全國(guó)通用2020-2022年三年高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專(zhuān)題06立體幾何解答題理

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！06立體幾何（解答題）（理科專(zhuān)用）1．【2022年全國(guó)甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)55【解析】【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，利用勾股定理證明AD⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得PD⊥BD，從而可得BD⊥平面PAD，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，所以AD所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，BD=3則A(1,0,0),B(0,3則AP=(?1,0,設(shè)平面PAB的法向量n=(x,y,z)則有{n→?則cos?所以PD與平面PAB所成角的正弦值為552．【2022年全國(guó)乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)CF與平面ABD所成的角的正弦值為4【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△ABD≌△CBD，得到AB=CB，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到BE⊥DE，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.(1)因?yàn)锳D=CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因?yàn)锳D=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE；又因?yàn)镈E,BE?平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)連接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因?yàn)镋F?平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC當(dāng)EF⊥BD時(shí)，EF最小，即△AFC的面積最小.因?yàn)椤鰽BD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因?yàn)椤螦CB=60°，所以△ABC是等邊三角形，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1，BE=3因?yàn)锳D⊥CD，所以DE=1在△DEB中，DE2+B以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E?xyz，則A1,0,0,B0,設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=則n?AD=?x+z=0n?又因?yàn)镃?1,0,0,F0,所以cosn設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為θ0≤θ≤所以sinθ=所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為433．【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱ABC?A1B1C(1)求A到平面A1(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A【答案】(1)2(2)3【解析】【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BC⊥平面ABB(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)點(diǎn)則VA?解得?=2所以點(diǎn)A到平面A1BC的距離為(2)取A1B的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)锳A又平面A1BC⊥平面ABB1A且AE?平面ABB1A1，所以在直三棱柱ABC?A1B1C由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，又AE,BB1?平面ABB1所以BC,BA,BB1兩兩垂直，以由（1）得AE=2，所以AA1=AB=2，則A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A則BD=(1,1,1)，BA設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量m=(x,y,z)，則{可取m=(1,0,?1)設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量n=(a,b,c)，則{可取n=(0,1,?1)則cos?所以二面角A?BD?C的正弦值為1?(4．【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)11【解析】【分析】（1）連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，連接OA、PD，根據(jù)三角形全等得到OA=OB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=DO，即可得到O為BD的中點(diǎn)從而得到OE//（2）過(guò)點(diǎn)A作Az//(1)證明：連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，連接OA、PD，因?yàn)镻O是三棱錐P?ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO?平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA?△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//又OE?平面PAC，PD?平面PAC，所以O(shè)E//平面(2)解：過(guò)點(diǎn)A作Az//因?yàn)镻O=3，AP=5，所以O(shè)A=A又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，則AD=4，AB=43所以AC=12，所以O(shè)23,2,0，B43,0,0，則AE=33,1,3設(shè)平面AEB的法向量為n=x,y,z，則n?AE=33x+y+32設(shè)平面AEC的法向量為m=a,b,c，則m?AE=33a+b+32所以cos設(shè)二面角C?AE?B為θ，由圖可知二面角C?AE?B為鈍二面角，所以cosθ=?4故二面角C?AE?B的正弦值為11135．【2021年甲卷理科】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵?，底面，，，，又，平面．所以?xún)蓛纱怪保詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，所以，所以．[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．[方法二]：幾何法如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開(kāi)闊學(xué)生的思維．6．【2021年乙卷理科】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)?，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.7．【2021年新高考1卷】如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，為二面角的平面角．因?yàn)?，所以．由已知得，故．又，所以．因?yàn)?，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類(lèi)題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.8．【2021年新高考2卷】在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)椋?，故，因?yàn)椋?，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.9．【2020年新課標(biāo)1卷理科】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）方法一：過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）[方法一]：勾股運(yùn)算法證明由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；[方法二]：空間直角坐標(biāo)系法不妨設(shè)，則，由圓錐性質(zhì)知平面，所以，所以．因?yàn)镺是的外心，因此．在底面過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)為W，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)閥軸正方向，方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，．故，．所以，．又，故平面．[方法三]：因?yàn)槭堑酌鎴AO的內(nèi)接正三角形，且為底面直徑，所以．因?yàn)椋矗┐怪庇诘酌妫诘酌鎯?nèi)，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕O(shè)，則F為的中點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)，且，則，，．因此，從而．又因?yàn)?，所以平面．[方法四]：空間基底向量法如圖所示，圓錐底面圓O半徑為R，連結(jié)，，易得，因?yàn)?，所以．以為基底，平面，則，，且，所以．故．所以，即．同理．又，所以平面．（2）[方法一]：空間直角坐標(biāo)系法過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫妫設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法設(shè)，易知F是的中點(diǎn)，過(guò)F作交于G，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．由平面，得平面．由（1）可得，，得．所以，根據(jù)三垂線定理，得．所以是二面角的平面角．設(shè)圓O的半徑為r，則，，，，所以，，．在中，，．所以二面角的余弦值為．[方法三]：射影面積法如圖所示，在上取點(diǎn)H，使，設(shè)，連結(jié)．由（1）知，所以．故平面．所以，點(diǎn)H在面上的射影為N．故由射影面積法可知二面角的余弦值為．在中，令，則，易知．所以．又，故所以二面角的余弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算證明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學(xué)生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出；方法四：利用空間基底解決問(wèn)題，此解法在解答題中用的比較少；（2）方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，通過(guò)三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)生；方法三：利用射影面積法求解二面角，提高解題速度.10．【2020年新課標(biāo)2卷理科】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，，又，，在中，為中點(diǎn)，則，又側(cè)面為矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：幾何法如圖，過(guò)O作的平行線分別交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于平面，平面，，平面，平面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因?yàn)椋?，，所以面．又因，所以面，所以與平面所成的角為．令，則，由于O為的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直線與平面所成角的正弦值也為．[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危桑á瘢┲矫?，則為平面的垂線．所以在平面的射影為．從而與所成角的正弦值即為所求．在梯形中，設(shè)，過(guò)E作，垂足為G，則．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，則為平面的法向量．因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)镺為正的中心，故．由面面平行的性質(zhì)得，所以四邊形為等腰梯形．由P，N為等腰梯形兩底的中點(diǎn)，得，則．設(shè)直線與平面所成角為，，則．所以直線與平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨設(shè)，則在直角中，．以向量為基底，從而，，．，，則，．所以．由（Ⅰ）知平面，所以向量為平面的法向量．設(shè)直線與平面所成角，則．故直線與平面所成角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直線的方向向量.11．【2020年新課標(biāo)3卷理科】如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）方法一：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點(diǎn)在平面內(nèi).［方法二］：空間向量共線定理以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．設(shè)，則．所以．故．所以，點(diǎn)在平面內(nèi)．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．［方法四］：根據(jù)題意，如圖3，設(shè)．在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以．延長(zhǎng)交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延長(zhǎng)交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．連接，根據(jù)相似三角形知識(shí)可得．在中，．同理，在中，．如圖4，在中，．所以，即G，，H三點(diǎn)共線．因?yàn)槠矫?，所以平面，得證．［方法五］：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，由長(zhǎng)方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、、、，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.［方法二］：定義法在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．

在中，．所以，則．［方法三］：向量法由題意得，由于，所以．如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，則與的夾角即為二面角的大?。?，得．其中，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由題易得，．所以．．．設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個(gè)面角公式，得，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過(guò)證明直線，根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證出，思路直接，簡(jiǎn)單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過(guò)證明三點(diǎn)共線說(shuō)明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對(duì)角線和長(zhǎng)方體的體對(duì)角線互相平分即可證出．（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個(gè)平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個(gè)向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．12．【2020年新高考1卷（山東卷）】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面．?）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)椋O(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以