全等三角形壓軸題和分類解析

..七年級下三角形綜合題歸類一、雙等邊三角形模型1.〔1如圖7,點O是線段AD的中點,分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點E,連結(jié)BC．求∠AEB的大?。弧?如圖8,ΔOAB固定不動,保持ΔOCD的形狀和大小不變,將ΔOCD繞著點O旋轉(zhuǎn)〔ΔOAB和ΔOCD不能重疊,求∠AEB的大小.CBCBOD圖7AEBAODCE圖82.已知:點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN都是等邊三角形,且AN、BM相交于O.①求證：AN=BM②求∠AOB的度數(shù)。③若AN、MC相交于點P,BM、NC交于點Q,求證：PQ∥AB?！瞂X·中考題AABCMNOPQ同類變式：如圖a,△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形,且有一個公共頂點C,連接AF和BE.<1>線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請證明你的結(jié)論；<2>將圖a中的△CEF繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度,得到圖b,<1>中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說明理由；<3>若將圖a中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度,請你畫出一個變換后的圖形c<草圖即可>,<1>中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說明理由.圖c3.如圖9,若和為等邊三角形,分別為的中點,易證：,是等邊三角形．〔1當把繞點旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時,是否仍然成立？若成立,請證明；若不成立,請說明理由；〔2當繞點旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時,是否還是等邊三角形？若是,請給出證明,若不是,請說明理由．圖圖9 圖10圖11圖8同類變式：已知,如圖①所示,在和中,,,,且點在一條直線上,連接分別為的中點．〔1求證：①；②；CENDABM圖①CAEMBDN圖CENDABM圖①CAEMBDN圖②4.如圖,四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形,連接BG與DE相交于點H．〔1證明：△ABG△ADE；〔2試猜想BHD的度數(shù),并說明理由；〔3將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)〔0°＜BAE＜180°,設△ABE的面積CFGEDBAH為,△ADG的面積為CFGEDBAH5.已知：如圖,是等邊三角形,過邊上的點作,交于點,在的延長線上取點,使,連接．〔1求證：；〔2過點作,交于點,請你連接,并判斷是怎樣的三角形,試證明你的結(jié)論．二、垂直模型〔該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內(nèi)容考點1：利用垂直證明角相等如圖,△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,AE是BC邊上的中線,過C作CF⊥AE,垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．求證：〔1AE＝CD；〔2若AC＝12cm,求BD的長．〔XX中考如圖<1>,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B、C在A、E的異側(cè),BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。圖<1>圖<2>圖<3><1>試說明:BD=DE+CE.<2>若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖<2>位置時<BD<CE>,其余條件不變,問BD與DE、CE的關(guān)系如何?寫結(jié)論,并說明理由。<3>若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖<3>位置時<BD>CE>,其余條件不變,問BD與DE、CE的關(guān)系如何?寫出結(jié)論,可不說明理由。3.直線CD經(jīng)過的頂點C,CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點,且．〔1若直線CD經(jīng)過的內(nèi)部,且E、F在射線CD上,請解決下面兩個問題：①如圖1,若,則〔填"",""或""號；②如圖2,若,若使①中的結(jié)論仍然成立,則與應滿足的關(guān)系是；〔2如圖3,若直線CD經(jīng)過的外部,,請?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系,并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖3考點2：利用角相等證明垂直已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為BC的中點,DE⊥AB,垂足為E,過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F,連接CF．<1>求證：CD=BF；<2>求證：AD⊥CF；<3>連接AF,試判斷△ACF的形狀.拓展鞏固：如圖9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD是BC邊上的中線,過C作AD的垂線,交AB于點E,交AD于點F,求證：∠ADC＝∠BDE．AABCDEF圖9〔提示：對比此題的條件和上面那題的條件,對比此題的圖形和上題的圖像,有什么區(qū)別和聯(lián)系？3.如圖1,已知正方形的邊在正方形的邊上,連接,.

〔1試猜想與有怎樣的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論；〔2將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn),使點落在邊上,如圖2,連接和.你認為〔1中的結(jié)論是否還成立？若成立,給出證明；若不成立,請說明理由.4.如圖1,的邊BC在直線上,且的邊也在直線上,邊與邊重合,且在圖1中,請你通過觀察、測量,猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；將沿直線向左平移到圖2的位置時,交于點,連接.猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請證明你的猜想；〔3將沿直線向左平移到圖3的位置時,的延長線交的延長線于點Q,連結(jié),你認為〔2中所猜想的與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立,給出證明；若不成立,請說明理由.ll<1>AB<F><E>CPABECFPQ<2>lAABECFPl<3>Q三、等腰三角形〔中考重難點之一考點1：等腰三角形性質(zhì)的應用如圖,中,,,是中點,,與交于,與交于．求證：,．兩個全等的含,角的三角板和三角板,如圖所示放置,三點在一條直線上,連結(jié),取的中點,連結(jié)．試判斷的形狀,并說明理由．壓軸題拓展：〔三線合一性質(zhì)的應用已知中,,,為邊的中點,,繞點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交、〔或它們的延長線于、．當繞點旋轉(zhuǎn)到于時〔如圖1,易證．當繞點旋轉(zhuǎn)到和不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明；若不成立,,,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,不需證明．提示：此題為上面題目的綜合應用,思路與第一題相似。已知：如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點,連結(jié)DH與BE相交于點G。<1>BF=AC<2>CE=BF<3>CE與BC的大小關(guān)系如何?？键c2：等腰直角三角形〔45度的聯(lián)想如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動〔點E不與點A,B重合,另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.⑴如圖14―1,當點E在AB邊的中點位置時：①通過測量DE,EF的長度,猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是；②連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是；③請證明你的上述兩猜想.⑵如圖14―2,當點E在AB邊上的任意位置時,請你在AD邊上找到一點N,使得NE=BF,進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明2.在Rt△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,D是AC的中點,DG⊥AC交AB于點G.〔1如圖1,E為線段DC上任意一點,點F在線段DG上,且DE=DF,連結(jié)EF與CF,過點F作FH⊥FC,交直線AB于點H．①求證：DG=DC②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．圖1圖2〔2若E為線段DC的延長線上任意一點,點F在射線DG上,<1>中的其他條件不變,借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形,并判斷你在<1>中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變．〔本小題直接寫出結(jié)論,不必證明圖1圖2同類變式：〔期末考試原題哦已知：△ABC為等邊三角形,M是BC延長線上一點,直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點A,且60o角的頂點E在BC上滑動,〔點E不與點B、C重合,斜邊與∠ACM的平分線CF交于點F〔1如圖〔1當點E在BC邊得中點位置時eq\o\ac<○,1>猜想AE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是.eq\o\ac<○,2>連結(jié)點E與ＡＢ邊得中點Ｎ,猜想ＢＥ和ＣＦ滿足的數(shù)量關(guān)系是.eq\o\ac<○,3>請證明你的上述猜想；〔２如圖〔２當點Ｅ在ＢＣ邊得任意位置時,ＡＥ和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明你的理由？EE四、角平分線問題1.如圖：E在線段CD上,EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,設AD＝,BC＝,且滿足〔1求AD和BC的長；〔2你認為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗證你的結(jié)論；ACACBDE2.如圖①,OP是∠MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題：〔1如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；<第23題圖>OPAMNEBCDFA<第23題圖>OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③3.<北京市中考模擬題>如圖,在四邊形中,平分,過作,并且,則等于多少？4.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1說明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的長.五、中點問題1.在△ABC中,為的中點,過點的直線交于,交的平行線于點。,并交于點.連結(jié).〔1求證:；〔2請猜想與的大小關(guān)系,并加以證明如右下圖,在中,若,,為邊的中點．求證：．已知中,,為的延長線,且,為的邊上的中線．求證〔提示：倍長中線試試附加思考題：〔此題有很好地思維訓練價值,值得深入思考探究以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰,.連接,、分別是、的中點．探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．⑴如圖①當為直角三角形時,與的位置關(guān)系是；線段與的數(shù)量關(guān)系是；⑵將圖①中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)<>后,如圖②所示,⑴問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．1．判斷與說理〔1如圖11－1,△ADE中,AE=AD且∠AED=∠ADE,∠EAD=90°,EC、DB分別平分∠AED、∠ADE,交AD、AE于點C、B,連接BC．請你判斷AB、AC是否相等,并說明理由；圖11－1圖11－2O〔2△ADE的位置保持不變,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖11－2的位置,圖11－1圖11－2O圖12

－2圖12圖12

－2圖12

－1①如圖12-1,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN.②如圖12-2,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.圖12

－3圖12圖12

－3圖12

－4③如圖12-3,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,則BM=CN.〔友情提示：正多邊形的各邊相等且各內(nèi)角也相等〔1請你從①、②、③三個命題中選擇一個說明理由；〔2請你繼續(xù)完成下面的探索：圖12

－5①如圖12-4,在正n邊形〔n≥6中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,問當∠BON等于多少度時,結(jié)論BM=圖12

－5②如圖12-5,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、AE上的點,BM與CN相交于點O,當∠BON=108°時,請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立,請給予證明；若不成立,請說明理由.解：〔1我選.〔僅填寫①、②、③中的一個理由如下：〔23.如圖9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD是BC邊上的中線,過C作AD的垂線,交AB于點E,交AD于點F。請你猜想∠ADC和∠BDE關(guān)系,并證明你的猜想。AABCDEF圖94.如下幾個圖形是五角星和它的變形．AABCDE<1>ABCDE<2>BACDE<3>〔1圖⑴中是一個五角星形狀,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；〔2圖⑴中的點A向下移到BE上時〔如圖⑵五個角的和〔即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E有無變化？說明你的結(jié)論的正確性；〔3把圖⑵中的點C向上移動到BD上時〔如圖⑶,五個角的和〔即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E有無變化？說明你的結(jié)論的正確性．〔4如圖,在中,CD、BE分別是AB、AC邊上的中線,延長CD到F,使FD=CD,延長BE到G,使EG=BE,那么AF與AG是否相等？F、A、G三點是否在一條直線上？說說你的理由.AABCABCABCD圖〔1圖〔2圖〔35、操作實驗：如圖,把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開,發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個三角形成軸對稱．所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C．ABABC圖<4>根據(jù)上述內(nèi)容,回答下列問題：思考驗證：如圖〔4,在△ABC中,AB=AC．試說明∠B=∠C的理由．圖〔5CA圖〔5CABDE〔1BE與AD是否相等？為什么？〔2小明認為AC是線段DE的垂直平分線,你認為對嗎？說說你的理由。〔3∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．6.如圖13-1,在邊長為5的正方形中,點、分別是、邊上的點,且,.〔1求∶的值；〔2延長交正方形外角平分線〔如圖13-2,試判斷的大小關(guān)系,并說明理由；〔3在圖13-2的邊上是否存在一點,使得四邊形是平行四邊形？若存在,請給予證明；若不存在,請說明理由．圖13-1圖13-1ADCBE圖13-2BCEDAFPF7.團體購買某"素質(zhì)拓展訓練營"的門票,票價如表〔a為正整數(shù)：團體購票人數(shù)1～5051～100100以上每人門票價a元〔a3元〔a6元⑴某中學高一〔1、高一〔2班同學準備參加"素質(zhì)拓展訓練營"活動,其中高一〔1班人數(shù)不超過50,高一〔2的人數(shù)超過50但不超過80。當a=48時,若兩班分別購票,兩班總計應付門票費4914元；若合在一起作為一個團體購票,總計支付門票費4452元。問這兩個班級各有多少人？⑵某校學生會現(xiàn)有資金4429元用于購票,打算組織本校初三年級團員參加該項活動。為了讓更多的人能參加活動,學生會統(tǒng)一組織購票,購票資金恰好全部用完,且參加人數(shù)超過了100人,問共有多少人參加了這一活動？并求出此時a的值。8.如下圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,則∠B∶∠C的值為．AABCDEFO9.如左下圖,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,則圖中全等三角形的組數(shù)是〔A.3B.4C.5D.610.兩個全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置,E,A,C三點在一條直線上,連結(jié)BD,取BD的中點M,連結(jié)ME,MC．試判斷△EMC的形狀,并說明理由．11、〔1不用量角器,只利用刻度尺就能畫出一個角的平分線,下面是小明的畫法,你認為他的畫法對嗎？請你按照小明的畫法,畫出圖形,說明理由。①利用刻度尺在∠AOB的兩邊上分別取OC＝OD；②連結(jié)CD,利用刻度尺畫出CD的中點E③畫射線OE射線OE即為∠AOB的角平分線?！?請你探索只利用你的三角尺〔可以量長度、畫直角畫出一個角的平分線的畫法?！惨螅孩佼嫵鰣D形；②簡要說明畫法；③說明理由。12.〔1如圖〔1,正方形ABCD中,E為邊CD上一點,連結(jié)AE,過點A作AF⊥AE交CB的延長線于F,猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；〔2如圖〔2,在〔1的條件下,連結(jié)AC,過點A作AM⊥AC交CB的延長線于M,觀察并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系〔不必說明理由；〔3解決問題：①王師傅有一塊如圖所示的板材余料,其中==90°,AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請你幫王師傅在圖〔3中畫出剪拼的示意圖；②王師傅現(xiàn)有兩塊同樣大小的該余料,能否在每塊上各切一刀,然后拼成一個大的正方形呢？若能,請你畫出剪拼的示意圖；若不能,簡要說明理由．ABCDABCD圖4ABCD圖3ABCDABCDFE圖２MABCDFE圖１13.下圖是按一定規(guī)律排列的方程組集合和它解的集合的對應關(guān)系圖,若方程組集合中的方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、……方程組n．<1>將方程組1的解填入圖中；…………方程組集合…………方程組集合對應方程組解的集合<3>若方程組的解是,求m、n的值,并判斷該方程組是否符合<2>中的規(guī)律？14．某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板,做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒．<長方形的寬與正方形的邊長相等><1>現(xiàn)有正方形紙板50張,長方形紙板l00張,若要做豎式紙盒x個,橫式紙盒y個．①根據(jù)題意,完成以下表格：②若紙板全部用完,求x、y的值；<2>若有正方形紙板80張,長方形紙板a張,做成上述兩種紙盒,紙板恰好全部用完．已知162<n<172,求n的值．15．〔1如圖1,圖2,圖3,在中,分別以為邊,向外作正三角形,正四邊形,正五邊形,相交于點．〔說明：每條邊都相等,每個角都相等的多邊形叫做正多邊形①如圖1,求證：；②探究：如圖1,；如圖2,；如圖3,．〔2如圖4,已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點．①猜想：如圖4,〔用含的式子表示；②根據(jù)圖4證明你的猜想．16．按照指定要求畫圖<1>如下圖1所示,黑粗線把一個由18個小正方形組成的圖形分割成兩個全等圖形,請在圖2中,仿圖1沿著虛線用四種不同的畫法,把每圖形分割成兩個全等圖形．<2>請將下面由16個小正方形組成的圖形,用兩種不同的畫法沿正方形的網(wǎng)格線用粗線把它分割成兩個全等圖形17.用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成四邊形ABCD,把一個含60°角的三角尺與這個四邊形疊合,使三角尺的60°角的頂點與點A重合,兩邊分別與AB、AC重合,將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)?！?當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點E、F時〔如圖a,通過觀察或測量BE、CF的長度,你能得出什么結(jié)論？并說明理由；〔2當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時〔如圖b,你在〔1中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由。〔本題12分18.如圖,在下列網(wǎng)格中,⊿ABC和⊿DEF全等,且DE與AB是對應線段,則符合條件的F點的個數(shù)為〔.A.1個B.2個C.3個D.4個19、已知：如圖①所示,在和中,,,∠BAC=∠DAE=α,且點在一條直線上,連接分別為的中點．〔1求證：；〔2在圖①的基礎上,將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn),其他條件不變,得到圖②所示的圖形．請直接寫出〔1中的兩個結(jié)論是否仍然成立；CENDABM圖CENDABM圖①CAEMBDN圖②第27題圖·······ABCDE21.如右圖所示,方格紙中有A、B、C、D、E五個格點<圖中的每一個方格均表示邊長為1個單位的正方形>,以其中的任意3個點為頂點,畫出所有的三角形,數(shù)一下,共構(gòu)成________個三角形,其中有_______對全等三角形,它們分別___________________________________________________請選取一對非直角全等三角形,說明全等的理由．22．已知∠AOB=900,在∠AOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直角頂點與C重合,它的兩條直角邊分別與OA、OB<或它們的反向延長線>相交于點D、E．當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時<如圖1>,易證：CD=CE當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時,在圖2、圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否還成立?若成立,請給予證明；若不成立,請寫出你的猜想,不需證明．23．如圖,△DAC和△EBC均是等邊三角形,AE、BD分別與CD、CE交于點M、N,有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③EM＝BN．其中,正確結(jié)論的個數(shù)是〔A．3個B．2個C．1個D．0個24．銳角為45o的直角三角形的兩直角邊長也相等,這樣的三角形稱為等腰直角三角形．我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形,也可稱它為等腰直角三角板．把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置,其中邊BC、FP均在直線l上,邊EF與