離散型隨機變量

專題離散型隨機變量之頻率分布直方1-某班主任對本班40名同學(xué)每天參加課外活動的時間（分鐘）進行了詳細統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：（1） 求實數(shù)a的值以及參加課外活動時間在［10,20）中的人數(shù)；（2） 從每天參加活動不少于40分鐘的人中任選3人，用X表示參加課外活動不少于50分鐘的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.為快速控制新冠病毒的傳播，全球多家公司進行新冠疫苗的研發(fā)-某生物技術(shù)公司研制出一種新冠滅活疫苗，為了檢測其質(zhì)量指標，從中抽取了100支該疫苗樣本，經(jīng)統(tǒng)計質(zhì)量指標得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求所抽取的樣本平均數(shù)1（同一?組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）將頻率視為概率，若某家庭購買4支該疫苗，記這4支疫苗的質(zhì)景指標值位于（10,30］內(nèi)的支數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8?0米以上的進入決賽，把所得的成績進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知第6組的頻數(shù)是7.（1） 求進入決賽的人數(shù)；（2） 用樣本的頻率代替概率，記X表示兩人中進入決賽的人數(shù)，求X得分布列及數(shù)學(xué)期望.某企業(yè)對設(shè)備進行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本.檢測一項質(zhì)量指標值，該項質(zhì)量指標值質(zhì)量指標[15,20)[20,25)[25,30)[30.35)[35,40)[40,45)頻數(shù)2184814162落在區(qū)間［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為II合格品，否則視為不合格品，如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.（1）求圖中實數(shù)d的值;?326152025303540伉（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后,對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標值落在區(qū)間［25,30）內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；質(zhì)量指標值落在區(qū)間［20,25）或［30,35）內(nèi)的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率-若有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品支付的費用為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.某小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活的物資供應(yīng)?為做好口常生活必需的甲類物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類物資的購買量進行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖（如圖），現(xiàn)從小區(qū)超某天購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶?0.30.250.20.150.0.30.250.20.150.1（0）若抽取的5戶中購買量在［3,6〕（單位：kg）的戶數(shù)為2戶,從這5戶中選出3戶進行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在［3,6］（單位：kg）的戶數(shù)為&求§的分布列和期望.6?某單位食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元/個的價格出售，如果當(dāng)天賣不完,剩下的面包以1元/個的價格全部賣給飼料加工廠，根據(jù)調(diào)查，得到矮ms食堂每天面包銷售量X（單位：個）的頻率分布直方圖（如圖所示），將頻率視為概率，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作為代表. 0025…?…二J—（1） 求面包的日銷售量x（單位：個）的分布列和均值； 。枷“二廠（2） 若食堂每天購買的面包數(shù)量相同，該食堂有以下兩種購買。河5 方案：方案一：按平均數(shù)購買；方案二：按中位數(shù)購買，請你以利潤期望值為決策依據(jù)選擇更合理的方案.6070S0901001)031包ESPlii/個空氣質(zhì)量指數(shù)(0,50](50J00J(100,150](150,200](200,250](250,300]空氣質(zhì)量等級1空氣質(zhì)量指數(shù)(0,50](50J00J(100,150](150,200](200,250](250,300]空氣質(zhì)量等級1級優(yōu)2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴重污染7.某中學(xué)的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域的空r質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)矣系,如下表（假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300）:0.0060.0040.00250100)50200250300空,質(zhì)量拓數(shù)該社團將該校區(qū)在2019年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布宜方圖如圖所示，把該宜方圖所得頻率估計為概率.（1） 請估算2019年（以365天計算）全年空氣質(zhì)量優(yōu)、良的天數(shù)（未滿一天按一天計算）；（2） 該校2019年某三天舉行了一場運動會，若這三天中某天出現(xiàn)5級重度污染,需要凈化空氣費用10000元，出現(xiàn)6級嚴重污染,需要凈化空氣費用20000元,記這三天凈化空氣總費用為X元，求X的分布列.某中學(xué)有教師400人，其中高中教師240人.為了了解該校教師每天課外鍛煉時間，現(xiàn)利用分層抽樣的方法從該校教師中隨機抽取了100名教師進行調(diào)查，統(tǒng)計其每天課外鍛煉時間（所有教師每天課外鍛煉時間均在［0,60］分鐘內(nèi)），將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按［0,10）,［10,20）,［20,30）, ［50,60］分成6組，制成頻率分布直方圖如下：假設(shè)每位教師每天課外鍛煉時間相互獨立，并稱每天鍛煉時間小于20分鐘為缺乏鍛煉.初中教師 高中教師（1） 試估計本校教師中缺乏鍛煉的人數(shù)；（2） 從全市高中教師中隨機抽取3人，若X表示每天課外鍛煉時間少于10分鐘的人數(shù)，以這60名高中教師每天課外鍛煉時間的頻率代替每名高中教師每天課外鍛煉時間發(fā)生的概率，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.專題離散型隨機變■之頻率分布直方圖參考答案1.【詳解】(1)因為所有小矩形面積之和等于1,所以可得方程10d+0.02xl0+0.0375xl0+0.0175x10+1Oa=I,解得d=0.0125,由于參加課外活動時間在［10,20)內(nèi)的頻率等于0.0125x10=0.125,因此參加課外活動時間在［10,20)中的人數(shù)為40x0.125=5.(2)依題意，參加課外活動時間在［40,50),［50,60)的人數(shù)分別為7人和5人，隨機變量x的取值可能為0,1,2,3.因為P(X=O)=尋洛5P(XT)=警越P(X=2)=箸=￡，吃二3)=菁噲所以X的分布列為：X0123P74421447221227 71 7 1 5▼7 44 44 22 224?解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：(0,10］的頻率為:0.010x10=0.1：(0,20］的頻率為:0.020x10=0.2；(20,30］的頻率為:0.030x10=0.3；(30,40］的頻率:0.025x10=0.25；(40,50］的頻率為：0.015x10=0.15,葬5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45xOj5=26.5-(2)根據(jù)題意得每支滅活疫苗的質(zhì)量指標值位于(10,30］內(nèi)的概率為0.2+0.3=0.5,所以X~B(4,￡,X的可能取值為：0,1,2,3,4,p(x=0)=C出=占，1P(X=I)=C［lj4=i,P(X=2)=C;(1 、＞的分布列為:X01234P116143814116追求卓越 組編：張飛 校吼：劉路 審核：□E（X）=Ox—+Ixl+2x-+3x1+4x—=2?16 4 8 4 16-【詳解】（1）第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14,二總?cè)藬?shù)為一=50（A）.二第4,5,6組成績均進入決賽，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）x50=36（人力即進入決賽的人數(shù)為36.（2）由題意可知X的可能取值為0±2,進入決賽的概率為二=孚，5025磊叫…唱詈吩2）丫（野喘，所求分布列為?-X012P49625252625324=學(xué)，兩人中進入決賽的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為獸.?解：⑴據(jù)題意，得0.008x5+0.032x5+5?+0.024x5+0.036x5+0.020x5=1所以“=0.080⑵據(jù)表I分析知’從所有產(chǎn)品中隨機抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分別為黑'右隨機變量X的所有取值為240,300,360,420,480.p（X=240）=ixl=— =300）=Clxlxl=I1J6636 ' '?36 9P（X=360）=C;xD+m=2P（X=420）=C:x±xl=IP（X=480）=±x）=±1 '-2633 18' > -233 、 ）224隨機變量X的分布列為X240300360420480以E(X)=240xA-+300xA+360xA+420x|+480xA=400(元)5?【詳解】（1）將頻率視為概率，用戶購買量在[3,4）（單位：kg）的概率為土，則至少有兩戶購買量在[3,4）（單位：kg眠J概率為*1_信十_第列打=吾；（2）由題意得：侖的可能值為61,2,鄂爾多斯衡水實驗中學(xué) 崇德勵志P@=o)=等疇;臨二］)=等哈呢=2)=等=#§的分布列為07q11§的數(shù)學(xué)期望為￡(A)=0xklx±+2x-l=|.6?解：(1)由頻率分布直方圖可知，X所有的可能取值為65,75,85,95,105,且P(X=65)=0.025X10=0.25,P(X=75)=0.015x10=0.15,P(X=85)=0.02x10=0.2,P(X=95)=0.025x10=0.25,P(X=105)=0.015x10=0.15.因此】的分布列為：X65758595105P0.250.150.20.250.15E(X)=65x0.25+75x0.15+85x0.2+95x0.25+105x0.15=84.(2)由(1)知平均數(shù)為84,由頻率分布直方圖可知中位數(shù)為80+#右=85.假設(shè)食堂一天所獲利潤為丫元，若選擇方案一，即一天買入84個面包，當(dāng)X=65時，X=65x2-(84-65)x2=92;當(dāng)X=75時，K=75x2-(84-75)x2=132.當(dāng)X285時，『=84x2=168,此時E(Y)=92x0.25+132x0.15+168x0.6=143.6.若選擇方案二，即一天買入85個面包，當(dāng)X=65時，Y=65x2—(85—65)x2=90；當(dāng)X=75時，r=75x2-(85-75)x2=130；當(dāng)X>85時，y=85x2=170,此時E(y)=90x0.25+130x0.15+170x0.6=144.0為143.6V144,所以選擇方案二7.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可估算2019年(以365天計算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)'良的天數(shù)為(0.002X50+0.004x50)x365=0.3x365=109.5-110.(2)由題意知，X的所有可能取值為0,10000,20000930000,40000,50000,60000,由頻率分布直方圖知空氣質(zhì)量指數(shù)為(0,200］的概率為斗，

追求卓越 組編：張飛 校隊：劉路 審核：空氣質(zhì)量指數(shù)為(200.250］的概率為命，空氣質(zhì)量指數(shù)為(250,300］的概率為補，則P(x=o)蜀唱，P(X=10000)=c：xlxAj=A,P(X=20000)=C；彳胡x￡+c；x養(yǎng)f寸唱P(X=30000)=1_L|+C：x-LxCix—x￡=JL,P(X=4OOOO)=C；X：—?x?L+C：xf—jx?=—,110J31021051000 3lioJ103(10J51000P(X=50000)=C;xl_Ljx—=—,P(X=60000)=1I=J_?3|ioJ101000 110J1000所以X的分布列為X0100002000030000400005000060000p64125241252712549100027100031000110008?解：⑴由題意可得樣本中初中教師缺乏鍛煉的頻率為(0.015+0.020)x10=0.35,樣本中高中教師缺乏鍛煉的頻率為(0.010+0.040)x10=0.5,估計該校教師中缺乏鍛煉的人數(shù)為160x0.35+240x0.5=56+120=176-(2)由題意可知高中教師每天課外鍛煉時間少于10分鐘的頻率為0.010x10=0.1,所以高中教師每天課外鍛煉時間少于10分鐘的概率為鶴?X的可能取值為0,1,2,3,且X-43.1|,貝IJP(X=o)=C?xf2|=2?l,P(X=.)=C-x_L 竺'1 (10JKXX) *310uoj1000P(X=2)=C布LLIx—=—,P(X=3)=CAx|±|'7(10J101000*1