高考總復(fù)習(xí)走向清北課件23數(shù)學(xué)平面向量的概念及線性運(yùn)算

第五模塊平面向量第二十三講平面向量的概念及線性運(yùn)算回歸課本1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,沒(méi)有方向的量(如年齡?身高?長(zhǎng)度?面積?體積?質(zhì)量等),稱(chēng)為數(shù)量.(3)向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模).長(zhǎng)度為零的向量叫零向

量,記作0,零向量的方向任意,規(guī)定零向量與任意向量平行(

共線).(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大

小相等,方向相反的向量,規(guī)定零向量的相等向量是0,零向

量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共線向量.長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.2.向量的線性運(yùn)算(1)向量加法的定義叫ABa,BCb,再作已知向量a?b,如圖,平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作

AC,則

AC做a與b的和,記作a+b.即.

ab

ABBC

AC

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.(2)向量求和的三角形法則利用向量加法的定義求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求

和的三角形法則.在運(yùn)用此法則時(shí),要注意“首尾相接”,即

兩個(gè)向量的和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量

終點(diǎn)的向量.(3)向量求和的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a?b,作不共線,以AB?AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量是邊形法則.AB

a,AD

b

對(duì)

,

A?B?D三點(diǎn)AC=a+b,這個(gè)法則叫做兩向量求和的平行四

(4)向量的減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差,記作a-b,若(5)實(shí)數(shù)與向量積的定義:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ>0時(shí)

,λa與a方向相同;λ<0時(shí),λa與a方向相反;λ=0時(shí),λa=0.OAa,OB

b,

則ab

BA.(6)向量的加法?減法和向量的數(shù)乘的綜合運(yùn)算通常叫做向量

的線性運(yùn)算.向量加法的交換律表達(dá)式為a+b=b+a;向量加

法的結(jié)合律表達(dá)式為(a+b)+c=a+(b+c).若λ,μ為實(shí)數(shù),則(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=λμaλ(a+b)=λa+λb.3.向量共線的條件平行向量基本定理:如a=λb,則a∥b,如果a∥b(b≠0),則存在惟一實(shí)數(shù)λ使a=λb.考點(diǎn)陪練A.

a

bB.

a

bC.

a

bD.

a

b123

3

345

5213

3

43

5

51.(2010

全國(guó)Ⅱ)

ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,CD平分ACB,若

CB

a,CAb,

a

1,

b

2,則CD

(

)

2,所以AD

2DB

AB

CA

(CBCA)

CB

CAa

b.22213

3

3

3213

3AD

AC

|b|2DB

BC

|a|

3CA

AD

CA解析:如圖,CD平分ACB,由角平分線定理得AB,所以CD

答案:BA.

a

bB.

a

bC.

a

bD.

a

b213

3

12

3

3)

2.在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若AC

a,BD

b,則AF等于(

11

4

2

11

2

4a

b(

a

b)

a

b.1311111212

2

3

2

2

3

3AB.DF

解析:如圖,AF

ADDF由題意知,DE:BE

1:3

DF:AB,AF

答案:B)3.平面上有三點(diǎn)A?B?C,設(shè)m

AB

BC,n

AB

BC,若向量m,n的長(zhǎng)度恰好相等,則有(A.A?B?C三點(diǎn)必在同一直線上B.△ABC必為等腰三角形且∠B為頂點(diǎn)C.△ABC必為直角三角形且∠B為直角D.△ABC必為等腰直角三角形解析:以向量AB,BC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD,如圖,則BC

AD,所以m

AB

BC,n

ABBC

DB,向量m,n的長(zhǎng)度相等,即平行四邊形ABCD對(duì)角線長(zhǎng)度相等,所以ABCD為矩形,故

ABC必為直角三角形且B為直角.答案:C|

AB||

BC

|A.11

B.3

2C.1D.24.已知平面上不共線的四點(diǎn)O,A,B,C.若OA3OB2OC

0,則等于(

)|

AB||

BC

|

2.解析:OA3OB2OC

0

(OAOB)2(OC

OB)

0

BA2BC

0

BA

2BC,

答案:D5.已知

ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A?B?C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足PA

PBPC

0,則P點(diǎn)是

ABC的(

)A.外心C.重心

B.內(nèi)心D.垂心

解析:以PA?PB為鄰邊作平行四邊形APBD.如圖所示,則

PA

PB

PD,即PD

PC,C?P?D三點(diǎn)共線且|

PC

|

|

PD|,又AB?PD互相平分,|

PC

|

2|

PO|,即P為重心.答案:C類(lèi)型一向量的有關(guān)概念解題準(zhǔn)備:準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類(lèi)題目的關(guān)鍵.

共線向量即為平行向量,非零向量平行具有傳遞性,兩個(gè)向

量方向相同或相反就是共線向量,與向量長(zhǎng)度無(wú)關(guān),兩個(gè)向

量方向相同且長(zhǎng)度相等,才是相等向量.共線向量或相等向

量均與向量起點(diǎn)無(wú)關(guān).【典例1】判斷下列命題是否正確(1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若A?B?C?D是不共線的四點(diǎn),則

為平行四邊形的充要條件;(3)若a=b,b=c,則a=c;(4)a=b的充要條件是AB

DC

是四邊形ABCD;|a||b|a∥b是一個(gè)單位向量.

(5)|a|=|b|是a=b的必要不充分條件.(6)平行向量就是共線向量;(7)相反向量一定是平行向量;(8)平面內(nèi)4個(gè)不同點(diǎn)A?B?C?D共線的充要條件是存在非零實(shí)數(shù)k,使得(9)已知a是任一個(gè)非零向量,則ABkCD;

a|

a

|[解](1)不正確,兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等,但它們的方向不一定相

同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.(2)正確,∵又AB

DC,

|

AB||

DC|

,且AB∥DC

∵A?B?C?D是不共線的四點(diǎn),∴四邊形ABCD是平行四邊形.反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則

AB∥DC,且

AB與DC方向相同,因此AB

DC.(5)正確,∵|a|=|b|?a=b,但a=b?|a|=|b|.(3)正確,∵a=b,∴a?b的長(zhǎng)度相等且方向相同.又∵b=c,∴b?c的長(zhǎng)度相等且方向相同.∴a?c的長(zhǎng)度相等且方向相同,故a=c.(4)不正確,當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|也不能得到a=b.∴|a|=|b|是a=b的必要不充分條件.|故

|a||b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件.a∥b1.

,而(6)正確.不同于平面幾何中的平行與共線的概念,向量的平行與共線是同一概念.(7)正確.由相反向量的定義可知(7)正確.(8)不正確.點(diǎn)的共線與向量的共線是不同的概念.(9)正確.由單位向量的定義可知模長(zhǎng)為1的向量即為單位向量[答案](1)(4)(8)不正確,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正確a|a|[反思感悟]熟練掌握有關(guān)基本概念是解決此類(lèi)小題的關(guān)鍵.類(lèi)型二向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用解題準(zhǔn)備:1.向量的加法:(1)定義:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做

向量的加法;(2)法則:三角形法則,平行四邊形法則;(3)運(yùn)算

律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的減法:(1)定義:求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫做向量的減法;(2)法則:三角形法則.(3)簡(jiǎn).AB

AC

CB常用于向量式的化3.實(shí)數(shù)與向量的積:(1)定義:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記

作λa,規(guī)定:|λa|=|λ||a|.當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;

當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0.由此可

見(jiàn),總有λa與a平行;(2)運(yùn)算律:λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λa+ua,λ(a+b)=λa+λb.(

)

,

.

OM

OA

OB

內(nèi)任一點(diǎn)

則124.線段中點(diǎn)的向量表示:若M是線段AB的中點(diǎn),O是平面【典例2】如圖所示,D、E分別是

ABC中AB、AC邊的中點(diǎn),M、N分別是DE、BC的中點(diǎn),已知BC

a,BD

b,試用a、b、分別表示DE

CE和MN.BC,即DE

ED

DB

ab

a

12112

2112

2112

21114

2

4BCa.CE

CB

BD

DEMN

MD

DB

BN

ab.故DE

[反思感悟]在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形

中,選用從同一頂點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的基本向量或首尾相連的向量,運(yùn)

用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解,即充分利用相等

向量、相反向量和線段的比例關(guān)系,運(yùn)用三角形、平行四

邊形法則,充分利用三角形中的中位線,相似三角形對(duì)應(yīng)邊

成比例的平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量

有直接關(guān)系的向量來(lái)求解.類(lèi)型三數(shù)乘向量與共線向量定理的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:(1)向量共線是指存在實(shí)數(shù)λ使兩向量互相表示.(2)向量共線的充要條件中,通常只有非零向量才能表示與之

共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(3)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共

線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),

才能得出三點(diǎn)共線.【典例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線,

1若AB

ab,BC

2a8b,CD

3(ab).

求證:A?B?D三點(diǎn)共線.

2試確定實(shí)數(shù)k,使ka

b和a

kb共線.AB

ab,BC

2a8b,CD

3(ab),[解]1BD

BC

CD

2a8b3(ab)

2a8b3a3b

5(ab)

5AB.AB、

BD共線,又

它們有公共點(diǎn)B,A、B、D三點(diǎn)共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量.∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.[反思感悟](1)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)

,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意

待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共

線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),

才能得到三點(diǎn)共線.錯(cuò)源一忽視零向量性質(zhì)致誤【典例1】下列敘述錯(cuò)誤的是________.①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a、b之一的方

向相同;③|a|+|b|=|a+b|a與b方向相同;④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得

b=λa;⑤⑥若λa=λb,則a=b.ABBA0;[剖析]忽視零向量的特殊性是本題出錯(cuò)的主要原因,本題前四

個(gè)結(jié)論都與此有關(guān);另外兩個(gè)相反向量的和是一個(gè)零向量,

不是實(shí)數(shù)零;最后一個(gè)結(jié)論可能忽視了λ=0的情況.[正解]這六個(gè)命題都是錯(cuò)誤的,因?yàn)閷?duì)于①,當(dāng)b=0,a不一定與c平行;對(duì)于②,當(dāng)a+b=0時(shí),其方向任意,它與a、b的方向都不相同;對(duì)于③,當(dāng)a、b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立;對(duì)于④,當(dāng)a=0,且b=0,λ有無(wú)數(shù)個(gè)值;當(dāng)a=0但b≠0,λ不存在.對(duì)于⑤,由于兩個(gè)向量之和得到的仍是一個(gè)向量,所以時(shí)不一定有a=b.對(duì)于⑥,BA

λ=0時(shí),不管a與b的大小與方向如何,都有λa=λb,此AB當(dāng)

0.[答案]①②③④⑤⑥[評(píng)析]零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向量,規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為0,其方向

是任意的,零向量與任意向量都共線.它在向量中的位置正

如實(shí)數(shù)中0的位置一樣,但有了它容易引起一些混淆,稍微考

慮不到就會(huì)出錯(cuò),考生應(yīng)給予足夠的重視.錯(cuò)源二錯(cuò)用實(shí)數(shù)運(yùn)算律或運(yùn)算法則【典例2】如圖,已知矩形ABCD,|

AB|1,|

AD|

2,設(shè)AB

a,

BC

b,BD

c,則

a

bc

________.[錯(cuò)解]|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=3

5.[剖析]上述解法受實(shí)數(shù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則的影響致錯(cuò).

[正解]由向量的三角形法則有|abc||

AB

BC

BD|

|

AB

BD

AD||

AD

AD|

2|

AD|

4.

[