已知CE、人。是4ABC的角平分線，ZB=60°，求證：AC=AE+CD4．4．已知：如圖在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是ZABC的平分線，求證:BC=AB+AD將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N,在△BDM中，MB+MD>BD；（2）圖1—2△GFC和厶GDE中有:三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖1-1：D、EABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AOBD+DE+CE.證明：（法一）在AAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在ACEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE???AB+AOBD+DE+EC（法二：圖1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G,在AABF和AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）

GF+FC>GE+CE(同上)(2)DG+GE>DE(同上)(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE??.AB+AC>BD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：山DOZBAC。分析:因?yàn)閆BDC與ZBAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使ZBDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)ZBDC是厶EDC的外角，???ZBDOZDEC，同理ZDEC>ZBAC，AZBDC>ZBAC證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)ZBDF是厶ABD的外角，???ZBDF>ZBAD，同理，ZCDF>ZCAD,??ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD，即ZBDOZBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且乙二上2,上3=上4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知Z1=Z2，中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE,NF,則DN=DC，在NDE中：「DN=DB（輔助線作法）”Z1=Z2（已知）、ED=ED（公共邊）???△DBE竺ANDE（SAS）???BE二NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）?BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1:在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AOPB-PC分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在APNE中，PB-PN<BN，即：AB-AOPB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN二AC連接PN,在\APN和厶APC中fAN二AC（輔助線作法）

Z1=Z2（已知）AP=AP（公共邊）???△APN今AAPC（SAS）,???PC二PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）、：在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）?BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB，連接PM,在厶ABP和厶AMP中?AB二AM（輔助線作法）Z1=Z2（已知）AP=AP（公共邊）???△ABP今AAMP（SAS）???PB二PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又?：在△PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）?AB-AC>PB-PC。例1.如圖，AC平分ZBAD,CE丄AB,且ZB+ZD=180°，求證：AE二AD+BE。CC例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD,CE丄AB于E,AD+AB=2AE,求證：求證：ZADC+ZB=180°例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,乙A=108°,BD平分乙ABC。求證：BC二AB+DC。例4如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,AD是ZCAB的平分線，DM丄AB1于M,且AM二MB。求證：CD=2DB。1.如圖，AB〃CD，AE、DE分別平分ZBAD各ZADE,求證：AD二AB+CD。2.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB二AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè),BD丄在AE的異側(cè),BD丄AE于D,CE丄AE于E。求證：BD=DE+CE由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1,人。是厶ABC的中線，則S=S=2S（因?yàn)椤鰽BD與AACDAABDAACDAABC是等底同高的）。禹1禺2例1.如圖2,AABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E,使DE二AD,DF是ADCE的中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因?yàn)锳D是AABC的中線，所以S=^S=1x2=1,又因CD是AACAACD￡AABC2E的中線,故S=S=1,ACDEAACD因DF是ACDE的中線，所以S=^S=1x1=。ACDF2ACDEg￡/.ACDF的面積為丄。2（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：ZBGE=ZCHE。證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,???ME是ABCD的中位線，/MECD,AZMEF=ZCHE,=2

???MF是AABD的中位線，???MFAB,AZMFE=ZBGE,=2?AB二CD,?ME二MF,?ZMEF二ZMFE,從而ZBGE=ZCHEO三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3.圖4,已知AABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD，則AE=2AD=2X2=4。在AACD和AEBD中,VAD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD,???AACD竺AEBD,?AC二BE,從而B(niǎo)E=AC=3。在AABE中，因AE2+BE2=42+32=25二AB2，故ZE=90°,??BD=Je於十DE，=J嚴(yán)十2'=/3,故BC=2BD=2訴"^。例4.如圖5,已知AABC中，AD是ZBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=ADO仿例3可證：ABED竺ACAD,故EB=AC,ZE=Z2,又Z1=Z2,AZ1=ZE,

???AB二EB,從而AB二AC，即△ABC是等腰三角形。四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB//DC,AC丄BC,AD丄BD,求證：AC二BD。因此ZCDE=ZDCEO證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為因此ZCDE=ZDCEO斜邊AB上的中線，故DE二CE二—AB,ZTAB//DC,AZCDE=Z1,ZDCE=Z2,AZ1=Z2,在AADE和ABCE中，VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,???AADE竺ABCE,???AD二BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC二BD。五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中,VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,?ABEF竺ABEC,?EF二EC，從而CF=2CE。又Z1+ZF=Z3+ZF=90。，故Z1=Z3O90°,在AABD和AACF中，TZ1二Z3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,???AABD竺AACF,?BD二CF,?BD=2CE。注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：ABC的中線，且Z1=Z2,Z3=Z4，求證：BE+CF>AEF。A證明：廷長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在厶BDE和ACDM中，「BD=CD（中點(diǎn)定義）”Z1=Z5（對(duì)頂角相等）'■ED=MD（輔助線作法）???△BDE竺ACDM（SAS）又VZ1=Z2，Z3=Z4（已知）Z1+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）???Z3+Z2=90°即：ZEDF=90°ZFDM=ZEDF=90°在厶EDF和中ED=MD（輔助線作法）ZEDF=ZFDM（已證）DF=DF（公共邊）.?△EDF^^MDF（SAS）EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）???在ACMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）?BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意|：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：ABC的中線，求證：AB+AO2AD。

分析：要證AB+AO2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE二AD,連接BE，CETADABC的中線（已知）???BD二CD（中線定義）在EBD中BD=CD（已證）Z1=Z2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線作法）???△ACD竺AEBD（SAS）???BE二CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）圖5???在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）圖5?AB+AC>2AD。練習(xí)：1如圖，AB=6,AC=8，D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。2如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，ZBAC二ZBCA,求證：AD=2AE。3如圖，AB=AC,AD=AE,M為BE中點(diǎn)，ZBAC=ZDAE=90°。求證：AM丄DC。EDED4,已知△ABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。5.已知：如圖ABC的中線，AE二EF,五全等三角形輔助線BF=AC五全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形;引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。

常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．(一)、倍長(zhǎng)中線(線段)造全等1：“希望杯”試題)已知，如圖△ABC中，AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是.2：如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上,DE丄DF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)D3：如圖，AABC中，BD二DC二AC,E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分ZBAE.中考應(yīng)用(09崇文二模)以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtNABD和等腰RtAACE，ZBAD=ZCAE=90。,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.如圖①當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；將圖①中的等腰RtAABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)00(0<0<90)后，、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，AABC中，AB=2AC，AD平分ZBAC，且AD=BD，求證：CD丄ACC

C2：如圖，AC〃BD,EA,EB分別平分ZCAB,ZDBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證;AB=AC+BD3：如圖，已知在VABC內(nèi)，上，并且AP，BQ分別是ZBAC,Q=AB+BPC4：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD，BD平分ZABC，求證:CZA+ZC=1800D5:如圖在△ABC中，AB>AC，Z1=Z2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACD>PB-PC

中考應(yīng)用（08海淀一模）如砂在啊油瑤皿如砂在啊油瑤皿D中fADffBC,^E是AR上一個(gè)畝札若空260?！褂霉C,5LADHC=6rt判斷AO-^-AEJ±jHC的關(guān)系并誡明你的結(jié)論.解|A——°三）、平移變換,AEP,AE1.AD為厶ABC的角平分線，直線MN丄AD于A.E為MN上一點(diǎn)，AABC周長(zhǎng)記為a四）、借助角平分線造全等ADF丄AC于F.ADF丄AC于F.(1)說(shuō)明BE=CF的長(zhǎng).A1：如圖，已知在△ABC中，ZB=60°,AABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)0,求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，AABC中，AD平分ZBAC，DG丄BC且平分BC，DE丄AB于E,的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE中考應(yīng)用（06北京中考）如圖①，0P是ZMON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以0P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，ZACB是直角，ZB=60°，AD、CE分別是ZBAC、ZBCA的平分線，AD.CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖③，在AABC中，如果ZACB不是直角，而⑴中的其它條件不變,圖③圖③五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求ZEAF的度數(shù).A愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)A愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！中高考復(fù)習(xí)精品，為中高考保駕護(hù)航！祝您金榜提名！愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)愛(ài)心責(zé)任奉獻(xiàn)2：D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM丄DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。1）2）3.如圖，1）2）3.如圖，當(dāng)/MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DFOZBDC=1200，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接點(diǎn)N,連接MN,則AAMN的周長(zhǎng)為中考應(yīng)用C（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB丄AD，BC丄CD，AB=BC,ZABC=120。，ZMBN=60。，ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn).當(dāng)ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE二CF時(shí)（如圖1）,易證AE+CF二EF.

當(dāng)/MBN繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE豐CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．DEM（西城‘09年一模）已知:Pa二F\.PB=4,以AB為一邊作兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).⑴如圖，當(dāng)數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．DEM（西城‘09年一模）已知:Pa二F\.PB=4,以AB為一邊作兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).⑴如圖，當(dāng)ZAPB=45。時(shí)，求PD的長(zhǎng);BF圖3）DD,』吏P、DM⑵當(dāng)ZAPB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值,及相應(yīng)ZAPB的大小.（09崇文一模）在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為VABC外一點(diǎn)，且/MDN=60。,ZBDC=120。,bd=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長(zhǎng)Q與等邊AABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.圖1圖2圖3（I）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)號(hào)=；（II）如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM豐DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（III）如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=（用x、L表示）.六梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。EC…F…平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。ByEHD上延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。E二BC一）、平移1、平移一腰：例1?如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZA=90°,AB〃DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)D作DE〃BC交AB于點(diǎn)E.又AB〃CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DE=BC=17,CD=BE.E在RtADAE中，由勾股定理，得EAE2=DE2—AD2,即AE2=172—152=64.所以AE=8.所以BE=AB—AE=16—8=8.即CD=8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取CM=CD—DM=CD—AB=8—3=5，所以BC的取值范圍是：5—4<BC<5+4，即1<BC<9。2、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H,可得ZEGH+ZEHG=ZB+ZC=90°則厶EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以EF=1GH=1(BC-BG-CH)22=-(BC-AE-DE)=-[BC-(AE+DE)]22=!(BC-AD)=1(3-1)=1223、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面積.解：如圖，作DE〃AC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn).HCE???AD〃BC???四邊形ACED是平行四邊形HCEBE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4???在△DBE中，BD=3,DE=4,BE=5???ZBDE=90°.作DH丄BC于H,則DH=BDED二12BE55125x.S=(AD+BC)xDH_5=6,…梯形ABCD22例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5?邁，求證：AC丄BD。解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=5巨，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5邁，所以在△ACE中，AC2+CE2-(5』2)2+(5J2)2二100=AE2，從而AC丄CE，于是AC丄BD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過(guò)點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，冃即S=S=SAABDAACDADCE。所以S'梯形ABCD'ADBE由勾股定理得EH=\DE2-DH2=€AC2-DH2=J52—122=9（伽）BH=JBD2-DH2=<202-122=16（cm）

S=1BE-DH=1X(9+16)x12=150(cm2)所以ADBE22，即梯形ABCD的面積是150cm2。二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5,BB???ZEDC=ZEAB,???DC〃AB.BB???ZEDC=ZEAB,???DC〃AB.在厶BCE中，ZB=50°,ZC=80所以ZE=50°,從而B(niǎo)C=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3例8?如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E,如圖所示.VAC=BD,AD=BC,AB=BA,???△DAB竺ACBA.?ZDAB=ZCBA.???EA=EB.又AD=BC,?DE=CE,ZEDC=ZECD.而ZE+ZEAB+ZEBA=ZE+ZEDC+ZECD=又AD不平行于BC,???四邊形ABCD是等腰梯形.三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB丄AD,BC=CD,BE丄CD于點(diǎn)E,由AD//BC，得ZADB=ZDBE；由BC=CD,得ZDBC二ZBDC。所以ZADB=ZBDEO又ZBAD=ZDEB=90°,BD二BD,所以RtABAD竺RtABED,得AD=DE。）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC，對(duì)角線AC丄BD,垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF//AB,交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形ABFE是等腰證：過(guò)點(diǎn)D作DG丄AB于點(diǎn)G,

則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GBO從而DA=DB，于是ZDAB=ZDBAO又EF//AB,所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高