高中數學：專題3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

2018—2019學年人教版A必修四導學案《名師導學案》：a1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式【情景激趣我愛讀】查閱資料明確二倍角是兩角和與差的三角函數的特殊情況。通過教材題目明確二倍角公式的應用?！緦W習目標我預覽】學習目標實現(xiàn)地點1.以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎，推導二倍角正弦、余弦和正切公式；.“基礎知識我填充”一1、2、4；“基礎題型我先練”一1,2；“典型例題我剖析”一典例2；“變式思維我遷移”一2；“方法技巧我感悟”一4；“易錯問題我糾錯”一1；“課后鞏固我做主”一2、4、5、6、7、10、12、13、16、17.2二倍角的正弦、余弦、正切公式的變形，二倍角公式的簡單應用；“基礎知識我填充”一3、5；“基礎題型我先練”一3、4；“典型例題我剖析”一典例1；“變式思維我遷移”一1；“方法技巧我感悟”一1、2、3；“課后鞏固我做主”—1、3、5、8、9、11、14、15.【基礎知識我填充】1.2sinacosa.cos2a—sin2a:2cos2a—l：1—2sima.2tana?1—tan2a*sin2a1—cos2al+cos2acaa2，2，2cos22,2sin2?(sina±cosa)2.【基礎題型我先練】1.箸案：C館析：cos2——sin1—=cos(2x—)=cos—=83S422涪索；A解析：sin—.cos—=-md(2x—)=^san—=—.1212212264艮答案：Ain.f；tan202.5°12tan22.51“中11-ton3202.5°2l-tan"22.512生%%：丁軋(工+令號=ginG+A?"■周期為口-【典型例題我剖析】典例1：我的基本思路：注意到(—+Q)+(—)=—,則442sin(4-a)=cos(4+a)，逆用二倍角的正弦公式可將已知條件化簡，進而求出tan2a的值，再由倍角公式求tan4a的值?！咀兪剿季S我遷移】1.我的基本思路：本題考查倍角公式及其應用.(1)利用平方差公式之后，再逆用倍角公式；(2)提取系數一1后產生倍角公式的形式；(3)需提取系數我的解題過程：sin(—a)=sin[—(—+a)]=424?/兀、/兀、11??兀、1件可化為sin(+a)cos(+a)=，即石sin2(+a)=，則446246兀11兀sin(+2a)=，即cos2a=一，因為aw(一,兀)，所以2ae(兀,2兀)，2332+a），則已知條23.n我的解題過程：（l）（cos込一sinnnnn12)(cos12+sin12)=cos212—.n.nn3sm滬cos7=2?2\-2從而sin2a=—pl—cos22a=—2tan2a貝卩tan4a==—1—tan22a1—(—^2)27我的感悟點評：本題也可以用兩角和與差的正弦公式將等式左邊展開，得兀兀111（sinsina）2—（cossina）2=，即—（cos2a—sin2a）=，從而得44626c1cos2a=—.3/、1n1n、(2)—cos^8=—^(2cos^8—1)=1n2—2cosT=—T-242(3)—§+3cos215°=3(2cos215°—1)=2cos30°=羋典例典例2：我的感悟點評：根據三角函數式的特征，經過適當變形，進而利用公式,獲得三角函數式的值，在變形中一定題.可以將所求式子化簡，使其出現(xiàn)（丁一x）這個角的三角函數.我的解題過程：si:2x—2sin2x=2sinxcosx—sinxcosxcosx+sinx1+tanxsin2xcosx—sinx征，經過適當變形，進而利用公式,獲得三角函數式的值，在變形中一定題.可以將所求式子化簡，使其出現(xiàn)（丁一x）這個角的三角函數.我的解題過程：si:2x—2sin2x=2sinxcosx—sinxcosxcosx+sinx1+tanxsin2xcosx—sinxcosx+sinx=sin2x1—^=sin2xtan(^—x)1+tanx4要整體考慮式子的特征.2?我的基本思路：解本題關鍵在于=cos(——2x)tan(—-x)使被開方式變?yōu)橥耆椒绞?，以便nn=[2cos2(——x)—1]tan(~—x)，脫掉根號，由于原式為算術根，因而去根號時，要注意符號的選取.??5n7n3nn4<x<v，?—T<T—x<—n-n4又VcosC4_x)=-5,???皿（專-滬|，TH.?原式=(2x2|—i)x(—4)=—100.我的解題過程：原式=0000simg+cos^2+2sinycos20000sin2~+cos2~—2sin~cos~200sing+cosg2—我的基本思路：已知一個角（才一X）的三角函數值，求三角函數值的問00sing—cosg200sing—cosg2.00|sin—+cos~2l—|sin——cos—|.n0⑴當0e(o,］時，3^(0,,cos,cos0sin壽+cos20—cos00

y+sin-0=2sinn⑵當0cosy<sin牙，此時原式=0000

sin—+cos~—sin~+cos~02cos我的感悟點評：化簡三角函數式要根據函數式的結構特點來確定方法，一般情況下，無理式應化為有理式，分式應化為整式，能求出具體值時，一定要求出數值來，本題就是依據0的范圍進行分類討論來去掉絕對值符號的.【易錯問題我糾錯】【方法技巧我歸納】錯解剖析：錯解忽視了已1.二倍角是在兩角和與差公式基礎上學習的，公式之間的聯(lián)系按照如下過程：知條件“11tana=,tanB=,a,B37均為銳角”對角a,卩的取CCSTS,T掌握公式的推導，并通過例題、習題的學習和(a+B)(a—B)(a+B)2a2a訓練，掌握公式的運用。公式s,C,T分別是由SCT中，當2a2a2aa+pa+pa+p值范圍的影響，從而產生時得出的。公式S，C具有一般性，即角a是任意角；公式T也具有一般性，但2a2a2a了增解.k兀?！必?，"、只有當a^――+—和刼+〒(keZ)時才成立，否則不成立。當正解：242

1J3q亠tana=一<—,tanp=由331<37<丁a，卩均為銳角，八兀得0<a<—,6:.0<P<—,6—0<2a+p<—.又2_2tana3tan2a==1-tan2a4tan(2a+p)=tan2a+tanP4c=1.1一tan2a-tanp所以，2a+p=丁.4—a=k兀+—(keZ)時，顯然tana的值不存在，但tan2a的值是存在的，這時求2tan2a的值可直接利用誘導公式，即tan2a=tan2(k—+—)=tan(2k—+—)=tan—=0.2.(1)一倍角公式的作用在于用單角的一角函數來表達一倍角的一角函數，它適用于一倍角與單角的二角函數之間的互化問題.(2倍角處式為僅限于2肛是比的—倍的形式，其它如4肛是2比的兩倍，一是一的菇倍，3肛243aa,a是——的兩倍，一是一的兩倍等，所有迭些都可以應用二倍角公■式.固此，裏理解“二倍角"的含236文，即當-=2時，氐就是存的—倍角?凡是符合—倍角關系的就可以應用—倍角公式?尤其是“倍甬"的意乂是相對的，(3)-倍角處式是從兩角和的三角函數梵式中，取兩角相等時推導出，記憶時可聯(lián)想相應角的處式.2sinoco￡a2tana工⑴加曲口十看「応尋卩皿加-[十伽％rcdsjc-1-tan-a1-tan-u⑵3加—嚨徨一皿起―迥鞭+迪俎―[+訕d即迪加-[+恤耘這兩個公式叫做萬能公式，不要求記憶，但記住S、C與tanCL之間的關系，會使2a2a解題過程更加簡捷.【課后鞏固我做主】A級★答案★:B...cos(——2a)=—cos2a=-(1-2sin2a)=—1?.2…9sina=3,★答案★:A解析：Tcosa+sina=-扌<0,3.*.ae(4n,n),又(sina+cosa)2=1+2sin1acosa=9，.*.2sinacosa=-9,B級aaa8★答案★:C解析：Tsiny>0，cosy<G，^2是第二象限角，na/.2kn+—<—<2kn+n，k^Z，?：4kn+n<a<4kn+2n，kWZ，「aa9167乂.cosa=C0S22—sin22=25_25=—25<0，.°.a在第三象限.故選C.79.★答案★:B解析：cos2a=2cos2a—1=—亦，故選B.寸17/.sina—cosa=\：1—2sinacosa=冷-,10.^答案★:B解析：由題意得］—t；n29e=_2\：'2.*.cos2a=cos2a—sin2a=^9^，故選A.tan9=\2解得tan9=3.★答案★:A解析：?.?OG(0,n),且sin29=又n<20<2n,<9<n，所以有tan9=2sin9cos0=—25<0,/ee(2,n),/cos9—sin9<0./?cos9—sin9=—cos9—sin9寸17/.sina—cosa=\：1—2sinacosa=冷-,10.^答案★:B解析：由題意得］—t；n29e=_2\：'2.*.cos2a=cos2a—sin2a=^9^，故選A.tan9=\2解得tan9=3.★答案★:A解析：?.?OG(0,n),且sin29=又n<20<2n,<9<n，所以有tan9=2sin9cos0=—25<0,/ee(2,n),/cos9—sin9<0./?cos9—sin9=—cos9—sin92=—71—2cosOsin。二一亍故選A.4.^答案★:C解析：先化簡sin40+cos40為(sin20+cos20)2—2sin20cos20.即為1-2(sin0cos0)2.然后用倍角公式：sin20sin0-cos0=—2用co?3可得(sin20)2=25fi.■_'i€(-j?2taai7.(1)cos36°cos72°故選B.11.*答案★:D解析：因為y=(sinx+cosx)2—l=2sinxcosx=sin2x，所以是最小正周期為n的奇函數.故選D.12.★答案★:B解析：因為y=2cos2x=1+cos2x，所以函數在,n）上單調遞增.故選B.13.★答案★:B解析：f(x)=cos2(T+x)—cos2(T—x)nn=cos2("4+x)—sin2(才+x)nn=cos2(T+x)=cos(~2+2x)=—sin2x,nn1則f"12)=_sin石=—2故選B.14.★答案★:A解析：y=(sinx+cosx)(cosx—sinx)n=cos2x—sin2x=cos2x,又圖象向左平移丁個單位得到y(tǒng)n=g(x)=cos2(x+^)=—sin2x,/.y=g(x)的圖象關于原點對稱.故選A.15.★答案★：一3?解析：原式=log\：2（si）「sin^^）=log冷2(cos+sin乎)2sin36°cos36°cos72°=lo就(1sin5f)=lo^'，2-3=—3.2sin36°2sin72°cos72°sin144°=14sin36°=4sin36°=4*cos50°+2sin72°cos72°sin144°=14sin36°=4sin36°=4*cos50°+J3sin50°(2)原式=sin50°cos50°16.nsin—+2xncos~+x132°cos50°+寧sin50°1-T"^X2sin50°cos50°2sin80°132°cos50°+寧sin50°1-T"^X2sin50°cos50°2sin80°|sin100°2sin~+xcos~+xncos—+x2sin80°亦廠4.,n、=2sinC^+x).n\/口’\5廠nVsinC^—x)=cosr^+x)=13，且0VxV-^,nJn:、sin(~4+x)=1—COS2—+x=13,???原式=2xJ3=24.17.解：f(x)=5"』3cos2x+J3sin2x—2sin2x=5咧％比嚴+也X1—cos2x_._2—2sin2x=3\；3—2sin2x+2\；3cos2x=3\''3—4sin(2x—"3),n7nn.??sin(2x—"3)w[2，..??sin(2x—"3)w[2，.nn????當2x—y=y,即x=7nn時，f(x)的最小值為3\'?—2J2.nn7n?.?y=sin(2x—§)在坊，莎］上是單調遞