2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)章末綜合檢測(cè)二隨機(jī)變量及其分布新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGEPAGEPAGE19章末綜合檢測(cè)（二）隨機(jī)變量及其分布A卷——基本知能盤查卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A．取到球的個(gè)數(shù) B．取到紅球的個(gè)數(shù)C．至少取到一個(gè)紅球 D．至少取得一個(gè)紅球的概率解析：選B隨機(jī)變量是隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，只有B滿足．2．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，有放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是()A．25 B．10C．9 D．5解析：選C由題意，由于是有放回地取，故可有如下情況：若兩次取球?yàn)橄嗤?hào)碼，則有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5個(gè)不同的和；若兩次取球?yàn)椴煌?hào)碼，則還有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9這四個(gè)和，故共有9個(gè)．3．某同學(xué)通過(guò)計(jì)算機(jī)測(cè)試的概率為eq\f(1,3)，他連續(xù)測(cè)試3次，其中恰有1次通過(guò)的概率為()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)解析：選A連續(xù)測(cè)試3次，其中恰有1次通過(guò)的概率為P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).4．已知ξ的分布列為ξ－1012Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)則ξ的均值為()A．0 B．－1C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)解析：選DE(ξ)＝－1×eq\f(1,4)＋0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,8)＝eq\f(1,4).5．如果隨機(jī)變量X表示拋擲一個(gè)各面分別有1,2,3,4,5,6的均勻的正方體向上面的數(shù)字，那么隨機(jī)變量X的均值為()A．2.5 B．3C．3.5 D．4解析：選C∵P(X＝k)＝eq\f(1,6)(k＝1,2,3，…，6)，∴E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋…＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)(1＋2＋…＋6)＝eq\f(1,6)×21＝3.5.6．若某校研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計(jì)劃同時(shí)參觀某科普展，該科普展共有甲、乙、丙三個(gè)展廳，6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在每個(gè)展廳參觀一小時(shí)后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲、乙、丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人；事件B為：在參觀的第一個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人．則P(A|B)＝()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,16)解析：選A由題意，A發(fā)生即甲、乙、丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人的情況數(shù)有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種；B發(fā)生，共有Ceq\o\al(2,6)·24＝240，P(A|B)＝eq\f(90,240)＝eq\f(3,8).7．設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，隨機(jī)變量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則D(3Y＋1)＝()A.eq\f(8,3) B．4C．8 D．10解析：選C由題意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，所以p＝eq\f(1,3)，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，故D(Y)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9)，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×eq\f(8,9)＝8.8．在等差數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝－4.現(xiàn)從{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)取數(shù)，每次取出一個(gè)數(shù)，取后放回，連續(xù)抽取3次，假定每次取數(shù)互不影響，那么在這三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,25) D.eq\f(6,25)解析：選D由a4＝2，a7＝－4可得等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝10－2n(n＝1,2，…，10)，{an}的前10項(xiàng)分別為8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由題意，三次取數(shù)相當(dāng)于三重伯努利試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中取得正數(shù)的概率為eq\f(2,5)，取得負(fù)數(shù)的概率為eq\f(1,2)，在三次取數(shù)中，取出的數(shù)恰好為兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率為Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(6,25).二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列說(shuō)法正確的是()A．某輛汽車一年中發(fā)生事故的次數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量B．正態(tài)分布隨機(jī)變量等于一個(gè)特定實(shí)數(shù)的概率為0C．公式E(X)＝np可以用來(lái)計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值D．從一副撲克牌中隨機(jī)抽取5張，其中梅花的張數(shù)服從超幾何分布解析：選ABD公式E(X)＝np并不適用于所有的離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算，適用于二項(xiàng)分布的均值的計(jì)算，故C錯(cuò)誤，易知A、B、D正確．10．已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：ξ123Peq\f(1,4)1－eq\f(3,2)a2a2則實(shí)數(shù)a的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)解析：選BC由隨機(jī)變量ξ的分布知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤1－\f(3,2)a≤1，,0≤2a2≤1，,\f(1,4)＋1－\f(3,2)a＋2a2＝1，))解得a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,4).11．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有6個(gè)紅球，2個(gè)白球和2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出1個(gè)球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，下列結(jié)論正確的是()A．事件B與事件A1不相互獨(dú)立B．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件C．P(B|A1)＝eq\f(7,11)D．P(B)＝eq\f(3,5)解析：選ABC由題意知，A1，A2，A3是兩兩互斥事件，且P(A1)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(7,11),\f(1,2))＝eq\f(7,11)，P(B|A2)＝eq\f(6,11)，P(B|A3)＝eq\f(6,11)，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(6,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(6,11)＝eq\f(13,22).所以A、B、C正確，D不正確．12.甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99解析：選ABC由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x＝0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線x＝0.8對(duì)稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正確，C正確；因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因?yàn)橐覉D象的最大值為1.99，即eq\f(1,σ2\r(2π))＝1.99，所以σ2≠1.99，故D錯(cuò)誤．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．某處有供水龍頭5個(gè)，調(diào)查表示每個(gè)水龍頭被打開的可能性均為eq\f(1,10)，3個(gè)水龍頭同時(shí)被打開的概率為________．解析：對(duì)5個(gè)水龍頭的處理可視為做5重伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有2種可能結(jié)果：打開或不打開，相應(yīng)的概率為0.1或1－0.1＝0.9，根據(jù)題意得3個(gè)水龍頭同時(shí)被打開的概率為Ceq\o\al(3,5)×0.13×0.92＝0.0081.答案：0.008114．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ＜0)＝________.解析：因?yàn)镻(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.答案：0.1615.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m則P(X＝10)＝________.解析：由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知eq\f(2,3)＋eq\f(2,32)＋eq\f(2,33)＋…＋eq\f(2,39)＋m＝1，∴m＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋\f(2,33)＋…＋\f(2,39)))＝1－2·eq\f(\f(1,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9＝eq\f(1,39).答案：eq\f(1,39)16．設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次重伯努利試驗(yàn)，當(dāng)p＝________時(shí)，成功次數(shù)的方差的值最大，其最大值為__________．解析：成功次數(shù)X～B(100，p)，所以D(X)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)時(shí)，成功次數(shù)的方差最大，其最大值為25.答案：eq\f(1,2)25四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．解：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)的事件數(shù)為Aeq\o\al(2,6)＝30，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理第1次抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因?yàn)榈?次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的事件數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).18．(12分)某校從學(xué)生會(huì)宣傳部6名成員(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動(dòng)．(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)ξ的所有可能取值為0,1,2，依題意得P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件eq\x\to(C)，則P(eq\x\to(C))＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).∴所求概率為P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(B|A)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).19．(12分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7).

20.(12分)某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時(shí)間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長(zhǎng)但不擁擠，X服從正態(tài)分布N(6,0.16)．有一天他出發(fā)時(shí)離點(diǎn)名時(shí)間還有7分鐘，問(wèn)他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時(shí)間還有6.5分鐘，問(wèn)他應(yīng)選哪一條路線？解：還有7分鐘時(shí)，若選第一條路線，X服從N(5,1)，能及時(shí)到達(dá)的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋P(5<x≤7)．若選第二條路線，X服從N(6,0.16)，能及時(shí)到達(dá)的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋P(6<X≤7)，由相關(guān)性質(zhì)得P1<P2，選第二條路線．同理，還有6.5分鐘時(shí)，選第一條路線．21．(12分)九節(jié)蝦的蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節(jié)白色花紋，肉味鮮美．某酒店購(gòu)進(jìn)一批九節(jié)蝦，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]數(shù)量4121185(1)若購(gòu)進(jìn)這批九節(jié)蝦35000g，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率估計(jì)概率，若在本次購(gòu)買的九節(jié)蝦中隨機(jī)挑選4只，記質(zhì)量在[5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X，求X的分布列及期望．解：(1)由表中數(shù)據(jù)可以估計(jì)每只九節(jié)蝦的質(zhì)量為eq\f(1,40)×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因?yàn)?5000÷29.5≈1186(只)，所以這批九節(jié)蝦的數(shù)量約為1186只．(2)由表中數(shù)據(jù)知，任意挑選1只九節(jié)蝦，質(zhì)量在[5,25)間的概率p＝eq\f(4＋12,40)＝eq\f(2,5)，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(216,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625).所以X的分布列為X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)E(X)＝0×eq\f(81,625)＋1×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(96,625)＋4×eq\f(16,625)＝eq\f(8,5).22．(12分)目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，并計(jì)算這500名患者中潛伏期超過(guò)8天的人數(shù)；(2)研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對(duì)新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過(guò)逐一試驗(yàn)直到把這2種特別有效的藥物找出來(lái)為止，每一次試驗(yàn)花費(fèi)的費(fèi)用是500元，設(shè)所需要的試驗(yàn)費(fèi)用為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(0.02×1＋0.08×3＋0.15×5＋0.18×7＋0.03×9＋0.03×11＋0.01×13)×2＝6，這500名患者中潛伏期超過(guò)8天的頻率為(0.03＋0.03＋0.01)×2＝0.14，所以潛伏期超過(guò)8天的人數(shù)為500×0.14＝70.(2)由題意知，所需要的試驗(yàn)費(fèi)用X所有可能的取值為1000,1500,2000，P(X＝1000)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1500)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝2000)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3)A\o\al(3,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，所以X的分布列為X100015002000Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)數(shù)學(xué)期望E(X)＝1000×eq\f(1,10)＋1500×eq\f(3,10)＋2000×eq\f(3,5)＝1750(元)．B卷——高考能力達(dá)標(biāo)卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，則c＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B因?yàn)镻(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故選B.2．隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16 B．11C．2.2 D．2.3解析：選A由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故選A.3．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，則參數(shù)n，p的值分別為()A．12,0.4 B．12,0.6C．6,0.4 D．6,0.6解析：選CE(ξ)＝np＝2.4，D(ξ)＝np(1－p)＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.4．甲、乙兩人對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，甲命中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，乙命中目標(biāo)的概率為eq\f(4,5)，設(shè)命中目標(biāo)的人數(shù)為X，則D(X)等于()A.eq\f(86,225) B.eq\f(259,675)C.eq\f(22,15) D.eq\f(15,22)解析：選AX的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，所以E(X)＝eq\f(22,15)，D(X)＝eq\f(86,225).5．對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的條件下，第二次也摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(5,9)解析：選D記“第一次摸到正品”為事件A，“第二次摸到正品”為事件B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,9).6．一接待中心有A，B，C，D四部熱線電話，已知某一時(shí)刻電話A，B占線的概率為0.5，電話C，D占線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響，假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話占線，則P(ξ＝2)等于()A．0.47 B．0.38C．0.37 D．0.25解析：選CP(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×(0.5)2×(0.6)2＋Ceq\o\al(2,2)×(0.4)2×(0.5)2＋Ceq\o\al(1,2)×(0.5)2×Ceq\o\al(1,2)×0.4×0.6＝0.37.7．一臺(tái)機(jī)床有eq\f(1,3)的時(shí)間加工零件A，其余時(shí)間加工零件B.加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率為eq\f(3,10)，加工零件B時(shí)，停機(jī)的概率是eq\f(2,5)，則這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率為()A.eq\f(11,30) B.eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D.eq\f(1,10)解析：選A假設(shè)總時(shí)間為1，則在1時(shí)間內(nèi)，加工零件A停機(jī)的概率是eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,10)，加工零件B停機(jī)的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率是eq\f(1,10)＋eq\f(4,15)＝eq\f(11,30).8．某商家進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是顧客每消費(fèi)1000元，便可以獲得獎(jiǎng)券1張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,5)，若中獎(jiǎng)，則商家返還中獎(jiǎng)的顧客現(xiàn)金1000元．小王購(gòu)買一套價(jià)格為2400元的西服，只能得到2張獎(jiǎng)券，于是小王補(bǔ)償50元給一同事購(gòu)買一件價(jià)格為600元的便服，這樣小王就得到了3張獎(jiǎng)券．設(shè)小王這次消費(fèi)的實(shí)際支出為ξ(元)，則E(ξ)等于()A．1850 B．1720C．1560 D．1480解析：選A根據(jù)題意知，ξ的可能取值為2450,1450,450，－550，且P(ξ＝2450)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)，P(ξ＝1450)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(48,125)，P(ξ＝450)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝eq\f(12,125)，P(ξ＝－550)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(1,125)，∴E(ξ)＝2450×eq\f(64,125)＋1450×eq\f(48,125)＋450×eq\f(12,125)＋(－550)×eq\f(1,125)＝1850.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知ξ是離散型隨機(jī)變量，則下列結(jié)論正確的是()A．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|ξ|≤\f(1,3)))≤Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ2≤\f(1,3)))B．(E(ξ))2≤E(ξ2)C．D(ξ)＝D(1－ξ)D．D(ξ2)＝D((1－ξ)2)解析：選ABC在A中，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|ξ|≤\f(1,3)))＝P－eq\f(1,3)≤ξ≤eq\f(1,3)≤Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ2≤\f(1,3)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)≤ξ≤\f(\r(3),3)))，故A正確；在B中，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得(E(ξ))2≤E(ξ2)，故B正確；在C中，由方差的性質(zhì)得D(ξ)＝D(1－ξ)，故C正確；在D中，D(ξ2)≠D((1－ξ)2)＝4D(ξ)＋D(ξ2)，故D錯(cuò)誤．故選A、B、C.10．某人參加一次測(cè)試，在備選的10道題中，他能答對(duì)其中的5道．現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，規(guī)定至少答對(duì)2題才算合格，則下列選項(xiàng)正確的是()A．答對(duì)0題和答對(duì)3題的概率相同，都為eq\f(1,8)B．答對(duì)1題的概率為eq\f(3,8)C．答對(duì)2題的概率為eq\f(5,12)D．合格的概率為eq\f(1,2)解析：選CD設(shè)此人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，所以答對(duì)0題和答對(duì)3題的概率相同，都為eq\f(1,12)，故A錯(cuò)誤；答對(duì)1題的概率為eq\f(5,12)，故B錯(cuò)誤；答對(duì)2題的概率為eq\f(5,12)，故C正確；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正確．故選C、D.11．設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析：選AC由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A正確；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正確，D錯(cuò)誤．12．一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論中正確的是()A．從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是eq\f(3,5)B．從中有放回地取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為eq\f(4,3)C．現(xiàn)從中不放回地取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為eq\f(2,5)D．從中有放回地取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為eq\f(26,27)解析：選ABD恰有一個(gè)白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故A正確；每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差為6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故B正確；設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故C錯(cuò)誤；每次取到紅球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到紅球的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故D正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．如果隨機(jī)變量X～N(4,1)，則P(X≤2)＝________.(保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)解析：P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×eq\f(1,2)＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×eq\f(1,2)＝(1－0.9545)×eq\f(1,2)≈0.023.答案：0.02314．一道有5個(gè)選項(xiàng)的試題，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確，假定應(yīng)考人知道正確答案的概率為p.如果他最后選對(duì)了，則他確實(shí)知道答案的概率是________．解析：設(shè)A＝{知道答案}，B＝{選擇正確}，由題意可知P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝1，P(AB)＝P(A)＝p.由全概率公式：P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq\x\to(A))P(eq\x\to(A))＝p＋eq\f(1,5)(1－p)＝eq\f(4p＋1,5)，得到：P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(5p,4p＋1).答案：eq\f(5p,4p＋1)15．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2p,3)則ξ的數(shù)學(xué)期望的最小值是________．解析：E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又因?yàn)?>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2p,3)≥0，所以0≤p≤eq\f(3,2).所以當(dāng)p＝eq\f(3,2)時(shí)，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)16．一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)注數(shù)字0，兩個(gè)面上標(biāo)注數(shù)字1，一個(gè)面上標(biāo)注數(shù)字2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是________．解析：設(shè)ξ表示向上的數(shù)之積，則P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(ξ＝0)＝eq\f(3,4)，所以E(ξ)＝1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(1,9)＋4×eq\f(1,36)＋0×eq\f(3,4)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)黔東南州雷山西江千戶苗寨是目前中國(guó)乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來(lái)自世界各地的游客絡(luò)繹不絕．假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)ξ是服從正態(tài)分布N(2000,10000)的隨機(jī)變量．求每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率．解：因?yàn)榉恼龖B(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率為0.6827，隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2000,1002)，所以每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6827)≈0.1587.18．(12分)在1,2,3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)，(1)求這3個(gè)數(shù)恰有1個(gè)偶數(shù)的概率；(2)記X為3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，例如取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時(shí)X的值為2，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)設(shè)Y表示“任取的3個(gè)數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)”，則Y服從N＝9，M＝4，n＝3的超幾何分布，所以P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)X的取值為0,1,2，P(X＝1)＝eq\f(2×6＋6×5,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(7,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(5,12)，所以X的分布列為X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).19．(12分)由于新型冠狀病毒的影響，某地對(duì)可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進(jìn)入餐飲區(qū)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售．已知該海產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為eq\f(1,6)，第二輪檢測(cè)不合格的概率為eq\f(1,10)，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響．(1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率；(2)如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利－80元)．已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利ξ元，求ξ的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)記“該海產(chǎn)品不能銷售”為事件A，則P(A)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(1,4).所以該海產(chǎn)品不能銷售的概率為eq\f(1,4).(2)由已知，可知ξ的可能取值為－320，－200，－80,40,160.P(ξ＝－320)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))4＝eq\f(1,256)，P(ξ＝－200)＝Ceq\o\al(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3·eq\f(3,4)＝eq\f(3,64)，P(ξ＝－80)＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,128)，P(ξ＝40)＝Ceq\o\al(3,4)·eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，P(ξ＝160)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,256).所以ξ的分布列為ξ－320－200－8040160Peq\f(1,256)eq\f(3,64)eq\f(27,128)eq\f(27,64)eq\f(81,256)E(ξ)＝－320×eq\f(1,256)－200×eq\f(3,64)－80×eq\f(27,128)＋40×eq\f(27,64)＋160×eq\f(81,256)＝40.20．(12分)某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)．(1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘．所以P(A)