安徽省桐城市重點(diǎn)中學(xué)2021～2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題【含答案】

數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）若函數(shù)，則A. B.1 C. D.27若集合，，則A. B.1， C. D.設(shè)，，的大小關(guān)系是A. B. C. D.已知映射f：若集合A中元素x在對(duì)應(yīng)法則f下的像是，則B中元素的原像可以是A. B. C. D.2若圓的半徑為6cm，則圓心角為的扇形面積是A. B. C. D.若函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，則k的值是A.1 B.2 C.3 D.函數(shù)在上的大致圖象是A. B.

C. D.若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B. C. D.設(shè)直線與函數(shù)，，的圖像在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，則A. B. C. D.已知銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合若角的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則角的取值范圍是A. B. C. D.已知，若函數(shù)對(duì)任意滿足，則不等式的解集是A. B.

C. D.已知是定義在R上的奇函數(shù)，也是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，則在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.108 B.109 C.144 D.二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）滿足y，的集合B的個(gè)數(shù)是______．若，則______．計(jì)算：______．下列判斷正確的是______將你認(rèn)為所有正確的情況的代號(hào)填入橫線上．

函數(shù)的最小正周期為；

若函數(shù)，且，則；

若，則；

若函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知全集，集合，．

求；

設(shè)集合若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

設(shè)函數(shù)．

在給定的平面直角坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖請(qǐng)先列表，再描點(diǎn)連線；

若，求的值．

設(shè)函數(shù)．

用定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

為減少人員聚集，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式上班分析顯示，當(dāng)S中有的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均上班路上時(shí)間為：，單位：分鐘．

而公交群體中的人均上班路上時(shí)間不受x的影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回家下列問題：

當(dāng)x取何值時(shí)，自駕群體的人均上班路上時(shí)間等于公交群體的人均上班路上時(shí)間？

已知上班族S的人均上班時(shí)間計(jì)算公式為：，討論的單調(diào)性，并說明實(shí)際意義．

注：人均上班路上時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)

設(shè)函數(shù)的最小正周期為，其中．

求函數(shù)的遞增區(qū)間；

若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

設(shè)函數(shù)且是定義在R上的奇函數(shù)．

若，求使不等式對(duì)恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍；

設(shè)函數(shù)的圖像過點(diǎn)，函數(shù)若對(duì)于任意的，，都有，求M的最小值．

答案和解析1.B

解：根據(jù)題意，函數(shù)，

則，

則，

故選：B．

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

2.A

解：1，，，

．

故選：A．

可求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．

本題考查了描述法和列舉法的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.B

解：，且，

，

，，

，，即，

，

故選：B．

利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．

本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．

4.C

解：集合A中元素x在對(duì)應(yīng)法則f下的像是，

中元素的原像可以是：，

故選：C．

直接根據(jù)集合A中元素x在對(duì)應(yīng)法則f下的像是，即可求解結(jié)論．

本題考查映射的概念，注意分清象的集合和原象的集合，還有對(duì)應(yīng)法則．

5.B

解：，，

扇形面積．

故選：B．

由已知利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．

本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.A

解：函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)只存在一個(gè)零點(diǎn)，

且：，，

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故．

故選：A．

首先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的端點(diǎn)值和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可確定實(shí)數(shù)k的值．

本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

7.A

解：，則是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C，D，

當(dāng)時(shí)，，排除B，

故選：A．

判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用奇偶性和對(duì)稱性以及函數(shù)值的對(duì)應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

8.B

解：不等式可化為，

設(shè)，則，

所以不等式在上有解，

實(shí)數(shù)m的取值范圍是，即．

故選：B．

把不等式化為，設(shè)，求出在上的最小值，即可求得m的取值范圍．

本題考查了不等式在閉區(qū)間上有解的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

9.D

解：當(dāng)時(shí)，

，，

，，

又，，

，，

．

故選：D．

當(dāng)時(shí)，可求出，利用誘導(dǎo)公式，，可求出，即可求解．

考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．

10.D

解：銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合．若角的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，

，，，，．

函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，

，，

故選：D．

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，可得，由此可得銳角的取值范圍．

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，屬于中檔題．

11.C

解：，

，

，

，，

，

，

，即，

，解得或，

原不等式的解集是：．

故選：C．

根據(jù)可得出，然后即可求出，然后由原不等式可得出，進(jìn)而得出，然后解出x的范圍即可．

本題考查了偶函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．

12.D

解：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，也是奇函數(shù)，

所以，，則，

所以是周期為2的函數(shù)，

因?yàn)榈闹芷跒?，

所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，

所以，，，

則在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)．

故選：D．

由題意可知是周期為2的函數(shù)，進(jìn)而判斷出也是周期為2的函數(shù)，求出，，，利用的周期性進(jìn)行分析求解即可．

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了函數(shù)的周期性的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的周期為2，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．

13.4

解：y，，

y，，且，

，，，y，

故答案為4．

根據(jù)y，，易知y，，且，用列舉法寫出滿足已知條件的集合B，即可求出集合B的個(gè)數(shù)．

此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查集合的并集及其運(yùn)算，以及子集和真子集等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析、解決問題的能力．

14.

解：根據(jù)題意，若，

當(dāng)時(shí)，有，

故．

根據(jù)題意，在中，令可得答案．

本題考查函數(shù)解析式的求法，注意特殊值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

15.

解：原式．

故．

進(jìn)行對(duì)數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可．

本題考查了對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

16.

解：對(duì)于，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，故錯(cuò)誤；

對(duì)于，若函數(shù)，且，即或，則或，故錯(cuò)誤；

對(duì)于，若，則，

故，

整理得：，

轉(zhuǎn)換為，故正確；

對(duì)于，若函數(shù)，

設(shè)，由于，所以函數(shù)為奇函數(shù)，

故函數(shù)的單調(diào)性相同，

所以函數(shù)的最大值和最小值為一組相反數(shù)，故的最大值為，最小值為，則，故正確；

故．

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用判斷的結(jié)論．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

17.解：依題意，集合，

因?yàn)?，所以，所以?/p>

因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)時(shí)，與矛盾，不符題意；

當(dāng)時(shí)，，若，則；

由得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

化簡集合A，根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出，再計(jì)算．

根據(jù)得出，討論和時(shí)，利用求出a的取值范圍．

本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．

18.解：列表如下：x02002描點(diǎn)，連線，可得函數(shù)圖像如下：

由，得，

由，

得，

由，

得，

則．

由條件即可利用五點(diǎn)法做函數(shù)函數(shù)的簡圖．

由題意可得，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可求值得解．

本題主要考查用五點(diǎn)法做函數(shù)在一個(gè)周期上的簡圖，考查了三角函數(shù)化簡求值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．

19.解：證明：任取，且，

則，

，且，即，

，，

，即，

在上是減函數(shù)；

不等式對(duì)任意恒成立，

對(duì)任意恒成立．

令，

結(jié)合知，在上單調(diào)遞增，

則．

則，

即，

解得．

所以m的最小值是．

由單調(diào)性的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證；

由參數(shù)分離可得對(duì)任意恒成立，令，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和的結(jié)論，可判斷的單調(diào)性，求得最大值，再由對(duì)數(shù)不等式的解法可得所求最小值．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及不等式恒成立問題解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．

20.解：依題意，得當(dāng)時(shí)，，不符，

當(dāng)時(shí)，，

若公交群體的人均上班時(shí)間等于自駕群體的人均上班時(shí)間，即，則，

解得或舍，

即當(dāng)時(shí)自駕群體的人均上班時(shí)間等于公交群體的人均上班時(shí)間．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，；

在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增．

說明該地上班族S中有小于的人自駕時(shí)，人均上班時(shí)間遞減；當(dāng)大于的人自駕時(shí)，人均上班時(shí)間遞增；當(dāng)自駕人數(shù)等于時(shí)，人均上班時(shí)間最少．

利用題中的條件，列出方程即可直接解出；

先將表示出來，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可解出．

本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生的抽象概括能力，屬于基礎(chǔ)題．

21.解：依題意，，

的最小正周期為，且，，解得，

，設(shè)，

函數(shù)的遞增區(qū)間是，

由，

得．

函數(shù)的遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，令，則，

在上遞增，在上遞減．

，

函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

函數(shù)與兩圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

函數(shù)與兩圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

，解得

實(shí)數(shù)m的取值范圍是．

根據(jù)余弦的差角公式以及倍角公式，輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用周期求出的值，然后利用整體代換思想以及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；先求出函數(shù)在已知定義域上的值域，然后將已知問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與兩圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的值域即可求解．

本題考查了三角函數(shù)的解析式，單調(diào)性以及圖像性質(zhì)，涉及到倍角公式以及輔助角公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．

22.解：是定義在R上的奇函數(shù)，，，解得，

則，

而等價(jià)于，

若，則，結(jié)合且，解得，

則為增函數(shù)，

結(jié)合，可得，

根據(jù)題意，對(duì)恒成立．

則，解得，

即實(shí)數(shù)k的取值范圍為；