普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學卷(全國Ⅰ理)含詳解

一般高等學校招生全國一致考試數(shù)學卷(全國Ⅰ.理)含詳解一般高等學校招生全國一致考試數(shù)學卷(全國Ⅰ.理)含詳解一般高等學校招生全國一致考試數(shù)學卷(全國Ⅰ.理)含詳解2021年一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學〔必修+選修Ⅱ〕第一卷考生注意：1．答題前，考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水署名筆將自己的姓名、準考據(jù)號、填寫清楚，并貼好條形碼．請仔細批準條形碼上的準考據(jù)號、姓名和科目．2．每題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需變動，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標號．在試題卷上作答無效．．．．．．．．．

．3．本卷共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的．參照公式：假如事件A，B互斥，那么球的表面積公式P(AB)P(A)P(B)S4πR2假如事件A，B互相獨立，那么此中R表示球的半徑P(AgB)P(A)gP(B)球的體積公式假如事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么V4π33Rn次獨立重復試驗中恰巧發(fā)生k次的概率此中R表示球的半徑一、選擇題(1)設會合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AUB，那么會合u(AIB)中的元素共有〔A〕〔A〕3個〔B〕4個〔C〕5個〔D〕6個解：AUB{3,4,5,7,8,9}，AIB{4,7,9}CU(AIB){3,5,8}應選A。也可用摩根律：CU(AIB)(CUA)U(CUB)〔2〕Z=2+i,那么復數(shù)z=〔B〕1＋i〔A〕-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：z(1i)(2i)13i,z13i應選B。(3)不等式X1＜1的解集為〔D〕X1〔A〕｛x0x1Uxx1(B)x0x1〔C〕x1x0(D)xx0解：驗x=-1即可。(4)設雙曲線x2y21〔a＞0,b＞0〕的漸近線與拋物線y=x2+1相切，那么該雙曲線的離心率a2b2等于(C)〔A〕3〔B〕2〔C〕5〔D〕6解：設切點P(x0,y0)，那么切線的斜率為y'|xx2x.由題意有y02x0又y0x021x00解得:x021,b2,e1(b)25.aa甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。假定從甲、乙兩組中各選出2名同學，那么選出的4人中恰有1名女同學的不一樣選法共有(D)〔A〕150種〔B〕180種〔C〕300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有C51C31C62225種選法;(2)乙組中選出一名女生有C52C61C21120種選法.故共有345種選法.選D〔6〕設a、b、c是單位向量，且a·b＝0，那么ac?bc的最小值為(D)〔A〕2〔B〕22〔C〕1(D)12rrr解:Qa,b,c是單位向量rrrrrruurrrr2C1ggrrrrrrA1B112cos12應選1|ab|g|c|ab,cD.CD〔7〕三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底AB面ABC上的射影為BC的中點，那么異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為〔D〕〔A〕3〔B〕5〔C〕7(D)34444解：設BC的中點為D，連接A1D，AD，易知A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角,由三角余弦定理，易知coscosA1ADcosADAD3.應選DDABAB4A1A〔8〕假如函數(shù)y＝3cos2x＋的圖像對于點4，0中心對稱，那么||的最小值為〔A〕3〔A〕〔B〕〔C〕(D)6432解:Q函數(shù)y＝3cos2x＋的圖像對于點4，0中心對稱324k2k13(kZ)由此易得||min6.應選A36(9)直線y=x+1與曲線yln(xa)相切，那么α的值為(B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解:設切點P(x0,y0)，那么y0x01,y0ln(x0a),又Qy'|xx0x011ax0a1y00,x01a2.故答案選B〔10〕二面角α-l-β為60o，動點P、Q分別在面α、β內，P到β的距離為3，Q到α的距離為23，那么P、Q兩點之間距離的最小值為〔C〕(A)(B)2(C)23(D)4解:如圖分別作QA于A,ACl于C,PB于B,PDl于D，連CQ,BD那么ACQPBD60,AQ23,BP3，ACPD2又QPQAQ2AP212AP223當且僅當AP0，即點A與點P重合時取最小值。故答案選C。〔11〕函數(shù)f(x)的定義域為R，假定f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，那么(D)(A)f(x)是偶函數(shù)(B)f(x)是奇函數(shù)(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇函數(shù)解:Qf(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，函數(shù)f(x)對于點(1,0)，及點(1,0)對稱，函數(shù)f(x)是周期T2[1(1)]4的周期函數(shù).f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函數(shù)。應選D12.橢圓C:x2y21的右焦點為F,右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，假定2uuuruuuruuuurFA3FB,那么|AF|=(A).2(B).2(C).3(D).3解:過點B作BMuuuruuurl于M,并設右準線l與X軸的交點為N，易知FN=1.由題意FA3FB,故|BM|2.又由橢圓的第二定義,得|BF|2222.應選A23|AF|33第II卷二、填空題：13.10x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于。xy的睜開式中，解:C103(C107)2C10324014.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，假定S972,那么a2a4a9=。解:Qan是等差數(shù)列,由S972,得S99a5,a58a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.15.直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，假定ABACAA12,BAC120，那么此球的表面積等于。解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為O，球心為O，在RTOBO中，易得球半徑R5，故此球的表面積為4R220.16.假定x，那么函數(shù)ytan2xtan3x的最大值為。42解:令tanxt,Qxt1,42ytan2xtan3x2tan4x2t412121281tan2x1t21121t4t2(2)44t2三、解答：本大共6小，共70分，解答寫出文字明，明程或演算步。17〔本小分10分〕〔注意：在卷上作答無效〕．．．．．．．．．．．．在ABC中，內角A、B、C的分a、b、c，a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC,求b剖析:此事上比,但考生反不知從何下手.條件(1)a2c22b左是二次的右是一次的,學生感用余弦定理不好理,而已知條件(2)sinAcosC3cosAsinC,多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生想用在已不再考的化和差,致找不到打破口而失分.解法一：在ABC中QsinAcosC3cosAsinC,由正弦定理及余弦定理a2b2c23b2c2a222b2有:ag2ab2bcgc,化并整理得：2(ac).又由已知a2c22b4bb2.解得b4或b0(舍〕.解法二:由余弦定理得:a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0。所以b2ccosA2?????????????①又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinCsin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC由正弦定理得sinBbsinC，故b4ccosA?????????②c由①，②解得b4。析:從08年高考考取就明確提出要加正余弦定理的考.在考取注意、提升自己的剖析和解決能力及知的靈巧運用能力.此外提示：兩中明確不再考的知和方法認識就行，不用化。18．〔本小分12分〕〔注意：在卷上作答無效〕．．．．．．．．．．．．．如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD2DCSD2，點M在側棱SC上，ABM=60°〔I〕證明：M在側棱SC的中點〔II〕求二面角SAMB的大小。〔I〕解法一：作MN∥SD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，那么MN面ABCD，MEAB,NEAD2設MNx，那么NCEBx,在RTMEB中，QMBE60ME3x。在RTMNE中由ME2NE2MN23x2x22解得x1，從而MN1SDM為側棱SC的中點M.2解法二:過M作CD的平行線.解法三:利用向量辦理.詳盡可見09年高考參照答案.II〕剖析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考取求二面角也根本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過M

作MJ

∥CD交SD于

J,作SH

AJ

交

AJ于

H

,作HK

AM

交AM

于K

,那么

JM

∥CD,JM

面SAD,面SAD

面MBA,SH

面AMB

SKH即為所求二面角的補角.剖析二：利用二面角的定義。在等邊三角形

ABM

中過點

B作

BF

AM

交AM

于點

F

，那么點

F

為

AM

的中點，取

SA

的中點

G，連

GF，易證

GF

AM

，那么

GFB即為所求二面角.剖析三：利用空間向量求。在兩個半平面內分別與交線AM垂直的兩個向量的夾角即可。此外：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能見效?？傊诋斍?，立體幾何中的兩種主要的辦理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的情況。命題人在這里必定會照料兩方的利益。19．〔本小題總分值

12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕．．．．．．．．．．．．．甲、乙二人進行一次圍棋競賽，商定先勝

3局者獲取此次競賽的成功，競賽結束，假設在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局競賽結果互相獨立，前2局中，甲、乙各勝1局?！睮〕求甲獲取此次競賽成功的概率；〔II〕設表示從第3局開始到競賽結束所進行的局數(shù)，求得散布列及數(shù)學希望。剖析：本題較慣例，比08年的概率統(tǒng)計題要簡單。需提示的是：仔細審題是前提，局部考生因為考慮了前兩局的概率而致使失分，這是很惋惜的，主要原由在于沒讀懂題。此外，還要注意表述，這也是考生較單薄的環(huán)節(jié)。20．〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕．．．．．．．．．．．．．在數(shù)列{an}中，a1,a(11)an11n1nn2n〔I〕設bnan，求數(shù)列{bn}的通項公式n〔II〕求數(shù)列{an}的前n項和Sn剖析：〔I〕由有an1an1bn1bn1n1n2n2n1利用累差迭加即可求出數(shù)列{bn}的通項公式:bn2N*)2n1(nn〔II〕由〔I〕知a2n,n2n1nknnkSn=(2k)(2kk1)k12k1k12k1nnk而(2k)n(n1),又是一個典型的錯位相減法模型，k1k12k1nkn2n24Sn=n(n4易得k12k12n11)2n1評析：09年高考理科數(shù)學全國(一)試題將數(shù)列題前置,考察結構新數(shù)列和利用錯位相減法求前n項和，一改早年的將數(shù)列聯(lián)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。擁有讓考生和一線教師重視教材和根基知識、根本方法根本技術,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在存心識降低難度和求變的良苦專心。21〔本小題總分值12分〕〔注意：在試題卷上作答無效〕．．．．．．．．．．．．．如圖，拋物線E:y2x與圓M:(x4)2y2r2(r0)訂交于A、

B、C、

D四個點。〔I〕求

r得取值范圍；〔II〕當四邊形

ABCD的面積最大時，求對角線

AC、BD的交點

P坐標剖析：〔I〕這一問學生易下手。將拋物線

E:y2

x與圓M:(x

4)2

y2

r2(r

0)的方程聯(lián)立，消去

y2，整理得

x2

7x

16r2

0．．．．．．．．．．．．．〔＊〕拋物線

E:y2

x與圓

M:(x

4)2

y2

r2(r

0)訂交于

A、B、C、D四個點的充要條件是：方程〔＊〕有兩個不相等的正根即可

.易得

r

(

15

,4)

.考生利用數(shù)形聯(lián)合及2函數(shù)和方程的思想來辦理也能夠．II〕考綱中明確提出不考察求兩個圓錐曲線的交點的坐標。所以利用設而不求、整體代入的方法辦理本小題是一個較好的切入點．設四個交點的坐標分別為A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)。那么由〔I〕依據(jù)韋達定理有x1x27,x1x216r2，r(15,4)2那么S12|x2x1|(x1x2)|x2x1|(x1x2)2S2[(x1x2)24x1x2](x1x22x1x2)(7216r2)(4r215)令16r2t，那么S2(72t)2(72t)下邊求S2的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值當前在兩綱中雖不要求，但在辦理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次均值近似。S2(72t)2(72t)1(72t)(72t)(144t)21(72t72t144t)31(28)32323當且僅當72t144t，即t7時取最大值。經(jīng)查驗此時r(15,4)知足題意。62方法二：利用求導辦理，這是命題人的企圖。詳細解法略。下邊來辦理點P的坐標。設點P的坐標為：P(xp,0)x1x2x1得xpx1x27由A、P、C三點共線，那么x2x1xpt。x16以下略。本小題總分值12分?！沧⒁猓涸谠囶}卷上作答無效〕．．．．．．．．．．．．．設函數(shù)fxx33bx23cx在兩個極值點x1、x2，且x1[1，0],x2[1,2].〔I〕求b、c知足的拘束條件，并在下邊的坐標平面內，畫出知足這些條件的點b,c的地區(qū)；1(II)證明：10fx22剖析〔I〕這一問主要考察了二次函數(shù)根的散布及線性規(guī)劃作可行域的能力。大多數(shù)考生有思路并能夠得分。fx3x26bx3c由題意知方程x0有兩個根x1、x2且x1