思想篇　數(shù)學思想方法的應用

新高考★高中數(shù)學同步資源QQ群483122854專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題期待你的加入與分享思想篇數(shù)學思想方法的應用思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點、方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.求數(shù)列中的項或最值、求不等式中的參數(shù)、求解析幾何中距離或面積的最值等相關的非函數(shù)問題,往往都可利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.方程思想是從問題的數(shù)量關系入手,運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組去分析問題和解決問題.如變量的取值范圍、直線與圓錐曲線的位置關系、數(shù)列中的基本量、二項式系數(shù)等問題.函數(shù)思想與方程思想密切相關:方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標;函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進行研究;方程f(x)=a有解,當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究,方程思想則是在動中求靜,研究運動中的等量關系.真題示例解法關鍵[2021·新高考全國Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=

.

利用函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且y=x3在R上為奇函數(shù),得到函數(shù)y=a·2x-2-x也為R上的奇函數(shù),利用奇函數(shù)在x=0處有定義,且對應函數(shù)值為0構(gòu)造方程求出參數(shù)a.答案:1.真題示例解法關鍵(續(xù)表)真題示例解法關鍵

用二倍角余弦公式,將已知方程轉(zhuǎn)化為關于cosα的一元二次方程,求解得到cosα的值,再用同角三角函數(shù)的關系,即可得出結(jié)論.答案:A.(續(xù)表)真題示例解法關鍵[2021·北京卷]《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出,中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗,通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長a1,a2,a3,a4,a5(單位:cm)成等差數(shù)列,對應的寬為b1,b2,b3,b4,b5(單位:cm),且長與寬之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,則b3=(

)A.64

B.96C.128 D.160(續(xù)表)

C自測題

B自測題

C自測題

C自測題5.若存在兩個不相等的正實數(shù)x,y,使得m(y-x)+e2y-e2x=0成立,則實數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,-2)自測題思想二數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面.數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來,即將代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.

數(shù)形結(jié)合思想常用來解決函數(shù)零點、方程根與不等式問題,參數(shù)范圍問題,以立體幾何為模型的代數(shù)問題,解析幾何中的斜率、截距、距離等問題.真題示例解法關鍵先畫出圓錐與球的軸截面,在旋轉(zhuǎn)軸PS上找出球心,利用球的體積求出球的直徑,即兩個圓錐的高之和,再利用球心到圓錐底面距離、圓錐底面半徑、球的半徑作為直角三角形三邊長求出圓錐底面半徑,最后利用圓錐體積公式計算即可.答案:B.真題示例解法關鍵[2021·新高考全國Ⅰ卷]若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則(

)A.eb<a

B.ea<bC.0<a<eb

D.0<b<ea畫出函數(shù)的圖像,判斷點(a,b)與函數(shù)的圖像的位置關系,即可得到選項.答案:D.(續(xù)表)真題示例解法關鍵求出過A,B的直線方程,再求出圓心到直線AB的距離,得到圓上的點P到直線AB的距離范圍,可得A正確,B不正確;畫出圖形,由圖可知,當過B,P的直線與圓相切時,滿足∠PBA最小或最大,求出圓心與B點間的距離,再由勾股定理求得|PB|,可得C與D均正確.答案:ACD.(續(xù)表)真題示例解法關鍵(續(xù)表)真題示例解法關鍵[2020·全國新高考Ⅰ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞)

B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性,畫出函數(shù)f(x)的草圖,得到在相應區(qū)間上的符號,再根據(jù)xf(x-1)≥0,分類轉(zhuǎn)化為對應自變量的不等式,最后求并集得結(jié)果.答案:D.(續(xù)表)

C自測題

A自測題

B自測題4.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,BC的中點,過點D1,E,F作該正方體的截面α,α所在平面與DA的延長線交于點K,與DC的延長線交于點L,則三棱錐D1-DKL外接球的表面積為(

)A.32π B.20π C.22π D.18π[解析]如圖所示,設D1K交AA1于點M,D1L交CC1于點N,連接ME,FN,則截面D1MEFN為截面α.由于正方體的棱長為2,故DK=DL=3,設三棱錐D1-DKL的外接球的半徑為R,則4R2=22+32+32=22,故三棱錐D1-DKL的外接球的表面積為4πR2=22π.故選C.C自測題思想三分類討論思想

分類討論思想就是將一個復雜的數(shù)學問題分解成若干個簡單的基礎問題,通過對基礎問題的解答解決原問題的思維策略,實質(zhì)上就是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略.使用分類討論思想應明白這樣幾點:一是引起分類討論的原因;二是分類討論的原則,不重不漏,分類標準統(tǒng)一;三是明確分類討論的步驟.

常見的分類討論問題有以下幾種:(1)由概念引起的分類討論;(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的分類討論;(3)由數(shù)學運算引起的分類討論;(4)圖形的不確定性引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論.真題示例解法關鍵[2021·全國乙卷]設a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則(

)A.a<b

B.a>b

C.ab<a2

D.ab>a2分a>0和a<0兩種情況,結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意,通過圖像發(fā)現(xiàn)a,b的大小關系,進而得出答案.答案:D.[2021·全國乙卷]已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(

)A.?

B.S

C.T

D.Z分別討論當n是偶數(shù)、奇數(shù)時的集合元素情況,結(jié)合集合的基本運算進行判斷即可.答案:C.真題示例解法關鍵[2020·北京卷]已知α,β∈R,則“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的(

)A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件根據(jù)充分條件、必要條件的定義以及誘導公式分類討論即可判斷.答案:C.(續(xù)表)真題示例解法關鍵[2019·全國卷Ⅰ]甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是

.

分情況討論,即前五場甲隊獲勝的兩種情況,應用獨立事件的概率的計算公式求解即可.答案:0.18.(續(xù)表)1.算盤是一種手動操作計算輔助工具,它起源于我國,迄今已有2600多年的歷史,是我國古代的一項重要發(fā)明.算盤有很多種類,現(xiàn)有一種算盤(如圖S-1①)共兩檔,自右向左分別表示十進制數(shù)位的個位和十位,檔中橫以梁,梁上一珠撥下,記作數(shù)字5,梁下四珠,上撥每珠記作數(shù)字1(例如圖②中算盤表示整數(shù)51).如果撥動圖①中算盤的三個算珠,那么可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為(

)A.16 B.15 C.12 D.10C圖S-1自測題[解析]當不選十位時,有2種(3或7)情況,當在十位處選梁下一個算珠時,有2種(12或16)情況,當在十位處選梁下兩個算珠時,有2種(21或25)情況,當在十位處選梁上一個算珠時,有2種(52或56)情況,當在十位處選梁上一個和梁下一個算珠時,有2種(61或65)情況,當不選個位時,有2種(30或70)情況,故不同的整數(shù)共有12個,故選C.圖S-1自測題2.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=8,a4=-1,則數(shù)列{Sn}(

)A.有最大項,有最小項 B.有最大項,無最小項C.無最大項,有最小項 D.無最大項,無最小項

A自測題3.

(多選題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2-an=2,n∈N*,則下列說法正確的是(

)A.a1+a2,a3+a4,a5+a6,…為等差數(shù)列

B.a2-a1,a4-a3,a6-a5,…為常數(shù)列C.a2n-1=4n-3D.若數(shù)列{bn}滿足bn=(-1)n·an,則數(shù)列{bn}的前100項和為100ABD自測題[解析]方法一:數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2-an=2,n∈N*,則數(shù)列a1,a3,a5,…是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列a2,a4,a6,…是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列.對于A,a1+a2,a3+a4,a5+a6,…為等差數(shù)列,故A正確;對于B,a2-a1=2,a4-a3=2,a6-a5=2,…為常數(shù)列,故B正確;對于C,數(shù)列a1,a3,a5,…是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,故a2n-1=2n-1,故C錯誤;對于D,{bn}的前100項和T100=a2-a1+a4-a3+…+a100-a99=2×50=100,故D正確.故選ABD.方法二:令n=2k-1,k∈N*,有a2k+1-a2k-1=2,令n=2k,k∈N*,有a2k+2-a2k=2,所以{a2n-1}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,{a2n}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,a2n-1=2n-1,a2n=2n+1,所以C錯誤,易得A,B,D正確,故選ABD.自測題

D自測題

B圖S-2自測題

圖S-2自測題

圖S-2自測題思想四轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在研究解決數(shù)學問題時,采用某種手段將問題轉(zhuǎn)化,使問題得以解決的一種思維策略,其核心是把復雜的問題化歸為容易求解的問題,將較難的問題化歸為較簡單的問題,將未能解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題.

常見的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用具體表現(xiàn)在:將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題,立體幾何和解析幾何中一般性點或圖形問題轉(zhuǎn)化為特殊點或特殊圖形,“至少”或“是否存在”等正向思維受阻問題轉(zhuǎn)化為逆向思維,空間與平面的轉(zhuǎn)化,相等問題與不等問題的轉(zhuǎn)化等.真題示例解法關鍵由P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,得到四邊形PF1QF2為矩形,然后利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.答案:8.[2020·全國卷Ⅰ]已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=(

)A.2 B.3

C.6 D.9真題示例解法關鍵[2020·江蘇卷]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是

.

[2020·全國新高考Ⅰ卷]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為

.

首先判斷出數(shù)列{2n-1}與{3n-2}項的特征,從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構(gòu)成新數(shù)列的首項以及公差,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.答案:3n2-2n.(續(xù)表)真題示例解法關鍵[2020·全國卷Ⅰ]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點.過點P作☉M的切線PA,PB,切點為A,B,當|