D18連續(xù)性間斷點(diǎn)92360課件

1、增量：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)的連續(xù)性變量u從到，稱為u的增量可正，可負(fù)or為零2、(1)設(shè)在內(nèi)有定義，若則稱在點(diǎn)連續(xù)。1、增量：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)1注：函數(shù)在點(diǎn)（2）在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)在點(diǎn)即

極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義：注：函數(shù)在點(diǎn)（2）在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)在點(diǎn)即2例1、證明：證明：推論：若為x

的多項(xiàng)式，則在上連續(xù)。3、左右連續(xù)：（1）左連續(xù)：則稱在點(diǎn)左連續(xù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1、證明：證明：推論：若為x的多項(xiàng)式，則在上連續(xù)。3、3(2)右連續(xù)：則稱在點(diǎn)右連續(xù)。(3)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)左、右連續(xù)。主要用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性的討論；例1、設(shè)討論在點(diǎn)的連續(xù)性。解：在點(diǎn)連續(xù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)右連續(xù)：則稱在點(diǎn)右連續(xù)。(3)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)左、右連續(xù)。4例2、設(shè)在點(diǎn)連續(xù),求k

。解：在點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2、設(shè)在點(diǎn)連續(xù),求k。解：在點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄5例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4、區(qū)間上的函數(shù)連續(xù)的定義：（1）在(a,b)上連續(xù)：在點(diǎn)連續(xù),則稱f(x)

在(a,b)上連續(xù)，記（2）在[a,b]上連續(xù)：且f(x)

在a

點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)；記例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,有理分式函數(shù)在6例3.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。例3.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可7在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)與分類(lèi)：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)即不連續(xù)的點(diǎn)。在無(wú)定義;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、定義：在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)與分類(lèi)：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在82、間斷點(diǎn)分類(lèi):第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類(lèi)間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、間斷點(diǎn)分類(lèi):第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類(lèi)間斷9為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:機(jī)10顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)11例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出類(lèi)型：但f(0)

無(wú)定義，x=0

為可去間斷點(diǎn)。故x=1

為無(wú)窮間斷點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出類(lèi)型：但f(0)12故f(x)

在x=0

間斷，x=0為不可去間斷點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故f(x)在x=0間斷，x=0為不可去間斷點(diǎn)。機(jī)動(dòng)13內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類(lèi)間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類(lèi)型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限14一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

第一章一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)15定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.

在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)16定理3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:

設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,且即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增17例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機(jī)動(dòng)目18例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,可知也在上連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)19二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o(wú)連續(xù)點(diǎn)而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四20例2.求解:原式例3.求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求例2.求解:原式例3.求解:令則原式機(jī)動(dòng)目21

內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說(shuō)明:分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)22思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類(lèi)型.2.設(shè)時(shí)提示:為連續(xù)函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束答案:x=1是第一類(lèi)可去間斷點(diǎn),思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn).間23備用題確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.解:間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.解:間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)241、增量：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)的連續(xù)性變量u從到，稱為u的增量可正，可負(fù)or為零2、(1)設(shè)在內(nèi)有定義，若則稱在點(diǎn)連續(xù)。1、增量：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)25注：函數(shù)在點(diǎn)（2）在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)在點(diǎn)即

極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義：注：函數(shù)在點(diǎn)（2）在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)在點(diǎn)即26例1、證明：證明：推論：若為x

的多項(xiàng)式，則在上連續(xù)。3、左右連續(xù)：（1）左連續(xù)：則稱在點(diǎn)左連續(xù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1、證明：證明：推論：若為x的多項(xiàng)式，則在上連續(xù)。3、27(2)右連續(xù)：則稱在點(diǎn)右連續(xù)。(3)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)左、右連續(xù)。主要用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性的討論；例1、設(shè)討論在點(diǎn)的連續(xù)性。解：在點(diǎn)連續(xù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)右連續(xù)：則稱在點(diǎn)右連續(xù)。(3)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)左、右連續(xù)。28例2、設(shè)在點(diǎn)連續(xù),求k

。解：在點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2、設(shè)在點(diǎn)連續(xù),求k。解：在點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄29例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4、區(qū)間上的函數(shù)連續(xù)的定義：（1）在(a,b)上連續(xù)：在點(diǎn)連續(xù),則稱f(x)

在(a,b)上連續(xù)，記（2）在[a,b]上連續(xù)：且f(x)

在a

點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)；記例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,有理分式函數(shù)在30例3.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。例3.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同樣可31在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)與分類(lèi)：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)即不連續(xù)的點(diǎn)。在無(wú)定義;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、定義：在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)與分類(lèi)：(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在322、間斷點(diǎn)分類(lèi):第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類(lèi)間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、間斷點(diǎn)分類(lèi):第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類(lèi)間斷33為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:機(jī)34顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)35例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出類(lèi)型：但f(0)

無(wú)定義，x=0

為可去間斷點(diǎn)。故x=1

為無(wú)窮間斷點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出類(lèi)型：但f(0)36故f(x)

在x=0

間斷，x=0為不可去間斷點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故f(x)在x=0間斷，x=0為不可去間斷點(diǎn)。機(jī)動(dòng)37內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類(lèi)間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類(lèi)型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限38一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

第一章一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)39定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.

在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)40定理3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:

設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,且即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增41例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機(jī)動(dòng)目42例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,可知也在上連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)43二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)