江西省宜春巿高安中學2022年高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.2.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設送報人到達的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.3.正項等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.544.近年來,隨著網絡的普及和智能手機的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途,隨機抽取了名大學生進行調查,各主要用途與對應人數(shù)的結果統(tǒng)計如圖所示,現(xiàn)有如下說法:①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數(shù);②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲;③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為()A. B. C. D.5.三棱錐的各個頂點都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點在線段上,且,則過點的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.6.做拋擲一枚骰子的試驗,當出現(xiàn)1點或2點時,就說這次試驗成功,假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.17.已知拋物線:,直線與分別相交于點,與的準線相交于點,若,則()A.3 B. C. D.8.已知函數(shù),為的零點,為圖象的對稱軸,且在區(qū)間上單調,則的最大值是()A. B. C. D.9.設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關于軸對稱,為坐標原點,若,且,則點的軌跡方程是()A. B.C. D.10.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點,若為線段的中點,且(為坐標原點),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.12.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.14.若向量滿足,則實數(shù)的取值范圍是____________.15.函數(shù)的定義域為__________.16.在中,內角的對邊分別為,已知,則的面積為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)設實數(shù)為的最小值,若實數(shù),,滿足,求的最小值.18.(12分)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查,每位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參與問卷調查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據,統(tǒng)計結果如表所示:組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”,請完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下,認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關?(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”.視頻率為概率.①在我市所有“環(huán)保達人”中,隨機抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率;②為了鼓勵市民關注環(huán)保,針對此次的調查制定了如下獎勵方案:“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動;其他參與的市民獲得一次抽獎活動.每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表:紅包金額(單位:元)1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調性;(2)若,設,證明:,,使.20.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線l過右焦點F,且與橢圓C交于A、B兩點,已知Q點坐標為,求的值.21.(12分)在銳角中,,,分別是角,,所對的邊,的面積,且滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關于的不等式在區(qū)間內無解,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

如圖所示,當點C位于垂直于面的直徑端點時,三棱錐的體積最大,設球的半徑為,此時,故,則球的表面積為,故選C.考點:外接球表面積和椎體的體積.2.D【解析】

這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應位于五邊形內,作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎題.3.C【解析】

由等差數(shù)列通項公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和,,,解得或(舍),,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質()與前項和的關系.4.C【解析】

根據利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較,可判斷①的正誤;計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例,可判斷②的正誤;計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數(shù)為,而調查的總人數(shù)為,,故超過的大學生使用主要玩游戲,所以②錯誤;使用主要找人聊天的大學生人數(shù)為,因為,所以③正確.故選:C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關命題真假的判斷,計算出相應的頻數(shù)與頻率是關鍵,考查數(shù)據處理能力,屬于基礎題.5.A【解析】

由題意畫出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以OD=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.6.C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點睛】本題考查了二項分布求數(shù)學期望,意在考查學生的計算能力和應用能力.7.C【解析】

根據拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖,過A,M作準線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點,所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構建關系,屬于中檔題.8.B【解析】

由題意可得,且,故有①,再根據,求得②,由①②可得的最大值,檢驗的這個值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點,為圖象的對稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調,,②.由①②可得的最大值為1.當時,由為圖象的對稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點,同時也滿足滿足在上單調,故為的最大值,故選:B.【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性,屬于中檔題.9.A【解析】

設坐標,根據向量坐標運算表示出,從而可利用表示出;由坐標運算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設,,其中,,即關于軸對稱故選:【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算;關鍵是利用動點坐標表示出變量,根據平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.10.C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點,∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質,考查了離心率的求解,同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用,對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據一個條件得到關于的齊次式,轉化為的齊次式,然后轉化為關于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).11.C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關鍵是建立三者間的方程或不等關系,本題是一道基礎題.12.B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體,分別求解兩個部分的體積,加和得到結果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個圓柱,上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項:【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關鍵在于能夠準確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先求角,再用余弦定理找到邊的關系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件;基礎題.14.【解析】

根據題意計算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學生的計算能力.15.【解析】

根據函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.16.【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學生的計算能力,是一道基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)首先通過對絕對值內式子符號的討論,將不等式轉化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因為函數(shù)定義域為,即恒成立,所以恒成立由單調性可知當時,有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當且僅當,,時,等號成立【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應用,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.18.(1)不能;(2)①;②分布列見解析,.【解析】

(1)根據題目所給的數(shù)據可求2×2列聯(lián)表即可;計算K的觀測值K2,對照題目中的表格,得出統(tǒng)計結論.(2)由相互獨立事件的概率可得男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的分布列及數(shù)學期望E(X)即可;【詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”合計男104555女153045合計2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據代入公式計算得K”的觀測值,所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,不能認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關.(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達人”的概率為.為女“環(huán)保達人”的概率為,①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率為;②的取值為10,20,30,40.,,,,所以的分布列為10203040.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題,考查了概率分布列和期望,計算能力的應用問題,是中檔題目.19.(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1),分,,,四種情況討論即可;(2)問題轉化為,利用導數(shù)找到與即可證明.【詳解】(1).①當時,恒成立,當時,;當時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).②當時,,.當時,;當時,;當時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).③當時,,則在上是減函數(shù).④當時,,當時,;當時,;當時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).(2)由題意,得.由(1)知,當,時,,.令,,故在上是減函數(shù),有,所以,從而.,,則,令,顯然在上是增函數(shù),且,,所以存在使,且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,所以,所以,命題成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及證明不等式的問題,考查學生邏輯推理能力,是一道較難的題.20.(1);(2).【解析】

(1)根據橢圓的離心率為,得到,根據直線與圓的位置關系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直

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