2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第11章 計數(shù)原理 第3講

PAGE17第3講二項式定理

[考綱解讀]1會用計數(shù)原理證明二項式定理，并會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．重點(diǎn)2熟練掌握二項式的展開式、展開式的通項及二項式系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．難點(diǎn)[考向預(yù)測]從近三年高考情況來看，本講為每年高考的必考點(diǎn)預(yù)測2022年將會考查：①求二項式的特定項或項的系數(shù)；②求二項式系數(shù)的最大項或二項式系數(shù)的和；③與其他知識進(jìn)行綜合考查題型以客觀題形式考查，難度不大，屬中、低檔題型

1．二項式定理

2．二項式系數(shù)的性質(zhì)

3常用結(jié)論1Ceq\o\al0,n＋Ceq\o\al1,n＋Ceq\o\al2,n＋…＋Ceq\o\aln,n＝2n2Ceq\o\al0,n＋Ceq\o\al2,n＋Ceq\o\al4,n＋…＝Ceq\o\al1,n＋Ceq\o\al3,n＋Ceq\o\al5,n＋…＝2n－13Ceq\o\al1,n＋2Ceq\o\al2,n＋3Ceq\o\al3,n＋…＋nCeq\o\aln,n＝n2n－14Ceq\o\alr,mCeq\o\al0,n＋Ceq\o\alr－1,mCeq\o\al1,n＋…＋Ceq\o\al0,mCeq\o\alr,n＝Ceq\o\alr,m＋n5Ceq\o\al0,n2＋Ceq\o\al1,n2＋Ceq\o\al2,n2＋…＋Ceq\o\aln,n2＝Ceq\o\aln,2n

1．概念辨析1a＋bn的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)．2二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．a(chǎn)＋b2n中系數(shù)最大的項是第n項．3a＋bn某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同．4若3－17＝a77＋a66＋…＋a1＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128答案1√2×3√4×

2．小題熱身1eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\r＋\f1,2\r8的展開式中常數(shù)項為\f35,16 \f35,8\f35,4 D．105答案B解析二項展開式的通項為T＋1＝Ceq\o\al,8eq\r8－·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,2\r＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,2Ceq\o\al,84－，令4－＝0，解得＝4，所以T5＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,24Ceq\o\al4,8＝eq\f35,82－yn的二項展開式中，第m項的系數(shù)是A．Ceq\o\alm,n B．Ceq\o\alm＋1,nC．Ceq\o\alm－1,n D．－1m－1Ceq\o\alm－1,n答案D解析－yn的二項展開式中第m項的通項公式為Tm＝Ceq\o\alm－1,n－ym－1n－m＋1，所以系數(shù)為Ceq\o\alm－1,n·－1m－13若－15＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44＋a55，則a0的值為A．－1B．0C．1D．2答案A解析令＝0得，－15＝a0，即a0＝－14若eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co13＋\f1,\rn的展開式中所有二項式系數(shù)之和為128，則n＝________答案7解析由題意，可知2n＝128，解得n＝7

題型eq\a\vs4\al一二項展開式

角度1求二項展開式中的特定項或系數(shù)1．12022·全國卷Ⅲeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co12＋\f2,5的展開式中4的系數(shù)為A．10B．20C．40D．8022022·茂名模擬已知a＝eq\i\in0,2π,cosd，則eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1a＋\f1,a6展開式中，常數(shù)項為________．答案1C220解析1由題可得Tr＋1＝Ceq\o\alr,525－req\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f2,r＝Ceq\o\alr,5·2r·10－3r令10－3r＝4，則r＝2，所以Ceq\o\alr,5·2r＝Ceq\o\al2,5×22＝40，故選C2因為a＝eq\i\in0,2π,cosd＝sineq\b\lc\|\rc\\a\vs4\al\co1eq\fπ,2,0＝1，eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1a＋\f1,a6展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\alr,6a6－2r令6－2r＝0，解得r＝3，代入得到常數(shù)項為20角度2已知二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)2．1已知2＋a1－25的展開式中，含2項的系數(shù)為70，則實數(shù)a的值為A．1B．－1C．2D．－22記eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co12＋\f1,3＝2b4，則n＝________答案1A25解析11－25展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\alr,5·－2r，所以2＋a1－25的展開式中，含2項的系數(shù)為2×Ceq\o\al2,5－22＋aCeq\o\al1,5－2＝70，解得a＝12Tr＋1＝Ceq\o\alr,n2n－req\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,r＝2n－rCeq\o\alr,n·n－2r∵b3＝2b4，∴2n－2·Ceq\o\al2,n＝2·2n－3·Ceq\o\al3,n∴Ceq\o\al2,n＝Ceq\o\al3,n，∴n＝5角度3多項展開式3．12022·全國卷Ⅰ2＋＋y5的展開式中，5y2的系數(shù)為A．10B．20C．30D．6022022·陜西黃陵中學(xué)模擬eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1＋\f1,＋25展開式中2的系數(shù)為A．120B．80C．20D．45答案1C2A解析12＋＋y5＝[2＋＋y]5的展開式中只有Ceq\o\al2,52＋3y2中含5y2，易知5y2的系數(shù)為Ceq\o\al2,5Ceq\o\al1,3＝30，故選C2eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1＋\f1,＋25＝eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\r＋\f1,\r25＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\r＋\f1,\r10Tr＋1＝Ceq\o\alr,10eq\r10－req\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,\rr＝Ceq\o\alr,105－r令5－r＝2解得r＝3T4＝Ceq\o\al3,102＝1202，所以eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1＋\f1,＋25展開式中2的系數(shù)為120

1．求二項展開式中的特定項或項的系數(shù)問題的思路1利用通項公式將T＋1項寫出并化簡．2令字母的指數(shù)符合要求求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等，解出3代回通項得所求．見舉例說明12．求解形如a＋bmc＋dn的展開式問題的思路1若m，n中有一個比較小，可考慮把它展開，如a＋b2c＋dn＝a2＋2ab＋b2c＋dn，然后分別求解．2觀察a＋bc＋d是否可以合并，如1＋51－7＝[1＋1－]51－2＝1－251－23分別得到a＋bm，c＋dn的通項公式，綜合考慮．3．求形如a＋b＋cn展開式中特定項的四步驟

1．2022·全國卷Ⅰeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co11＋\f1,21＋6展開式中2的系數(shù)為A．15B．20C．30D．35答案C解析因為1＋6的通項為Ceq\o\alr,6r，所以eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co11＋\f1,21＋6展開式中含2的項為1·Ceq\o\al2,62和eq\f1,2·Ceq\o\al4,64因為Ceq\o\al2,6＋Ceq\o\al4,6＝2Ceq\o\al2,6＝2×eq\f6×5,2×1＝30，所以eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co11＋\f1,21＋2．若1＋a7a≠0的展開式中5與6的系數(shù)相等，則a＝________答案3解析展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\alr,7ar，因為5與6系數(shù)相等，所以Ceq\o\al5,7a5＝Ceq\o\al6,7a6，解得a＝33．2022·河南鶴壁月考－y＋2y＋6的展開式中，2y32的系數(shù)為A．－30B．120C．240D．420答案B解析[＋2y＋]6的展開式中含2的項為Ceq\o\al2,6＋2y42，＋2y4的展開式中y3項的系數(shù)為Ceq\o\al3,4×23，2y2項的系數(shù)為Ceq\o\al2,4×22，∴－y＋2y＋6的展開式中2y32的系數(shù)為Ceq\o\al2,6Ceq\o\al3,4×23－Ceq\o\al2,6Ceq\o\al2,4×22＝480－360＝題型eq\a\vs4\al二二項式系數(shù)的性質(zhì)或各項系數(shù)的和

1．1－35＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44＋a55，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________答案－33解析令＝1得－25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32令＝0得，1＝a0；所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－332．2022·九江模擬已知eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\r＋\f1,2\r4,n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．1求n；2求展開式中的有理項；3求展開式中系數(shù)最大的項．解1由二項展開式知，前三項的系數(shù)分別為Ceq\o\al0,n，eq\f1,2Ceq\o\al1,n，eq\f1,4Ceq\o\al2,n，由已知得2×eq\f1,2Ceq\o\al1,n＝Ceq\o\al0,n＋eq\f1,4Ceq\o\al2,n，解得n＝8n＝1舍去．2eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\r＋\f1,2\r4,8的展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\alr,8eq\r8－r·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,2\r4,r＝2－rCeq\o\alr,8eq\s\u2C3C0”a，b∈R的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令＝1即可．2形如a＋byna，b∈R的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令＝y(tǒng)＝1即可．2．二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法1一般地，若f＝a0＋a1＋a22＋…＋ann，則f的展開式中各項系數(shù)之和為f1．2奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\ff1＋f－1,23偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\ff1－f－1,23．求解二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步，要弄清所求問題是“展開式系數(shù)最大”“二項式系數(shù)最大”兩者中的哪一個．第二步，若是求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)a＋bn中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求展開式系數(shù)的最大值，有兩個思路，如下：思路一：由于二項展開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子，可以看作關(guān)于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值．見舉例說明2思路二：由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1a≥a－1，,a≥a＋1即可求得答案

1．2022·汕頭質(zhì)檢若＋2＋m9＝a0＋a1＋1＋a2＋12＋…＋a9＋19，且a0＋a2＋…＋a82－a1＋a3＋…＋a92＝39，則實數(shù)m的值為________．答案－3或1解析令＝0，則2＋m9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又a0＋a2＋…＋a82－a1＋a3＋…＋a92＝a0＋a1＋a2＋…＋a9a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝39，∴2＋m9·m9＝39，∴m2＋m＝3，∴m＝－3或m＝12．已知eq\r3,＋22n的展開式的二項式系數(shù)和比3－1n的展開式的二項式系數(shù)和大992，則在eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co12－\f1,2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為________，系數(shù)的絕對值最大的項為________．答案－8064－153604解析由題意知，22n－2n＝992，即2n－322n＋31＝0，故2n＝32，解得n＝5由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co12－\f1,10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為T6＝Ceq\o\al5,1025eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f1,5＝－8064設(shè)第＋1項的系數(shù)的絕對值最大，則T＋1＝Ceq\o\al,10·210－·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f1,＝－1Ceq\o\al,10·210－·10－2，令eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1C\o\al,10·210－≥C\o\al－1,10·210－＋1，,C\o\al,10·210－≥C\o\al＋1,10·210－－1，得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1C\o\al,10≥2C\o\al－1,10，,2C\o\al,10≥C\o\al＋1,10，即eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co111－≥2，,2＋1≥10－，解得eq\f8,3≤≤eq\f11,3∵∈Z，∴＝3故系數(shù)的絕對值最大的項是第4項，T4＝－Ceq\o\al3,10·27·4＝－153604題型eq\a\vs4\al三二項式定理的應(yīng)用

1．設(shè)復(fù)數(shù)＝eq\f2i,1－ii是虛數(shù)單位，則Ceq\o\al1,2022＋Ceq\o\al2,20222＋Ceq\o\al3,20223＋…＋Ceq\o\al2022,20222022等于A．iB．－iC．－1＋iD．－1－i答案C解析＝eq\f2i,1－i＝eq\f2i1＋i,1－i1＋i＝－1＋i，Ceq\o\al1,2022＋Ceq\o\al2,20222＋Ceq\o\al3,20223＋…＋Ceq\o\al2022,20222022＝1＋2022－1＝i2022－1＝i－12．已知n為滿足S＝a＋Ceq\o\al1,27＋Ceq\o\al2,27＋Ceq\o\al3,27＋…＋Ceq\o\al27,27a≥3能被9整除的正數(shù)a的最小值，則eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f1,n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為A．第6項 B．第7項C．第11項 D．第6項和第7項答案B解析由于S＝a＋Ceq\o\al1,27＋Ceq\o\al2,27＋Ceq\o\al3,27＋…＋Ceq\o\al27,27＝a＋227－1＝89＋a－1＝9－19＋a－1＝Ceq\o\al0,9×99－Ceq\o\al1,9×98＋…＋Ceq\o\al8,9×9－Ceq\o\al9,9＋a－1＝9×Ceq\o\al0,9×98－Ceq\o\al1,9×97＋…＋Ceq\o\al8,9＋a－2，a≥3，所以n＝11，從而eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f1,11的展開式中的系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號差異，又中間兩項的二項式系數(shù)最大，中間兩項為第6項和第7項，且第6項系數(shù)為負(fù)，所以第7項系數(shù)最大．3．計算精確到解＝1＋6＝1＋6×＋15×＋…＝1＋＋＋…≈

二項式定理應(yīng)用的常見題型及求解策略1．整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中關(guān)注展開式的最后幾項，而求近似值則關(guān)注展開式的前幾項．見舉例說明22．二項式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項式定理，注意選擇合適的形式．3．利用二項式定理進(jìn)行近似計算：當(dāng)n不很大，||比較小時，1＋n≈1＋n若精確度要求較高，則可使用更精確的公式1＋n≈1＋n＋eq\fnn－1,22見舉例說明3

1．20