華師大版八年級(jí)下《函數(shù)及其圖像》知識(shí)點(diǎn)歸納

華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下《函數(shù)及其圖像》知識(shí)點(diǎn)歸納一．變量與函數(shù).函數(shù)的定義：一般的，在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量X和y,對(duì)于x的每一個(gè)數(shù)值y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們說(shuō)x叫做自變量，y叫做因變量,y叫做x的函數(shù)。2．自變量的取值范圍：（1）能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。（2）確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點(diǎn)：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中有實(shí)際意義。（3）不同函數(shù)關(guān)系式自變量取值范圍的確定：函數(shù)關(guān)系式為整式時(shí)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。函數(shù)關(guān)系式為分式時(shí)自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實(shí)數(shù)。函數(shù)關(guān)系式為二次根式時(shí)自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于零的全體實(shí)數(shù)。3．函數(shù)值：當(dāng)自變量取某一數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。這里有三種類型的問(wèn)題（1）當(dāng)已知自變量的值求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值。（2）當(dāng)已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程。（3）當(dāng)給定函數(shù)值的一個(gè)取值范圍，欲求自變量的取值范圍時(shí)實(shí)質(zhì)上就是解不等式或不等式組。二．平面直角坐標(biāo)系：1．各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)p（x,y）在第一象限fx〉0,y〉0.點(diǎn)p(x,y)在第二象限fxV0,y>0.點(diǎn)p(x,y)在第三象限fxV0,yV0點(diǎn)p(x,y)在第四象限fx〉0,yV0.．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：點(diǎn)p(x,y)在x軸上一x為任意實(shí)數(shù)，y=0點(diǎn)p(x,y)在y軸上一x=0,y為任意實(shí)數(shù).關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：點(diǎn)p(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y).點(diǎn)p(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y).點(diǎn)p(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y)．兩條坐標(biāo)軸夾角平分在線的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：點(diǎn)p(x,y)在第一、三象限夾角平分在線一X二y.點(diǎn)p(x,y)在第二，四象限夾角平分在線一x+y=05．與坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：位于平行于x軸的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。6．點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：點(diǎn)p(x,y)到軸的距離為ly|.點(diǎn)p(x,y)到y(tǒng)軸的距離為|x|.點(diǎn)p(x,y)到原點(diǎn)的距離為<x2y2同在x軸上的兩點(diǎn)A(x0)與B(x,0)之間的距離為AB=|x-x|1,212同在y軸上的兩點(diǎn)C(0,y)與D(0,y)之間的距離為CD=|y-y1212三．函數(shù)的圖像函數(shù)圖像上的點(diǎn)與其解析式的關(guān)系函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)p（x,y）中的x、y滿足函數(shù)關(guān)系式，滿足函數(shù)關(guān)系式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值（x,y）都在函數(shù)的圖像上。判斷點(diǎn)p（x,y）是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）代入函數(shù)關(guān)系式，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，那么這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)關(guān)系式，那么，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖像上。四.一次函數(shù)（一）一次函數(shù)的定義定義:含有自變量的式子為一次整式，即形如式子y=kx+b（其中k和b為常數(shù)，k#0）叫做一次函數(shù)。正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y二kx+b中如果b=0即變?yōu)閥二kx（其中k#0），這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。注意：（1）由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義可知;函數(shù)是一次函數(shù)一解析式為y=kx+b的形式。函數(shù)是正比例函數(shù)一解析式為y二kx的形式。（2）—次函數(shù)解析式y(tǒng)二kx+b的結(jié)構(gòu)特征：k#0②x的次數(shù)是1③常數(shù)b為任意實(shí)數(shù)（3）正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx的結(jié)構(gòu)特征①k#0②x的次數(shù)是1③常數(shù)b=0說(shuō)明：在y二kx+b中若k=0則y二b（b為常數(shù)）這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。4．正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)b=0時(shí)為正比例函數(shù)一次函數(shù)y二kx+b，當(dāng)bH0時(shí)一般的一次函數(shù)（二）一次函數(shù)的圖像1．一次函數(shù)圖像的形狀：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b正比例函數(shù)y二kx的圖像也是一條直線，稱為直線y二kx2．一次函數(shù)圖像的主要特點(diǎn):一次函數(shù)y二kx+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,b）的直線，正比例函數(shù)y二kx+b的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）的直線注意：點(diǎn)（0,b）是直線y二kx+b與y軸的交點(diǎn)。當(dāng)b>0時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在y軸的正半軸上，當(dāng)bV0時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，當(dāng)b=0時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在原點(diǎn)，這時(shí)的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。3．一次函數(shù)圖像的畫法：根據(jù)兩點(diǎn)能畫一條直線并且只能畫一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，在連成直線即可。那么，先描出哪兩點(diǎn)比較好呢？選兩點(diǎn)應(yīng)以計(jì)算和描點(diǎn)簡(jiǎn)單為原則，一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)bH0時(shí)，一般的一次函數(shù)y二kx+b的圖像，應(yīng)選取它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（0，b）與（-b,0）；k當(dāng)b=0時(shí)，畫正比例函數(shù)y=kx的圖像，通常?。?，0）與（1，k）兩點(diǎn)，個(gè)別情況下可以做些變通，例如畫函數(shù)y二2x的圖像，可以取(0,0)與(1,32)兩點(diǎn)，也可以取(0,0)與(3,2)兩點(diǎn)。34．直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)令x=0,貝y=b所以直線y二kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b)令y=0,則kx+b=0所以x二-bk所以直線y二kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-b,0)注意：此時(shí)直線y二kx+b與xk軸，y軸圍成的三角形面積S二1x|-b|x|b|2k5．兩直線在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置關(guān)系:兩直線的解析式中當(dāng)k相同時(shí),其位置關(guān)系是平行,其中一條直線可以看作是另一條平移得到的,平移規(guī)律是“左減右加,上加下減”兩直線的解析式中當(dāng)b相同時(shí)，其位置關(guān)系是相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b).一次函數(shù)的性質(zhì)1．正比例函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)k〉0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大，直線y二kx從左到右上升。當(dāng)kV0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小，直線y二kx從左到右下降。2．一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)當(dāng)k〉0時(shí)，直線y=kx+b從左到右上升，此時(shí)y隨x的增大而增大。當(dāng)kV0時(shí)，直線y二kx+b從左到右下降，此時(shí)y隨x的增大而減小。當(dāng)b〉0時(shí)，直線y=kx+b與y軸正半軸相交。當(dāng)bV0時(shí)，直線y二kx+b與y軸負(fù)半軸相交。直線y二kx+b的位置與k、b的符號(hào)之間的關(guān)系直線y二kx+b的位置是由k與b的符號(hào)決定的，其中k決定直線從左到右呈上升趨勢(shì)還是下降趨勢(shì)，b決定直線與y軸交點(diǎn)的位置是在y軸的正半軸，還是負(fù)半軸，還是原點(diǎn)。k和b綜合起來(lái)決定直線y二kx+b在直角坐標(biāo)系中的位置共有六種情況：當(dāng)k〉0,b〉0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限；當(dāng)k〉0,bV0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)kV0，b〉0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限；當(dāng)kV0，bV0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限；當(dāng)k〉0，b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)kV0，b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、四象限。正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)二kx(k#0)中的常數(shù)k;確定一個(gè)一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)二kx+b(k#0)中的常數(shù)k和b,解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。2．待定系數(shù)法：先設(shè)出待求函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知的系數(shù))，再根據(jù)已知條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù)，如正比例函數(shù)y二kx中的k，一次函數(shù)y二kx+b中的k和b都是待確定的系數(shù)。3．用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式；把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)；將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的解析式。注意：通常正比例函數(shù)解析式設(shè)y二kx，只有一個(gè)待定系數(shù)k,一般只需一對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值即可；一次函數(shù)解析式設(shè)y二kx+b，其中有兩個(gè)待定系數(shù)k和b，因而需要兩對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值，才能求出k和b的值。五．反比例函數(shù)反比例函數(shù)定義一般的，函數(shù)y=k(k是常數(shù)，k#0)叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的x解析式也可以寫成y二kx-1的形式，其中k叫做比例系數(shù)。2．反比例函數(shù)解析式的主要特征：等號(hào)左邊是函數(shù)y,右邊是一個(gè)分式，分子是不為零的常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x的指數(shù)是1，若寫成y二kx-i的形式，貝x的指數(shù)是T。比例系數(shù)“kH0”是反比例函數(shù)定義的重要組成部分。自變量x的取值范圍是xH0的一切實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量x#0，函數(shù)y工0，所以它的圖像與x軸和y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)k〉0時(shí)，圖像在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小。當(dāng)kV0時(shí)，圖像在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大。（四）反比例函數(shù)解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y=k中只有一個(gè)待定系x數(shù)，因此只需要一對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。（五）“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系反比例關(guān)系是小學(xué)學(xué)過(guò)的概念：如果xy=k（k是常數(shù)k#0），那么x與y這兩個(gè)量成反比例關(guān)系，這里x與y既可以代表單獨(dú)的一個(gè)字母也可以代表多項(xiàng)式或單項(xiàng)式，例如y+3與x成反比例則有y+3=k,y與x2成反比例，則xy=—,成反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y二k中的兩個(gè)變x2x量必定成反比例關(guān)系。（六）反比例函數(shù)y=k（k#0）中的比例系數(shù)k的幾何意義x如圖，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作x軸、/