利用空間向量解立體幾何(完全版)

向量法解立體幾何引言立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，給老師對這部分內容的教學及學生解有關這部分內容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的想法，起到一個拋磚引玉的作用。屋本思路與方法一、基本工具數量積：a-b=a|b|cos0射影公式：向量a在b上的射影為乜K直線Ax+By+C=0的法向量為（A,B），方向向量為（-B,A）平面的法向量（略）平行關系線線平行o兩線的方向向量平行線面平行o線的方向向量與面的法向量垂直面面平行o兩面的法向量平行垂直關系

線線垂直(共面與異面)O兩線的方向向量垂直線面垂直O(jiān)線與面的法向量平行垂直O(jiān)兩向的法向量垂直點P(點P(X,y,z)與Q(x1距離為2,y2,J的111|PQ|=\：（x一x）線線夾角(共面與異面)線線夾角o兩線的方向向量的夾角或夾角的補角線面夾角+（y一y）2+（z-線線夾角(共面與異面)線線夾角o兩線的方向向量的夾角或夾角的補角線面夾角212121點線距離求點P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離：00方法：在直線上取一點Q(x,y),貝。向量pQ在法向量n=(A,B)上的射影PQ*"1nA2+B2即為點p到l的距離.一3?點面距離求點P(X,y)到平面a的距離：00方法：在平面a上去點Q(x,y)，得向量pq,計算平面a的法向量n,計算PQ在a上的射影，即為點P至曬a的距離.

求線面夾角的步驟：①先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；②再求其余角，即是線面的夾角.面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.實例分析一、運用法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a,b所成角0,只要在兩條異面直線a,b上各任取一向量AA和BB'，則角<AABB'>=0或n-0,因為0是銳角，所以cos0二AA'?BB',不需要用法向量。1、運用法向量求直線和平面所成角|a^bb^-1、運用法向量求直線和平面所成角設平面a的法向量為n=（X,y,1）,則直線AB和平面a所成的角0的正弦值為sin?=cos(‘-0)=|cos<AB,n>|=2AB?nAB?n2用用法向量求二面角

設二面角的兩個面的法向量為n,n，則<n,n>或n-<n,n>是所121212求角。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定<n,n>12是所求，還是n-<n,n>是所求角。一一一12二、運用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離設異面直線a、b的公共法向量為n=（x,y,z），在a、b上任取一點A、B，則異面直線a、b的距離一d二AB?coszBAA'=1AB?n1InI略證：如圖,EF為a、b的公垂線段,a'為過F與a平行的直?—?線，—A在a、b上任取一點A、B，過A作AA'纟EF,交a'于A'，則AA「//n，所以zBAA<BA,n>（或其補角）???異面直線a、b的距離d=AB?coszBAA'=1AB?n1InI—??—?其中，n的坐標可利用a、b上的任一向量a,b（或圖中的AE,BF）,?―?及n的定義得-n丄n丄a?n?a=0

nvn丄b[n?b=0解方程組可得no2、求點到面的距離求A點到平面a的距離，設平面a的法向量法為n=（x,y,1）,在a內任取一點B,則A點到平面a的距離為d=1AB?n1，n的坐標由n與InI平面a內的兩個不共線向量的垂直關系，得到方程組(類似于前面所?—?述，若方程組無解貝步去向量與XOY平面平行此時可改設n=(1,y,o)，下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面a的距離’設平面a的法向量法為n=(x,y,i),在直線a上任取一點A，在平面a內任取一點B，則直線a到平面a的距離d=1AB?n1InI4、求兩平行平面的距離?―?設兩個平行設平面a、B的公共法向量法為n=(x,y,1),在平面ap內各任取一點A、B，則平面a到平面p的距離d=1AB?n1_InI三、證明線面、面面的平行、垂直關系?—?設平面外的直線a和平面asp,兩個面a、p的法向量為n,n，則a//aoa丄n1a//Pon//n1212a丄aoa//n1a丄Pon丄n一一12、應用舉例：例1:如右下圖，在長方體ABCD—A1B1C1D】中，已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1.求二面角C—DE—C］的正切值；⑵求直線EC】與FD］所成的余弦值.解：(I)以A為原點，ab,ad,AAi分別為X軸，y軸,Z軸的正向建

立空間直角坐標系，則D(O,3,O)、D則D(O,3,O)、D1(O,3,2)、E(3,O,O)、F(4,1,O)、于是，DE=(3,一3,0),EC=(1,3,2),FD=(一4,2,2)設法向量n=(x,y,2)與平面CtDE垂直，則有n丄DEn丄EC1n=(一1,-1,2),向量AA=(0,0,2)與平面CDE垂直，in與AA所成的角6為二面角C-DE-C的平面角TOC\o"1-5"\h\zii_cn?AA-1x0-1x0+2x2V6cos6=1==InIx|AAIV1+1+4xj0+0+43——?_162/.tan6=2(II)設EC1^FD1所成角為P，則EC?FD1x(-4)+3x2+2x211IECIxIFDI11J12+32+22xJ(-4)2+22+22cos卩=14.?.zEDB=3Oo,zBDC=6Oo,.?.zEDC=9Oo,14如圖建立坐標系D-ECP，設AD=AB=1,則PF=FD=1,21,0)2P(0,0,1),E(應,O,O),B(iI1,0)222二PB=(,1,-1).PE=(I3,0,-1)/222平面PED的一個法向量為dc=(0,1,0)，設平面PAB的法向量為n=(x,y,1)由Jn丄PB由Jn丄PB?

In丄PE31—、(x,y,1)?(+巧，-D=0_n<(x,y,i)?,0,-1)=0邁x-1y-1=022逅x-1=0〔2n=Gz2???DC?n=0即DC丄n??平面PED丄平面PAB解：由(1)知：平面PAB的法向量為n=(A,0,1),設平面FAB的法向量為n1=(x,y,-1),由(1)知：F(0,0,1),fb=(應,1，-1幾FE=(遛,0,22222―?-1幾2一一由一一n丄FB1nn丄FB1n丄FE1(x,yT)?(孚芻-2)=0(x,y,-1)?,°,-—)-0L/31丄——x-—y+_222品丄10〔22x=nsy=0?4]=(吉,o,D???二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos9=|cos<n,n1>|iin?ni5/7

~T4~例3:在棱長為4的正方體ABCD-AfHF]中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC]上，且CC]=4CP.(I)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小(結果用反三角函數值表示)；(口)設O點在平面D1AP上的射影是H求證:D]H丄AP;(皿)求點P到平面ABD1的距離.解:(I)如圖建立坐標系D-ACD],???棱長為4???A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)???AP=(-4,4,1),顯然DC=(0,4,0)為平面BCC1B1的一個法向量??直線AP與平面BCC1B1所成的角6的正弦值sine二|cos<ap,DC>1=TOC\o"1-5"\h\z16_4預DC>1=<42+42+1?\：'4233???e為銳角，?直線AP與平面BCC.B.所成的角e為arcsin4/331133(皿)設平面ABD1的法向量為n=(x,y,1),?AB=(0,4,0),AD=(-4,0,4)1由n丄AB,n丄ad得<y_°?-n=(1/0/1),1[-4x+4_0???點P到平面ABD］的距離d=3f2例4：在長、寬、高分別為2，2，3的長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求Af與B1C的距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD1，則0（1，1，0）,A解：如圖，建立坐標系D-ACD1，則0（1，1，0）,A1（2，2，3），C（0，2，0）??AO—(-1,1,-3)BC—(-2,0,-3)AB—(0,2,0)1111設A]O與B1C的公共法向量為n-(x,y,1),則n丄AO13Vn丄BC1(x，y,i)?(-1,1,-3)—03J-x+y-*3—0、(x,y,1)?(-2,0,-3)—03[-2x-3—03x—-23

y——2CiDC???z33“n—(—，7；，1)22???A1O與B1C的距離為33_3伍_"IFd—IAB?nI^-4—InI(020)?〔-3,3,1'22丿例5歪棱長為1的正方體ABCD-AF&D］中，E、F分別是B&、C1D1的中點，求\到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD1，則B（1,1,0）ZA1（1,0,1),E(1，1，1)2???BD—(???BD—(-1,-1,0)BE—(-2,0,1)設面BDFE的法向量為n-(x,y,1)AB=(0,1,-1)1，則Bn丄BDn丄BE(x,y,l)?(-1,-1,0)=0—x—yn丄BDn丄BE(x,y,l)?(-1,-1,0)=0—x—y=01亠1(x,y,1)?(-2,0,1)二0-2x+1二0zIzx=2y=-2…n=(2,-2,1)A1到面BDFE的距離為—IAB?nI——1InIv；22+(-2)2+13五■課后練習：1、如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA]=2,點E為CC1中點，點F為BD】中點.(1)證明EF為BD】與CC1的公垂線；(2)求點D】到面BDE的距離.2、已知正方形ABCD，邊長為1,過D作PD丄平面ABCD，且PD=1,E、F分別是AB和B