基于非線性混沌時(shí)序的系統(tǒng)重構(gòu)、預(yù)測(cè)技術(shù)及其應(yīng)用

23/16基于非線性混沌時(shí)序的系統(tǒng)重構(gòu)、預(yù)測(cè)技術(shù)及其應(yīng)用國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(79990510)馬軍海馬軍海馬軍海,男，65生，山東萊陽(yáng)人,教授,二站博士(后)，已在國(guó)內(nèi)外核心期刊發(fā)表論文三十余篇，要緊研究方向:復(fù)雜非線性動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)雜混沌時(shí)序重構(gòu)及其工程應(yīng)用。（天津大學(xué)治理學(xué)院,300072）盛昭瀚（南京大學(xué)治理科學(xué)與工程研究院,210096）摘要如何認(rèn)識(shí)具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)存在兩個(gè)差不多的困難,一是系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，二是我們往往只能通過(guò)某種“觀測(cè)器”采集到系統(tǒng)某一狀態(tài)的混沌時(shí)刻序列，如此，就需要一種技術(shù)，它能夠在專門大程度上通過(guò)系統(tǒng)整體行為的一維“投影”來(lái)“還原”系統(tǒng)的整體行為。本文將介紹作者近年來(lái)在實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)路線中所開(kāi)展的若干工作。關(guān)鍵詞非線性混沌時(shí)序分形相空間重構(gòu)參數(shù)辨識(shí)預(yù)測(cè)技術(shù)1引言從系統(tǒng)科學(xué)的角度看，直接建立一個(gè)系統(tǒng)的完備的解析形式的數(shù)學(xué)模型，無(wú)疑地能夠認(rèn)為是“完全完全地”了解了這一系統(tǒng)，然而事實(shí)上，第一由于系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)理與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的復(fù)雜性，第二由于即使已知一個(gè)解析模型，其解析解也還不易求得，因此常常需要我們解決如何在無(wú)法獲得系統(tǒng)模型的情況下認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的本質(zhì)特征，一個(gè)最常遇到的問(wèn)題便是通過(guò)某種“觀測(cè)器”采集到系統(tǒng)的某一狀態(tài)的時(shí)刻序列，顯然，這一序列是系統(tǒng)整體行為的一維“投影”，而我們又只能通過(guò)它來(lái)“還原”系統(tǒng)的整體行為[1~30]，特不是隨著混沌現(xiàn)象的發(fā)覺(jué)，人們逐漸認(rèn)識(shí)到系統(tǒng)整體行為中某些本質(zhì)特征往往不是隨機(jī)緣故而是非線性動(dòng)力學(xué)的緣故造成的，一般地，在排除了由高維或無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)所產(chǎn)生的行為以及由隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的行為外，一個(gè)混沌時(shí)刻序列就可視為一個(gè)確定性動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)果。一個(gè)重要的反問(wèn)題即如何由混沌時(shí)刻序列來(lái)恢復(fù)原動(dòng)力系統(tǒng)[1,7,8,10,11,14,16,20.21]，具體地講，要解決以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)確定時(shí)刻序列的混沌特性及其所在動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)[2~4,!3~15,19,22~30];(2)建立那個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的坐標(biāo)框架[4,9,10,11,13,];(3)在此框架下分離噪聲、刻畫并恢復(fù)原復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)并進(jìn)行預(yù)測(cè)、調(diào)控等工作[4,6,17,18]。本文將介紹作者近年來(lái)在實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)路線中所開(kāi)展的若干工作與成果。2時(shí)刻序列混沌特征的判定如何判定時(shí)序的混沌或隨機(jī)特性一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)，從決定論的角度動(dòng)身，已有了許多檢測(cè)確定性混沌的方法。如Tsay[22]的非線性檢驗(yàn)方法；Engle[23]的ARCH模型的檢驗(yàn)方法；相空間圖、遞歸圖、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)、相關(guān)系數(shù)、頻譜圖、Poincare截面以及分諧波頻閃觀測(cè)器等、檢驗(yàn)獨(dú)立性的雙譜方法、基于BDS統(tǒng)計(jì)量的非線性檢驗(yàn)方法等。文獻(xiàn)[19,24,25]給出了對(duì)現(xiàn)實(shí)的時(shí)序不同特性問(wèn)題的判不的差不多方法，即相位隨機(jī)化方法。馬軍海、盛昭瀚[32]利用相位隨機(jī)化方法，研究了服從不同分布的隨機(jī)化方法對(duì)判定實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)特性歸屬的阻礙，并將其成功地用于經(jīng)濟(jì)時(shí)序的非線性特征判定，為對(duì)時(shí)序建立合適的預(yù)測(cè)模型提供了指南。3分形維數(shù)的相關(guān)特性分析研究分維是描述具有復(fù)雜性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特征量，分維的定義有專門多種，而且依照不同的定義算得的其最終值也稍有差不。通過(guò)近幾年的研究，常用的較多的分維要緊有:Hausdorff維數(shù),計(jì)盒維數(shù),信息維數(shù),關(guān)聯(lián)維數(shù),廣義維數(shù)。能夠證得[4,13]嵌入維數(shù)與分維數(shù)之間的關(guān)系式:(1)即計(jì)算時(shí)略去噪聲阻礙,只要取最少的嵌入維數(shù)大于或等于分維數(shù)，從理論上都可不能對(duì)產(chǎn)生阻礙。能夠證得[4,13]的極大似然可能為:(2)由(6)式得的方差為:(3)由于實(shí)際問(wèn)題中N的取值不可能無(wú)窮大而要受到諸多的限制，取則的極大似然可能為:,,(4)由(3)式知值與所取的樣本的個(gè)數(shù)成反比，實(shí)際問(wèn)題中適當(dāng)?shù)娜颖敬笠恍┛蓽p少，以便使的可能值更準(zhǔn)確。采納G-P算法計(jì)算動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，諸多因素可能阻礙可能精度。對(duì)誤差的來(lái)源的詳細(xì)討論見(jiàn)文獻(xiàn)[4,13]。4混沌時(shí)序動(dòng)力系統(tǒng)的非線性重構(gòu)技術(shù)定量刻畫復(fù)雜非線性動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的兩個(gè)最常用的量確實(shí)是分維數(shù)和李雅普諾夫指數(shù)，它們分不度量了非線性動(dòng)力系統(tǒng)在其相空間的幾何結(jié)構(gòu)的規(guī)則性或復(fù)雜性程度。相空間重構(gòu)法是依照有限的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)重構(gòu)吸引子以研究系統(tǒng)動(dòng)力行為的方法，其差不多思想是：系統(tǒng)中任一重量的演化差不多上由與之相互作用著的其它重量所決定的，因此這些相關(guān)重量的信息就隱藏在任一重量的進(jìn)展過(guò)程中，為了重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)空間只需考察一個(gè)重量，并將它在某些固定的時(shí)刻延遲點(diǎn)上的測(cè)量作為新維處理，即延遲值被看成是新的坐標(biāo)，它們確定了某個(gè)多維狀態(tài)空間中的一點(diǎn)。重復(fù)這一過(guò)程并測(cè)量相關(guān)于不同時(shí)刻的各延遲量，就能夠產(chǎn)生出許多如此的點(diǎn)，它能夠?qū)⑽拥脑S多性質(zhì)保存下來(lái)，即用系統(tǒng)的一個(gè)觀看量能夠重構(gòu)出原動(dòng)力系統(tǒng)模型，能夠初步確定系統(tǒng)的真實(shí)相空間的維數(shù)。為了能夠從“一維”時(shí)刻序列中“還原”動(dòng)力系統(tǒng)相空間的幾何結(jié)構(gòu),JoneF.Gibson[16]等人采納時(shí)刻延遲技術(shù)重構(gòu)相空間.他們把一維時(shí)刻序列嵌入到m維空間中：(5)讓來(lái)表示t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。其中τ為滯時(shí),m為嵌入空間維數(shù),從而建立了相空間到嵌入空間的映射。它建立了時(shí)刻序列波動(dòng)和動(dòng)力系統(tǒng)空間特征之間的橋梁。Takens和Mane[27]證明:只要m>2D+1(動(dòng)力系統(tǒng)重構(gòu)的充分但不必要條件),其中D為吸引子的分維,是在吸引子附近一個(gè)光滑的一對(duì)一映射，從而嵌入空間中吸引子的幾何特性與原動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的吸引子的幾何特性等價(jià)。實(shí)際上,只要m>D嵌入空間中點(diǎn)集的維數(shù)就等同于吸引子的維數(shù)。J.P.Eckman等人已證明m可在d≤m≤2d+1中取值。Takens[27]定理是在無(wú)噪聲的情況下考慮的，Sauer等把延遲嵌入定理推廣到了具有噪聲的情況。對(duì)一組長(zhǎng)為N的實(shí)測(cè)時(shí)刻序列,其中,是樣本時(shí)刻，則可構(gòu)造的m維向量,n=1,2,...,,其中是延遲時(shí)刻間隔。是延遲時(shí)刻。在中以或范數(shù)定義到的距離，即或(6)以下在不特不強(qiáng)調(diào)的情況下，記中的范數(shù)為，但通過(guò)計(jì)算能夠發(fā)覺(jué)范數(shù)在計(jì)算距離時(shí)實(shí)現(xiàn)較快。4.1最佳延遲時(shí)刻間隔的選取由Takens[27]定理知，在沒(méi)有噪聲無(wú)限長(zhǎng)的精確數(shù)據(jù)情況下能夠任意選擇，但實(shí)測(cè)時(shí)刻序列是有限長(zhǎng)的，且一般都有噪聲污染，只能依照經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇，其差不多思想是使與具有某種程度的獨(dú)立但又不完全無(wú)關(guān)，以便它們能在重構(gòu)的相空間中作為獨(dú)立的坐標(biāo)處理。假如太小，則與的值充分靠近，以至不能區(qū)分它們，從實(shí)際觀點(diǎn)看不能提供兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)，導(dǎo)致吸引子重構(gòu)特不靠近相空間中的對(duì)角線。重構(gòu)的相空間總是雜亂無(wú)規(guī)則的；假如太大，則與可能會(huì)隨意地不相關(guān)，吸引子的軌道會(huì)投影在兩個(gè)完全不相關(guān)的方向上，不能反映相軌跡的真實(shí)演化規(guī)則。在實(shí)際應(yīng)用中要緊有以下三種經(jīng)驗(yàn)型方法選取。一是線性自相關(guān)函數(shù)法；二是平均互信息法；三是重構(gòu)展開(kāi)法。4.2嵌入維數(shù)m的選取關(guān)于嵌入維數(shù),Taken[27],Sauer[29]等先后從理論上證明了當(dāng)時(shí)可獲得一個(gè)吸引子的分形維數(shù)，但這只是一個(gè)充分條件，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選擇m沒(méi)有關(guān)心。假如僅僅是計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)，Ding[28]等證明了對(duì)無(wú)噪聲，無(wú)限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)只要取m為大于關(guān)聯(lián)維數(shù)的最小整數(shù)即可。但對(duì)長(zhǎng)度有限且具噪聲的數(shù)據(jù)，m要比大的多。假如m選的太小，則吸引子可能折迭以致在某些地點(diǎn)自相交。如此一來(lái)在相交區(qū)域的一個(gè)小鄰域內(nèi)可能會(huì)包含來(lái)自吸引子不同部分的點(diǎn)。假如m選的太大，理論上是能夠的，但實(shí)際應(yīng)用中，隨著m的增加會(huì)大大增加吸引子的幾何不變量的計(jì)算工作量。在實(shí)際應(yīng)用中通常的方法是計(jì)算吸引子的某些幾何不變量，逐漸增加m直到這些不變量停止變化為止。從理論上講，由于這些不變量是吸引子的幾何性質(zhì)，當(dāng)m大于嵌入維數(shù)時(shí)幾何結(jié)構(gòu)被完全打開(kāi)，因此不變量與嵌入維數(shù)無(wú)關(guān)了，取吸引子的幾何不變量停止變化時(shí)的m為嵌入維數(shù)。這種方法的缺點(diǎn)是對(duì)數(shù)椐要求較高（無(wú)噪聲），計(jì)算量大且比較主觀，從預(yù)測(cè)誤差和幾何觀點(diǎn)看，下面兩種方法比較容易實(shí)現(xiàn)。一是預(yù)測(cè)誤差最小法，二是虛假鄰點(diǎn)法。在上面的各種方法中，為了確定最佳延遲時(shí)刻間隔，需先確定嵌入維數(shù)，而為了確定嵌入維數(shù)，需先固定延遲時(shí)刻間隔，這本身是矛盾的，實(shí)際上這兩個(gè)參數(shù)應(yīng)同時(shí)確定。實(shí)際計(jì)算中King[31]提出了先選定(m-1)值，在增加m的同時(shí)減小τ(保持(m-1)τ為常數(shù))來(lái)選取最佳的m和τ值的方法。4.3相空間重構(gòu)的軌線法和Legendre坐標(biāo)法:相空間重構(gòu)的差不多方法有三種,它們分不是時(shí)刻延遲法,導(dǎo)數(shù)法和差不多重量坐標(biāo)法。到目前為止這三種方法之間的關(guān)系還沒(méi)有完全弄清晰。Gibsonetal.最近指出差不多重量坐標(biāo)和由Packardetal.[26]andTakens[27]所提出的導(dǎo)數(shù)坐標(biāo)之間存在著特不緊密的聯(lián)系;更進(jìn)一步地,關(guān)于專門少的延遲時(shí)刻他們提出了差不多重量坐標(biāo)是基于簡(jiǎn)化了的勒讓德多項(xiàng)式的觀點(diǎn)。因此，在最近的幾年里對(duì)不同相空間重構(gòu)方法的研究便成為此領(lǐng)域研究的焦點(diǎn)。與此相關(guān)的是求出比較好的重構(gòu)方法中的各相關(guān)參數(shù)值。陳予恕,馬軍海[6]給出了用差不多重量坐標(biāo)法重構(gòu)相空間的相應(yīng)結(jié)論。馬軍海，陳予恕[7]在國(guó)內(nèi)外學(xué)者工作的基礎(chǔ)上，應(yīng)用勒讓德坐標(biāo)法重構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的相空間，討論了時(shí)序間隔τ對(duì)相空間重構(gòu)工作的阻礙，并用所提方法重構(gòu)了系統(tǒng)的吸引子。5動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的重構(gòu)預(yù)測(cè)技術(shù)應(yīng)用由于混沌吸引子的內(nèi)在行為具有相當(dāng)?shù)牟灰?guī)則性及混沌吸引子具有十分復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu),且不同的混沌吸引子具有的復(fù)雜結(jié)構(gòu)也各不相同.因此一般來(lái)講,不同的混沌實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)該建立不同的混沌模型。最近十幾年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論,小波理論[17~18]等對(duì)非線性時(shí)序開(kāi)展了研究,MartinCasdagli,M.E.Davies,AlexetPotapov[21]等人分不對(duì)混沌時(shí)序的建模及預(yù)測(cè)開(kāi)展了初步的研究并取得了一定的成果。馬軍海,陳予恕[6,25]在國(guó)內(nèi)外學(xué)者工作的基礎(chǔ)上，對(duì)能夠描述非線性系統(tǒng)的極限環(huán)、共振跳躍現(xiàn)象、幅頻依靠特性及混沌特征的EAR(n)模型進(jìn)行了改進(jìn),應(yīng)用隨機(jī)搜索方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行初步可能，然后采納最優(yōu)化理論可能了模型參數(shù)；馬軍海在其博士后二站研究報(bào)告中，給出了一種基于小波理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的三時(shí)期多尺度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，并用聚類的方法進(jìn)行了權(quán)值和閾值的初始化和反向傳播算法進(jìn)行權(quán)值學(xué)習(xí)，該方法具有較快的收斂速度，同時(shí)還能自適應(yīng)選擇時(shí)序的不同頻率成分，對(duì)時(shí)序進(jìn)行降噪，適合于趨勢(shì)、細(xì)節(jié)等不同目的的預(yù)測(cè)，并成功地將多尺度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于股票數(shù)據(jù)的單步預(yù)測(cè)。最終對(duì)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)。6計(jì)算結(jié)果本文取如下2組數(shù)據(jù)分不對(duì)其理論進(jìn)行研究：(1)取Henonmap標(biāo)準(zhǔn)混沌的情況10000,前1000點(diǎn)作為暫態(tài)點(diǎn)去掉，把后10000點(diǎn)作為(1)組原始數(shù)據(jù)點(diǎn)。(2)用我們所得到的混沌數(shù)據(jù)測(cè)定3225點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，作為組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其時(shí)刻歷程圖如圖2。圖2為第2組數(shù)據(jù)真值及其預(yù)測(cè)值的計(jì)算結(jié)果,相對(duì)誤差超過(guò)40％的預(yù)測(cè)長(zhǎng)度為20點(diǎn)。圖3為第1組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0,縱標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3,=3.圖4為第2組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0,縱標(biāo)為w1豎坐標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3,=0.024.圖1第2組實(shí)驗(yàn)混沌數(shù)據(jù)的時(shí)刻歷程圖圖2第2組數(shù)據(jù)真值及其預(yù)測(cè)值對(duì)比圖為數(shù)據(jù)真值,另一條為數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值圖3第1組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0,圖4第2組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0,縱標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3,=3縱標(biāo)為w1豎坐標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3,=0.0247結(jié)論1)只要所取得嵌入維數(shù)大于混沌時(shí)序的實(shí)際維數(shù)，則其對(duì)分維數(shù)無(wú)質(zhì)的阻礙。2)點(diǎn)數(shù)對(duì)分維數(shù)的計(jì)算結(jié)果有阻礙,對(duì)低維的混沌動(dòng)力系統(tǒng)最少應(yīng)大于2000點(diǎn),分維數(shù)的計(jì)算時(shí)2范數(shù)，3范數(shù)，等價(jià)于∞范數(shù)，如此在具體計(jì)算時(shí)我們可取在算法上易實(shí)現(xiàn)的范數(shù)。3)相空間重構(gòu)理論對(duì)低維混沌時(shí)序和高維混沌時(shí)序是普遍適用的,本文給出的實(shí)際計(jì)算結(jié)果完成了混沌時(shí)序在相空間基坐標(biāo)框架的投影即相空間重構(gòu)的重要工作。4)混沌時(shí)序的分維數(shù)決定模型的階數(shù)，混沌時(shí)序的Lyapunov指數(shù)決定時(shí)序預(yù)測(cè)的長(zhǎng)度,，用文獻(xiàn)[4]的方法確定的模型的階是好的。5)選擇適當(dāng)?shù)幕煦缒Ｐ筒⒉杉{適當(dāng)?shù)乃惴茉黾幽Ｐ皖A(yù)測(cè)的精度，且混沌時(shí)序不可能作長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。參考文獻(xiàn)1ChenYushu,MaJunhai,LiuZengrong.TheStateSpaceReconstructionTechnologyofDifferentKindsofChaoticDataObtainedFromDynamicalSystem.ACTAMECHANICASINICA,1999,1(15):82-922馬軍海，陳予恕.動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的非線性混沌特性的判定.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1998,19(6)481~488。3馬軍海，陳予恕.高斯分布的相位隨機(jī)化對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)臨界值阻礙的分析研究.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1998,19(11):955-9634馬軍海.混沌時(shí)序動(dòng)力系統(tǒng)非線性重構(gòu).天津大學(xué)博士學(xué)位論文,1997.55馬軍海，陳予恕.動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的Lyapunov指數(shù)的矩陣算法.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1999,20(9):919-9276馬軍海，陳予恕.動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的非線性混沌模型重構(gòu).應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1999,20(11):1128-11347馬軍海，陳予恕.混沌時(shí)序相空間重構(gòu)的分析和應(yīng)用研究.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2000,21(11):1117-11248MaJunhai.TheStateSpaceReconstructionofDifferentKindsofChaoticDataObtainedfromEconomicDynamicalSystem.Proceedingsof’99InternationalConferenceOnManagementScience&Engineering’,Yichang,P.R.China,1999,11:106~1109馬軍海，陳予恕.三種動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測(cè)混沌數(shù)據(jù)的Lyapunov指數(shù)的比較.天津大學(xué)學(xué)報(bào),1999,2(1):190-19510馬軍海，陳予恕.三種動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)測(cè)混沌數(shù)據(jù)的本征值比較.天津大學(xué)學(xué)報(bào),1999,32(3):275-27911馬軍海，陳予恕.動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的奇異值分解技術(shù).振動(dòng)工程學(xué)報(bào),1999,12(3):323-33012盛昭瀚,馬軍海.非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析引論.科學(xué)出版社，2000年10月13馬軍海,盛昭瀚.經(jīng)濟(jì)時(shí)序動(dòng)力系統(tǒng)的分形及混沌特性研究.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2000,1:13~19J.luisCabrera,F.Javier,NumericalanalysisoftransientbehaviorinthediscreterandomLogisticequationwithdelay.Phys.LettA197(1995)19-24J.TimonenandH.koskinen,Animprovedestimatorofdimensionandsomecommentsonprovidingconfidenceintervals.Geophys.Res.Lett20(1993)1527153616JohnF.Gibson,J.DoyneFarmer,MartinCasdagliandStephenEubank.Ananalyticapproachtopracticalstatespacereconstruction.Phys.D1992,57:1-3017QinghuaZhang.WaveletNetworks,IEETransectionsonNeuralNetworks.1992,6(11):889-89818LiangYueCao.Predictingchaotictimeserieswithwaveletnetworks.Phys.D,1995,85:225-23819DeanPrichard.Generatingsurrogatedatafortimeserieswithseveralsimultaneouslymeasuredvariables.Phys.Rev.Lett,1994,191:230-24520M.E.Davies.Reconstructingattractionsfromfilteredtimeseries.Phys,D,1997,101:195-20621AlexetPotapov.Distortionsofreconstructionforchaoticattractors.Phys.D,1997,101:207-22622Tsay,R.NonlinearityTestforTimeseries.Biometrica,1986,73:461-46623Engle,R.AutoregreessiveConditionalHeteroscedasticitywithEstimatesoftheVarianceOfU.K.Inflations,Econometrica,1982,50:987-100724C.J.Stam,J.P.M.Pijn,W.S.Pritchard.Reliabledetectionofnonlinearityinexperimentaltimentaltimeserieswithstrongperiodiccomponents.Phys.D1998,112:361-38025AlexeiPotapov,JurgenKurths.Correlationintegralasatoolfordistinguishingbetweendynamicsandstatisticsintimeseriesdata.Phys.D1998,120:369-38526N.H.Packard,J.P.Crutchfield,J.D.Farmer,andR.S.Shaw,Geometryfromatimeseries.PhysRevLett1980,45(9):71227F.Takens.InDynamicalSystemsofTurbulence,editedbyD.A.RardandL.S.Young(springer,Berlin1981)28J.D.Scargle.Studiesinastronomicaltimeseriesanalysis.IV.Modelingchaoticandrandomprocesseswithlinearfilters.Astrophys.J.1990,359:469-48229F.Takens,Mane.Detectingstrangeattractorsinfluidturbulence,in:DynamicalsystemsandTurbulence.Vol.898ofLectureNotesinMathematics,springer,Berlin1986,P.36630R.Badii,G.Broggi,B.Derighetti,S.Ciliberto,A.Politi,andM.A.Rubio.Dimensionincreaseinfilteredchaoticsignals.Phys.Rev.Lett.1988,60:979-98431D.S.Broomherdetc.Extractingqualitatiredynamicsfromexperime