平面向量旋轉(zhuǎn)的暢想

平面向量旋轉(zhuǎn)的暢想我們所處的世界是飛旋的世界.旋轉(zhuǎn)變換問題在我們的生產(chǎn)、生活中，在科學(xué)技術(shù)研究中累見不鮮，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更是無法回避.但《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的幾次調(diào)整將解決旋轉(zhuǎn)變換問題的知識(shí)工具，如坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)、極坐標(biāo)、復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義等悉數(shù)刪除.或許課程編制者們也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題，在本次新課改時(shí)，于人教版《數(shù)學(xué)?必修4》習(xí)題2.5中給出了一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)公式.雖然只是驚鴻一瞥，卻引起了人們無限的遐思.1平面向量旋轉(zhuǎn)的幾個(gè)結(jié)論uua uuur uuur定理1對任意平面向量AB={x,yj,把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)°角，得到向量AP，則,x,xsin0+yco向量AP=(xcosO一ysin0uuir證明：如圖1-1,有向線段AC的方向與x軸的正向相同，設(shè)以AC為始邊以AB為終邊的角為&,uuiAB=y,注：定理中，若沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0角，則0角為負(fù)角.該定理證明方法不是唯一的，此處所選證明方法是以學(xué)生已有認(rèn)知為基礎(chǔ)的.uua uuur uuurysin0+x,xsin0+ycos0+y).推論1對任意平面向量ABysin0+x,xsin0+ycos0+y).A的坐標(biāo)為(x0,y0'則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為Gcos0一uuur推論uuur推論2對任意平面向量AB=(x,yj，若AB=r，把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0角，再把uuuruir,所得向量的模伸長(或縮短)到得到向量AP，則向量AP=^(xcos0-ysin0,xsin0+ycos0).Yuua uuir uuir推論3對任意平面向量AB=(x,yj,把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0角，得到向量AP,若點(diǎn)A在原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x/y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xicos0-yjin0,\sin0+^cos0).若學(xué)生有復(fù)數(shù)乘除法的認(rèn)知基礎(chǔ)，則向量旋轉(zhuǎn)有如下結(jié)論：uuur定理2把向量AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0角，并將模伸長(或縮短)到原來的Y倍，則

uuuuuuAP=ye^AB.若學(xué)生有向量外積的認(rèn)知基礎(chǔ)，則向量旋轉(zhuǎn)有如下結(jié)論：r r r定理3設(shè)k是所研究的平面的單位法向量，將向量〃逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角，得到向量b，則向量rrrrb=acos0+kxasin0.若學(xué)生有矩陣的認(rèn)知基礎(chǔ)，則向量旋轉(zhuǎn)有如下結(jié)論：uur uur uua定理4對任意平面向量AB=G,y)把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0角，得到向量AP，且uuur向量uuur向量AP=(x',y')，則'cos0—sin0丫x'、sin0 cos0八y,2平面向量旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征及應(yīng)用(1)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的追蹤定位向量是即有大小又有方向的量，向量發(fā)端于物理中的運(yùn)動(dòng)力學(xué).而數(shù)學(xué)中的向量是可以自由移動(dòng)的.平面向量旋轉(zhuǎn)更具有明顯的動(dòng)態(tài)特征，能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)中的點(diǎn)的相對位置和運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，在軍事、航海、搜救等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中被用于求旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，這是靜態(tài)的求角公式無法比肩的 ( 1 7r例1已知平面內(nèi)點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B1+\/2,2—2V2),把點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)-后得到點(diǎn)P,4求點(diǎn)P求點(diǎn)P的坐標(biāo).uur(解因?yàn)锳B=2,2<12)所以由推論1可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為((72cosIV(兀、r-.((72cosIV—7卜1，V2sin-V4) V即點(diǎn)P(0,—1).(2)相關(guān)點(diǎn)的信息旋轉(zhuǎn)傳遞向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，這里的旋轉(zhuǎn)傳遞過程是一個(gè)形象的說法，它實(shí)為一個(gè)映射過程，是一個(gè)線性變換過程.在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢.例2設(shè)平面內(nèi)曲線C的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)以后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線x2—y2=3,4求曲線C的方程.解設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)Q(X:y'),則由推論3得則由推論3得(x:y')=xcos——ysin—,xsin—+ycos—V4 4 4 4)=VS(x—y)，g(x+y)因?yàn)辄c(diǎn)Q(x1,y)在曲線x2—y2=3上，所以整理得曲線c的方程2冷+3=0.代數(shù)式的旋轉(zhuǎn)向量造影平面向量旋轉(zhuǎn)具有代數(shù)與幾何雙重特征，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)中，一些代數(shù)、三角函數(shù)問題可以通過構(gòu)造平面向量旋轉(zhuǎn)的模型,猶如醫(yī)學(xué)中的造影一樣,讓代數(shù)式有跡可循,從而達(dá)到數(shù)形結(jié)合解決問題的目的.例3求值:cos5o+所以整理得曲線c的方程2冷+3=0.代數(shù)式的旋轉(zhuǎn)向量造影平面向量旋轉(zhuǎn)具有代數(shù)與幾何雙重特征，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)中，一些代數(shù)、三角函數(shù)問題可以通過構(gòu)造平面向量旋轉(zhuǎn)的模型,猶如醫(yī)學(xué)中的造影一樣,讓代數(shù)式有跡可循,從而達(dá)到數(shù)形結(jié)合解決問題的目的.例3求值:cos5o+cos77o+cos149。+cos221。+cos293o.解設(shè)r=(1,0)，如圖2-1,正五邊形ABCDE的邊長為1,uuurumruuuuuruur向量AB,BC,CD,DE,EA可認(rèn)為由向量i分別沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)5。,77o,149。,221。,293。而得到.uur uuur則由定理1可知AB=(cos5o,sin5o),BC=(cos77o,sin77o),uuir uuu uurCD=(cos149o,sin149o)DE=(cos221o,sin221o)EA=(cos293o,sin293o).uuuuuiruuiruuiruurr因?yàn)锳B+BC+CD+DE+EA=0,所以cos5o+cos77o+cos149o+cos221o+cos293o=0.(4)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)向量描述向量具有與數(shù)學(xué)多個(gè)分支廣泛聯(lián)系的特征，如函數(shù)、三角、復(fù)數(shù)、幾何、解析幾何、近世代數(shù)等均與向量聯(lián)系緊密，這使得向量的運(yùn)算功能十分強(qiáng)大，應(yīng)用十分廣泛.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，將幾何圖形中的線段改畫為有向線段，將靜態(tài)的角看成是由向量旋轉(zhuǎn)而得的角，幾何圖形頓時(shí)顯得動(dòng)感十足，生機(jī)無限.平面向量旋轉(zhuǎn)與不同數(shù)學(xué)分支聯(lián)合，其公式表現(xiàn)出不同的形態(tài)，如本文中的定理1、定理2、定理3、定理4,應(yīng)用它們就展現(xiàn)出不同的解題方法.例4如圖2-2,VABC和VADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定VABC,而將VADE繞點(diǎn)A在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論VADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使VBMD為等腰直角三角形.(1987年全國高中聯(lián)賽試題)圖2-2 圖2-3uurr證法一如圖2-3,設(shè)BA=a,umrrDE=b,k是所研究平面ABC的法向量，uarrr則由定理3可得uurr證法一如圖2-3,設(shè)BA=a,umrrDE=b,k是所研究平面ABC的法向量，uarrr則由定理3可得BC=kxa,marrDA=kxb,uuuuuur mur rruua由推論2,得AE=cos-—csin—,bsin-+ccos

44J-)uur=(b-c,b+c),AC=(2a,0).uuaruuuruuua又MD=AD-AM=(b-x,c-y),uuruuauuuaMB=AB-AM=(a-x,a-y),uur要使VBMD為等腰直角三角形，則MB冗 mum應(yīng)為MD,uuuu(MD二(a-x)cos--(a-y)sin—2 2,(a-x)sin—+(a-y)cos—2 2uarrrruuurrrrAC=kxa一a,AE=b-kxb,rrrr(rr)r所以CE=AE—AC=b—kxb—kxa+a="+b)—kxuuunt uar/設(shè)CM=XCE(0<X<1),uuuuaruuarrr rrrr則UMB=-Bb(J+CM)=一入Q+b/-(1-X)kxa+入kxb,uuar uuar rr rrr\MD=(1-X)CE-b=(1-X)a-入b-(1-X)kx。+b/rmuruuarVBMD是等腰直角三角形okxMB=MD,ruuurrrr rrrrrrrrr rrkxMB=-Xkx。+b/-(1-X)kxkxxa)+\kx《xb)=-Xkx。+b/+(1-X)a-Xb,ruuuuuur 1比較kxMB與MD，得一(1-X)=-X,即X=—,2所以不論VADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在中點(diǎn)M，使VBMD為等腰直角三角形.證法二如圖2-4,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,a),D(b,c),M(x,y).uur uuu uuuir/則AB=(a,a),AD=(b,c),AM=(x,y解之，彳得 2a+解之，彳得 2a+b—c(OuuuuAMuuir\

+AE?圖2-4y」kb-x=y-a且c-y=a-x.所以，所以，不論VADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在中點(diǎn)M，使VBMD為等腰直角三角形.證法三如圖2-4,建立直角坐標(biāo)系.uur_-uuuruur_(-)uurnuuuruuruuuauuuuuuuruuua由定理2,得AE=Oe4AD,AC=?4-4JAB,MB=AB-AM,MD=AD-AM,若使VBMD為等腰直角三角形，

UULOt兀uuurmur uuurn則需MD=e2MB.a即AD-AM=ei2UULOt兀uuurmur uuurn則需MD=e2MB.a即AD-AM=ei2uuur解之，得AM='UUOwuuut、

AD-e[27AB7a\uur 工uuu、ei[-47AE-斯7』v27/吟uuue[-47AE-e亞uuu1

14AC7/a)UUH 7a)UUO、ei[-47AE+ei[-47AC-7.工 .3ae4-e4.a-e2uuuruuir\

AE+ACJ1 uuuruuu1 uuiruuir\=—了 AEE+AC)= AEE+AC)+e7 272cos4(urunr\

=AE+AC).所以不論VADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在中點(diǎn)M，使VBMD為等腰直角三角形.注：①證明過程中用到